数学学案：数乘向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。1.4数乘向量基础知识基本能力1．掌握数乘向量的定义，并理解其几何意义．(重点)2．掌握数乘向量的运算律．(难点)3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(易混点）1．会区分实数的乘法与数乘．（难点）2．能灵活运用向量的线性运算解决相关问题．（重点、易错点)1．数乘向量(1)实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝｜λ|｜a｜.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.（2）向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．(3)数乘向量的运算律．设λ，μ为实数，则①(λ＋μ）a＝λa＋μa；②λ(μa）＝(λμ）a;③λ(a＋b)＝λa＋λb.名师点拨(1）数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时,λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与向量0混淆,错误地表述成λa＝0。（2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算,如λ＋a,λ－a是无意义的．【自主测试1－1】化简（－2）·3m－4(n－2m)的结果为(）A．－14m－4nB．－6m－4nC．2m－4nD．4n＋2m解析：原式＝－6m－4n＋8m＝2m－4n.答案：C【自主测试1－2】若|a｜＝3，b与a的方向相反，且｜b｜＝5,则a＝__________b。解析：∵b与a的方向相反,且|a｜＝eq\f(3,5)|b｜，∴a＝－eq\f(3,5）b.答案:－eq\f（3，5)2．向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．向量的线性运算有哪几种？与以前所学的实数和代数式的运算有何关系？答：（1)向量的线性运算包括向量的加法、减法、实数与向量的积。2向量线性运算的结果是向量，实数和代数式运算的结果是实数或代数式，尽管它们的运算律形式上相似，但意义却截然不同。因此，在类比实数的运算律学习向量的有关运算律时务必经过严格证明后才可使用。【自主测试2－1】已知AM是△ABC的边BC上的中线,若eq\o（AB，\s\up6(→))＝a，eq\o(AC，\s\up6(→）)＝b，则eq\o（AM，\s\up6（→）)等于(）A．eq\f(1，2）（a－b)B．eq\f(1，2）(b－a）C．eq\f(1，2)(a＋b)D．－eq\f(1,2)(a＋b)答案:C【自主测试2－2】已知eq\o(AD,\s\up6(→））＝eq\f(2，3）eq\o(AB，\s\up6（→)），eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2，3)eq\o（AC,\s\up6(→）)，则eq\o(DE，\s\up6(→))＝________eq\o(BC，\s\up6(→））.答案：eq\f(2，3）1．数乘向量的几何意义剖析：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．具体如下：|λ｜＞1|λ｜＜1λ＞1λ＜－10＜λ＜1－1＜λ＜0将a沿原方向放大到λ倍，得到λa将a沿反方向放大到｜λ｜倍，得到λa将a沿原方向缩小到λ倍，得到λa将a沿反方向缩小到｜λ｜倍，得到λa2．教材中的“思考与讨论”把教材例3中的数3改为任意实数k,你是否还能解这个问题?回想一下初中学过的相似三角形的判定定理，例3的结论与判定定理有什么关系？剖析：若eq\o(OA′,\s\up6(→)）＝keq\o(OA，\s\up6（→)),eq\o（A′B′，\s\up6(→)）＝keq\o（AB，\s\up6（→）），则eq\o（OB′,\s\up6(→））＝eq\o（OA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6（→))＝keq\o(OA，\s\up6（→））＋keq\o（AB，\s\up6(→)）＝k（eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（AB，\s\up6（→））)＝keq\o(OB,\s\up6（→）)，所以eq\o(OB′,\s\up6（→))与eq\o（OB，\s\up6(→))共线,eq\o(OB′,\s\up6(→))的长度是eq\o（OB，\s\up6（→））的｜k|倍．这一结论可以认为是三角形判定定理的向量形式，其反映的本质是一样的．题型一概念辨析题【例题1】已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假,并说明理由．（1)－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的2倍；(2）3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的eq\f(3,5）；(3）－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．分析：根据数乘向量与相反向量的定义进行判断．解:(1）真命题．理由：∵－2＜0，∴－2a与a的方向相反,两向量共线．又|－2a|＝2｜a｜，∴－2a的模是a的模的2倍．（2)真命题．理由：∵3＞0，∴3a与a的方向相同，且｜3a|＝3|a｜.∵5＞0，∴5a与a的方向相同，且｜5a｜＝5｜a｜。∴3a与5a的方向相同,且3a的模是5a的模的eq\f(3,5）。(3)真命题．理由：按照相反向量的定义可以判断此命题为真命题．（4）假命题．理由:∵－（b－a)＝－b＋a＝a－b，∴a－b与－(b－a)为相等的向量．反思在解答本题的过程中，易把a－b与－(b－a)当作相反向量,导致此种错误的原因是不能正确运用向量的运算律进行转化．题型二向量的线性运算【例题2】（1)计算：8(2a－b＋c）－6（a－2b＋c）－2（2a＋c)；（2)解方程(x－a）－（a－x－2b)＝0。解：（1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c＝（16－6－4)a＋（－8＋12）b＋（8－6－2)c＝6a＋4b.(2)原式可化为x－a－a＋x＋2b＝0，2x－2a＋2b＝0，x＝a－b.反思向量的线性运算及解含未知向量的方程类似于代数多项式的运算及代数方程，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量线性运算及解含未知向量的方程中同样适用,在运算过程中要注意多观察,恰当分组，简化运算．题型三向量之间的线性表示【例题3】如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K,L，且eq\o(AK，\s\up6(→）)＝e1，eq\o(AL，\s\up6（→)）＝e2，试用e1，e2表示eq\o（BC，\s\up6（→）），eq\o(CD,\s\up6(→)).解：解法一：设eq\o（BC，\s\up6（→)）＝x,则eq\o(BK，\s\up6（→））＝eq\f(1，2）x，eq\o（AB，\s\up6（→）)＝e1－eq\f(1,2)x，eq\o(DL,\s\up6(→))＝eq\f(1，2)e1－eq\f(1，4）x.又eq\o(AD,\s\up6(→））＝x，由eq\o(AD，\s\up6（→））＋eq\o（DL，\s\up6(→))＝eq\o（AL,\s\up6(→））得x＋eq\f(1,2）e1－eq\f(1，4)x＝e2，解方程，得x＝eq\f(4，3)e2－eq\f（2，3）e1，即eq\o（BC，\s\up6(→））＝eq\f(4，3)e2－eq\f(2，3）e1.由eq\o（CD,\s\up6(→））＝－eq\o(AB，\s\up6(→）），eq\o(AB，\s\up6（→））＝e1－eq\f(1,2）x,得eq\o(CD，\s\up6（→））＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f（2，3）e2.解法二:设eq\o(BC,\s\up6(→））＝x，eq\o(CD，\s\up6（→））＝y，则eq\o(BK,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)x，eq\o（DL，\s\up6(→）)＝－eq\f(1,2）y。由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o（BK,\s\up6（→））＝eq\o(AK,\s\up6（→)),eq\o（AD，\s\up6（→)）＋eq\o(DL,\s\up6（→)）＝eq\o（AL，\s\up6(→))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－y＋\f(1,2）x＝e1，①，x－\f（1,2)y＝e2。②）)用－2乘以②与①相加，得eq\f（1,2)x－2x＝e1－2e2,解得x＝eq\f（2,3）（2e2－e1)，即eq\o(BC，\s\up6(→))＝eq\f（2,3）（2e2－e1)＝eq\f（4,3）e2－eq\f（2,3）e1。同理得y＝eq\f(2，3)(－2e1＋e2)，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f（2,3)e2.解法三：如图所示，延长BC与AL的延长线相交于点E.则△DLA≌△CLE，从而eq\o(AE，\s\up6(→））＝2eq\o（AL，\s\up6(→)），eq\o(CE，\s\up6（→))＝eq\o(AD，\s\up6（→）)，eq\o(KE,\s\up6(→)）＝eq\f（3，2）eq\o（BC，\s\up6（→））。由eq\o(KE,\s\up6（→）)＝eq\o(AE,\s\up6（→））－eq\o（AK,\s\up6（→）），得eq\f（3，2）eq\o（BC,\s\up6(→)）＝2e2－e1，即eq\o(BC,\s\up6(→)）＝eq\f(2，3)(2e2－e1）＝eq\f（4,3）e2－eq\f(2,3)e1。同理可得，eq\o（CD,\s\up6（→))＝eq\f（2，3）（－2e1＋e2)＝－eq\f(4,3)e1＋eq\f（2，3）e2。反思解法一中设一个未知向量,列了一个向量方程;解法二中则是设两个未知向量，列了一个向量方程组，这和列一元一次方程、二元一次方程组解应用题相类似;解法三中是在原图形中添加辅助线后,直接观察到了所需要的向量关系，这显然要以较多的平面几何知识作基础，不过确实简便有效．题型四易错辨析【例题4】如图所示,点A是线段BC的中点，且OD＝2BD，DC与OA交于点E，设eq\o（OA,\s\up6(→））＝a，eq\o(OB，\s\up6(→））＝b.（1)用a与b表示eq\o（OC，\s\up6（→）)；（2)若eq\o（OE,\s\up6(→))＝λeq\o（OA，\s\up6(→））,eq\o(DE，\s\up6(→））＝meq\o(DC,\s\up6（→)），求实数λ,m的值．错解：(1)∵A是BC的中点,∴eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\o（BA，\s\up6(→)).∴eq\o（OC,\s\up6（→))＝eq\o(OA，\s\up6（→)）＋eq\o（AC,\s\up6（→))＝eq\o(OA，\s\up6(→)）＋eq\o（BA,\s\up6（→)）＝a＋eq\o（OA,\s\up6(→）)－eq\o（OB，\s\up6（→))＝2a－b.（2）∵E在eq\o（OA，\s\up6(→)）上，且eq\o(DE，\s\up6(→)）＝meq\o（DC,\s\up6(→）），∴eq\o（OE,\s\up6（→)）＝eq\o(OD，\s\up6（→）)＋eq\o(DE,\s\up6(→）)＝eq\f（2，3）b＋meq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(2，3)b＋m（eq\o（OD,\s\up6（→）)－eq\o（OC，\s\up6（→)））＝eq\f(2,3）b＋m·eq\f(2，3)b－m(2a－b)＝－2ma＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3）＋\f(5，3)m)）b＝λa，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝－2m，，\f（2,3)＋\f(5,3）m＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝－\f（2,5)，,λ＝\f（4,5）.)）错因分析：解题过程中出现了一处错误即eq\o（DC，\s\up6(→）)＝eq\o(OD,\s\up6（→）)－eq\o(OC,\s\up6（→）)，记错了向量减法的运算公式，造成后继部分不得分．正解：(1)∵A是BC的中点，∴eq\o(AC，\s\up6(→））＝eq\o(BA，\s\up6(→））.∴eq\o（OC,\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6（→））＋eq\o（AC，\s\up6（→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6（→）)＝a＋(eq\o(OA，\s\up6(→)）－eq\o(OB，\s\up6(→)））＝2a－b.（2)∵OD＝2BD,∴eq\o(OD,\s\up6（→））＝eq\f(2,3）eq\o（OB,\s\up6（→）)＝eq\f（2,3）b,已知eq\o(DE，\s\up6（→))＝meq\o(DC，\s\up6(→）)，∴eq\o(OE,\s\up6(→)）＝eq\o（OD,\s\up6(→）)＋eq\o(DE,\s\up6(→））＝eq\f（2，3)b＋meq\o（DC，\s\up6(→））＝eq\f（2,3)b＋m(eq\o（OC，\s\up6（→）)－eq\o(OD,\s\up6(→）））＝eq\f（2，3）b＋meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2a－b－\f（2，3）b））＝2ma＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）－\f(5，3）m)）b＝λa.由此可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝2m，,\f(2,3)－\f（5，3)m＝0，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝\f（2,5),，λ＝\f(4,5）.))1．已知λ，μ∈R，下列式子正确的是（）A．λa与a同向B．0·a＝0C．(λ＋μ）a＝λa＋μaD．若b＝λa，则｜b|＝λ｜a|答案：C2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6（→))等于()A．eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\f（1,2)eq\o(BA,\s\up6（→))B．－eq\o(BC，\s\up6(→）)＋eq\f(1，2）eq\o（BA，\s\up6（→))C．－eq\o(BC，\s\up6（→）)－eq\f（1,2)eq\o（BA,\s\up6(→)）D．eq\o（BD,\s\up6（→)）－eq\f（1，2）eq\o（BA,\s\up6(→)）答案：B3．设P是△ABC所在平面内的一点，且eq\o(BC，\s\up6（→))＋eq\o（BA,\s\up6（→）)＝3eq\o（BP，\s\up6（→）），则()A．eq\o（PB，\s\up6(→））＋eq\o（PA,\s\up6(→）)＝0B．eq\o（PB,\s\up6（→）)＋eq\o(PC,\s\up6(→)）＝0C．eq\o（PC,\s\up6（→）)＋eq\o（PA,\s\up6(→））＝0D．eq\o(PA，\s\up6（→）)＋eq\o（PB,\s\up6（→))＋eq\o(PC,\s\up6（→））＝0答案:D4．化简：eq\f(1，3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1，2)2a＋8b－4a－2b）)＝__________。解析：原式＝eq\f(1，3)［(a＋4b)－4a＋2b]＝eq\f(1,3)（－3a＋6b)＝－a＋2b。答案:2b－a5．若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f（1，3)a））－eq\f(1，2）(b－3x＋c）＋b＝0，其中a，b，c为已知向量,则未知向量x＝__________.解析：原式可化为2x＋eq\f（3,2)x＝eq\f（2,3）a＋eq\f（1，2)b－b＋eq\f(1，2)c，则x＝eq\f（4，21）a－eq\f（1，7)b＋eq\f（1，7）c.答案：eq\f（4,21)a－eq\f（1,7)b＋eq\f(1,7）c6．如图所示,已知eq\o（OA,\s\up6（→)）＝3e1，eq\o（OB，\s\up6(→))＝3e2.(1)如图（1）,C，D为AB的三等分点,求eq\o(OC,\s\up6（→）)，eq\o（OD,\s\up6(→)）；(2)如图（2），C，D，E为AB的四等分点，求eq\o（OC,\s\up6（→)），eq\o（OE，\s\up6（→））.解：(1)∵eq\o（AB,\s\up6(→））＝eq\o（OB，\s\up6（→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝3e2－3e1，∴eq\o（AC，\s\up6（→))＝eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up6(→））＝e2－e1＝eq\o（CD，\s\up6(→)），∴eq\o(OC，\s\up6(→））＝eq\o（OA，\s\up6（→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→）)＝3e1＋e2－e1＝2e1＋e2，eq\o（OD,\s\up6（→））＝eq\o（OC，\s\up6(→)）＋eq\o(CD,\s\up6（→))＝2e1＋e2＋(e2－e1）＝e1＋2e2。（2）∵eq\o(AB,\s\up6(→）)＝eq\o(OB，\s\up6（→))－eq\o（OA，\s\up6（→)）＝3e2－3e1，∴eq\o（AC,\s\up6（→))