数学学案：例题与探索三个正数的算术-几何平均不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲【例1】已知x∈R+,求函数y=x(1-x2)的最大值.思路分析:为使数的“和”为定值，可以先平方，即y2=x2(1—x2）2=x2(1-x2）（1—x2)=2x2（1—x2）（1—x2)×.最先求出最值后再开方.解：∵y=x(1—x2）,∴y2=x2(1—x2）2=2x2（1-x2）（1-x2)·.∵2x2+(1—x2)+（1-x2）=2,∴y2≤.当且仅当2x2=1—x2=1-x2，即x=时取“="号。∴y≤.∴y的最大值为.黑色陷阱:拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y=x（1-x2）=x(1-x)（1+x)=·x(2-2x)（1+x)≤3=。虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值,但忽略了取“="号的条件，显然x=2—2x=1+x无解，即无法取“="号，也就是说,这种拼凑法是不对的.这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构,同时注意均值不等式的使用条件，三个缺一不可.【变式训练1】θ为锐角,求y=sinθ·cos2θ的最大值.思路分析:本题的目标函数为积结构，故应创设各因子的和为定值.要特别注意sin2θ+cos2θ=1的应用.解:y2=sin2θ·cos2θ·cos2θ=·2sin2θ(1—sin2θ）（1-sin2θ）≤()3=。当且仅当2sin2θ=1-sin2θ，即sinθ=时取等号.此时ymax=。【变式训练2】已知x∈R+,求函数y=x2(1-x）的最大值。思路分析：本题积结构中x2=x·x,所以y=x2(1—x)=x×x(1-x），为使“和”为定值，还需拼凑系数。解：y=x2(1-x)=x·x(1-x）=x·x·(2—2x）×≤。当且仅当x=2-2x，即x=时取等号.此时，ymax=.【例2】已知n是大于1的自然数，求证：2n〉1+.思路分析：2n>1+等价于2n—1〉①根据等比数列的前n项和公式逆向联想到2n—1==1+2+22+…+2n-1。即①式也可表示为n个不同的数1，2，22，…，2n—1之积，因此自然联想到；如果正好等于这几个正数之积的n次算术根，则①即可由均值不等式证得。证明：∵2n—1=1+2+22+…+2n—1>,∴2n>1+.绿色通道:在使用均值不等式的题目中，尤其对于n个正数的均值不等式，能够分析或观察到是n个正数的均不等式问题是解答的关键，这也需要对提供的条件代数式进行适当的变形。【变式训练】已知：a,b，c同号且互不相等,a+b+c=1，求证：++〉9.思路分析：本题解法较多,已知条件中a+b+c可看作是“1”的代换，然后两两结合使用基本不等式，或者看作6个正数的均值不等式。证法一：++==1++++1++++1=(+）+(+)+(+）+3。∵a,b，c同号，且a+b+c=1.∴a>0，b〉0，c〉0。∴,，，，，均大于0.又a，b，c互不相等,由基本不等式，得+>2，+>2，+〉2。于是，左边〉2+2+2+3=9.∴++〉9.证法二：++==3+(+++++).∵a,b，c同号且a+b+c=1，∴a>0，b〉0,c〉0。∴,，，,，均大于0，又a,b，c互不相等。由6个正数的均值不等式，得左边=3+（+++++）≥3+=3+6=9。∴++=9.问题探究问题:制作一个圆柱形的饮料盒,如果容积一定，怎样设计它的尺寸,才能使所用的材料最少?导思：所用的材料最少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来说是什么意思？分析出来，实质是表面积最小.探究:已知量：体积V.需设量：底半径r，高h。最终要研究的量：表面积S。关