数学学案：例题与探究数轴上的基本公式平面直角坐标系中的基本公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1已知数轴上的两点A(x1)、B（x2），求线段AB中点的坐标.思路分析：结合中点公式和数轴上的基本公式求解。解：设AB中点为O′（x），∵O′（x）是AB的中点，∴AO′=O′B。又∵A（x1）、B(x2)，∴AO′=x-x1，O′B=x2—x.由x-x1=x2—x得x=，∴中点坐标为O′（）。绿色通道：这个结果可以作为结论在以后的解题中使用,即已知数轴上的两点A（x1)、B（x2），则线段AB中点O′的坐标为（）.变式训练1已知数轴上的两点A（x1)、B（x2),C是线段AB的中点，D是线段AC的中点,求点C的坐标。解：根据中点坐标公式，由题意知C（），则D(），即D().例2根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)并说明式子表示的意义。（1)d（x，2)＜1；(2)｜x—2｜＞1；(3)|x—2|=1。思路分析：结合数轴，找出符合条件的点P（x）即可。解：如图:图2—1—（1，2）—2B（1)、A（2)、C（3）、D(4）。(1)d（x，2）＜1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合，∴d(x,2)＜1表示线段BC（不包括端点)。(2）｜x—2｜＞1表示到点A（2)的距离大于1的点的集合,∴|x-2|＞1表示射线BO和射线CD(不包括顶点）。(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,∴｜x—2｜=1表示点B（1)和点C（3).绿色通道:题目给出的是一些不等式,但是却可以表示一些点、线段或射线等几何图形,从而体会数形结合的思想.变式训练2|x—2｜+|x—3|的最小值是_________________.思路解析：｜x-2|表示数轴上的任意一点到点A(2)的距离，|x-3｜表示数轴上的任意一点到点B（3）的距离,那么｜x-2｜+｜x—3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A（2）的距离与到点B（3)的距离之和，即｜AC｜+｜CB|≤｜AB｜=1。答案:1例3已知A（-2，3）、B（2，-4)两点，求d(A，B).思路分析:直接代入两点间距离公式即可。解：∵x1=—2，x2=2，∴Δx=x2-x1=2-（-2)=4.又∵y1=3，y2=-4，∴Δy=y2—y1=（—4)—3=-7。∵d(A，B）=∴d（A,B）=。答:d(A，B）=.黑色陷阱：套用错误公式d(A,B）=.变式训练3已知点A（1，4)、B(4,0)，在x轴上的点M与B的距离等于点A、B之间的距离，求点M的坐标。解：∵点M在x轴上，∴设M(a，0），则｜a—4|==5。解得a=-1或a=9。∴M(—1，0）或M(9，0)。例4用坐标法证明定理：如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式AM2+CM2=BM2+DM2成立.思路分析:用坐标法证明几何问题时,选取合适的坐标系是一个很重要的问题,选取好的坐标系将给解题带来很大的方便。本题中既可以选取长方形的一个顶点作为坐标系的原点（如证法一）,也可以利用长方形的对称性选取长方形的中心作为坐标系的原点（如证法二）。证法一:建立如图2-1—(1，2）-3所示的坐标系，设长方形ABCD的长为a、宽为b，图2-1—(1，2）-3则A（0，b）、B(0,0)、C(a，0）、D(a,b)，设M（x,y)，∴AM2+CM2=［（y-b)2+（x—0）2］+[（y-0)2+（x—a)2]=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2.又∵BM2+DM2=[（y-0)2+（x-0）2］+[(y—b)2+（x-a)2］=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2,∴AM2+CM2=BM2+DM2。证法二：建立如图2—1-（1，2)-4所示坐标系,图2—1-（1，2)-4设A(a，b）、B（—a,b)、C（-a，-b)、D（a，—b）、M(x，y），则|MA|2+｜MC｜2=（x—a）2+(y—b）2+(x+a）2+（y+b)2=2(x2+y2+a2+b2），|MB｜2+｜MD｜2=(x+a）2+（y—b）2+(x—a）2+(y+b)2=2（x2+y2+a2+b2）,∴AM2+CM2=BM2+DM2。绿色通道：建立坐标系时，应当依据图形的形状特征合理选择.不同的坐标选择，整理过程的复杂程度不同，应该合理选择，以求简化解题过程。变式训练4已知点A(1，1)、B（5，3）、C(0,3)，求证:△ABC为直角三角形。证明：∵AB=，AC=,BC=显然有AB2+AC2=BC2。∴△ABC为直角三角形。变式训练5如图2-1—（1,2）-5所示平面直角坐标系中,在等腰梯形ABCO中，底AB=2,腰AO=4,∠AOC=60°，试求:图2-1—(1,2）—5（1）A、B、C三点的坐标;(2)梯形ABCO的面积S.解:（1）如图2-1-（1，2)—5,过点A、B作AE⊥x轴,BF⊥x轴，∵AO=4，∠AOC=60°，∴｜AE|=|BF|=｜AO｜sin60°=，|OE｜=|FC|=｜AO｜cos60°=2.∴A(2，)、B(4，)、C（6，0）。(2）∵|AB｜=2，|OC|=6，|AE|=，∴S=(2+6）×=。问题探究问题在一个平面直角坐标系中，