数学学案：例题与探究平面的基本性质与推论

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系。图1-2—1-4图1—2—1-4(1）可以用几何符号表示为:___________________________________________.图1—2-1—4(2）可以用几何符号表示为：___________________________________________.思路解析:本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出。答案：图1-2—1—4(1）可以用几何符号表示为：α∩β=AB,aα,bβ，a∥AB，b∥AB.图1-2-1—4(2）可以用几何符号表示为:α∩β=MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，C∈β，BMN，CMN.绿色通道：熟练掌握图形、文字、符号三者之间的相互转化是学习立体几何的基本要求之一。要正确解决此类问题需要从两个方面入手：一是从观察图形方面,可以联想图形对应的实物情形；二是正确理解对应符号的含义，可以结合集合的含义加以理解。变式训练1(1）观察下面的三个图形,说出它们有何异同；(2)用虚线画出图1-2-1—5（4）正方体和图1—2-1-5(5）三棱锥中被遮挡的棱,完成图形.图1—2-1—5思路解析：要注意不同侧面观察出的结果是不同的，可以结合实物加以理解.答案:(1)图（1）可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图;图(2)是MN凸在外面的一个空间图形的直观图;图（3)是MN凹在里面的一个空间图形的直观图。(2)补充后如图1—2-1-6：图1-2—1-6例2求证:两两相交且不共点的四条直线共面.思路分析：可以结合公理3及其推论进行证明.需要注意的是,要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明.答案:已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证:a、b、c、d共面。图1—2—1—7证明:(1)无三线共点情况,如图1-2—1—7，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q,a∩c=R，b∩c=S.∵a∩d=M，∴a、d可确定一个平面α.∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α.∴NQα，即bα.同理，cα.∴a、b、c、d共面.(2)有三线共点的情况，如图1—2—1—8,图1-2-1-8设b、c、d三线相交于点K,与a分别交于N、P、M且Ka，∵Ka，∴K和a确定一个平面，设为β.∵N∈a，aβ，∴N∈β.∴NKβ，即bβ。同理，cβ，dβ,∴a、b、c、d共面。由(1)（2）知a、b、c、d共面。变式训练2四条直线两两平行，任意三条不共面,过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面__________.思路解析：任意两条确定一个平面,四条直线确定6个平面.答案：6问题探究问题(1）一个平面将空间分成几部分?(2）两个平面将空间分成几部分？（3）三个平面将空间分成几部分？画出图形（要求:至少有两种情况有画法过程).导思：可以根据实际例子进行联想，也可以根据直线将平面分成多少部分进行类比。采用从简单到复杂递进的方法，首先对两个平面在空间的位置分类讨论，再让第3个平面以不同情况介入，然后分类解决.探究:（1）一个平面将空间分成两部分.（2）两个平面平行时，将空间分成三部分;两个平面相交时，将空间分成四部分.(3）情况比较复杂,需分类予以处理.情况1：当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)，将空间分成四个部分，其图形如图1-2—1-9。图1—2—1—9情况2：当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交，（即α∥β，γ与其相交)，将空间分成六部分，其图形如图1-2—1—10。图1-2—1-10情况3：当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合（即α∩β=l且α∩γ=l）。将空间分成六部分,其图形如图1—2—1-11.图1—2-1-11共点,但互不重合(即α∩β=l，且γ与α、β都相交，三条交线共点）。将空间分成八部分，其图形如图1—2—1—12。图1—