数学学案：例题与探究两条直线的位置关系点到直线的距离

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1（经典回放)在△ABC中，BC边的中点M(，），直线AC的方程为x+1=0，直线AB的方程为x+y—1=0,求直线BC的方程。思路分析：确定直线的方程需要两个条件，本题已经给出直线BC经过M点，∴只要求得点B(或C)的坐标或直线BC的斜率就可以了.图2-2—(3,4)—1解法一：利用两点式,参看图2—2—（3，4)—1。设B（a,1-a）、C(-1,b）,则∴∴B(-4，5)、C(-1，-4）.∴BC的方程为，即3x+y+7=0.解法二:利用点斜式.设直线BC的方程为y-=k（x+)(k存在).由得B点横坐标xB=(k存在）。又点C横坐标xC=-1，∴由中点坐标公式得—1=-5,解得k=-3。∴直线BC的方程为3x+y+7=0.解法三：利用两点式.作MD∥AC交AB于D，则点D(—，）为边AB的中点，∵A（—1，2)，∴B(—4,5).∴由点M、B的坐标可得直线BC的方程为3x+y+7=0。绿色通道：灵活运用直线方程的各种形式,常常要和平面几何的有关知识相结合.黑色陷阱：一定要注意直线方程各种形式的应用条件。变式训练1l过点P（2,3),且与两坐标轴的截距相等,求直线l的方程.解法一：利用点斜式(本题斜率存在且不为零）.设直线l的方程为y-3=k(x-2）.令x=0，得在y轴上的截距b=—2k+3;令y=0，得在x轴上的截距a=2(k≠0）.由两坐标轴上截距相等，得—2k+3=2，即k=-1或.∴l的方程为x+y-5=0或3x—2y=0。解法二:利用一般式.设直线l的方程为x+y+C=0或kx-y=0,由于点P(2,3)在l上,得2+3+C=0或2k-3=0，故C=—5或k=。∴l的方程为x+y-5=0或3x-2y=0。例2已知直线l:3x-y-1=0,在l上求一点P,使得（1）P到点A(4，1）和B（0，4）的距离之差最大；（2）P到点A(4，1)和C(3,4）的距离之和最小。图2-2—(3,4)—2思路分析:利用三角形的性质(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）以及对称性质.解：（1)如图2—2—（3,4）-2中,设点B关于l的对称点为B′（a，b）,则l是BB′的垂直平分线。∴kBB′=.∴即点B′的坐标为(3,3）.于是AB′的方程为,即2x+y—9=0。解方程组得即l与AB′的交点坐标为(2，5）。由平面几何知识知,对l上的任意点P′，有｜|P′A|-|P′B||=｜|P′A|—|P′B′|｜≤||PA｜-|PB′｜｜=｜B′A|。图2-2—(3，4)—3当且仅当P′、B′、A共线时取等号。故可知所求P点坐标为(2，5)。（2）如图2—2—(3，4）—3中,设C点关于l的对称点为C′，可求出C′的坐标为（，).于是可得AC′所在直线的方程为19x+17y—93=0。由AC′和l的方程联立，解得交点的坐标为P().绿色通道：许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决.求解解析几何问题时常会碰到计算量大的问题，简化运算量的技巧是学习解析几何的一项基本技能.当直线满足某一规律时，直线上的点也满足这个规律,因此许多直线的问题是从分析直线上的某点入手的.变式训练2已知A（4,-3）、B（2,—1)和直线l：4x+3y—2=0，求一点P，使|PA｜=｜PB｜，且点P到直线l的距离等于2。解法一:设点P(x，y)，|PA|=|PB|，∴。①点P到直线l的距离等于2，∴.②由①②得P（1，—4）或(）.解法二:设点P(x，y），|PA|=｜PB|，∴点P在线段AB的垂直平分线上。AB的垂直平分线的方程是y=x—5,∴设点P(x,x-5）.点P到直线l的距离等于2，∴由上式得到x=1或,∴P（1，—4）或（,）.例3已知n条直线:x-y+C1=0（C1=）,x-y+C2=0，x-y+C3=0,……x-y+Cn=0(其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn).这n条平行线中，每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n。（1）求Cn;（2）求x—y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积;(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成的图形的面积.思路分析：(1）由两条平行线间的距离公式，依次写出C2，C3,…,Cn,然后找出它们的共同的规律,利用逐项相加的方法把中间项C2，C3,…，Cn—1消去,即可得到Cn。在解决了第(1）问后,后面的两问便容易解决了。解:(1)对任意的两条相邻的平行线Ci、Ci+1间的距离记为di（i=1，2，…,n-1),根据两平行线间的距离公式有di=,i=1,2，…,n-1。此即di=Ci+1—Ci,i=1，2,…,n-1.分别令i=1,2，…,n—1,再把所得的各式相加,得（d1+d2+…+dn)=Cn-C1,即(2+3+…+n）=Cn—C1.把C1=代入此式得Cn=(1+2+3+…+n)=.（2）直线x-y+Cn=0在坐标轴上所截的线段长皆为｜Cn｜,∴截得三角形的面积为｜Cn|2=n2(n+1)2。图2—2—（3，4）-4(3)直线x—y+Cn—1=0与x—y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积就是直线x-y+Cn=0在坐标轴上截得的三角形的面积与直线x-y+Cn—1=0在坐标轴上所截得的三角形的面积之差，如图2—2—（3，4）—4所示的阴影部分面积。∴要求的阴影部分的面积为n2（n+1）2—n2（n—1)2=n3。绿色通道：一般说来,数学题有多问时,后面的问题依赖于前面问题的解决,在高考中尤其如此，所以做第一问是关键。许多解析几何问题都需要结合平面几何的相关知识来解决。黑色陷阱:如果对第(3)问不能转化为两个三角形的面积之差,将导致解题困难.变式训练3（2006上海高考，文2）已知两条直线l1：ax+3y—3=0,l2:4x+6y-1=0。若l1∥l2,则a=______________。思路解析：由于两条直线的斜率都存在,所以根据两条直线平行，斜率相等，可以将题意转化为关于a的方程进行求解.根据题意，得6a=12，解得a=2。答案：2变式训练4(2006福建高考,文1)已知两条直线y=ax-2和y=（a+2)x+1互相垂直，则a等于（)A.2B。1C.0思路解析:由于两条直线的斜率都存在,所以根据两条直线垂直,斜率互为倒数，可以将题意转化为关于a的方程进行求解。根据题意,得a(a+2）+1=0,解得a=-1。因此选D.答案：D问题探究问题1方程组的系数满足什么条件时，直线l1：A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0相交、平行、重合呢？导思：（1）如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必定是直线l1和l2的交点。因此两直线l1、l2相交方程组有唯一解.（2）如果两条直线不相交，那么在平面直角坐标系内有两种情况：一是平行，一是重合.当两直线平行时，它们没有公共点，也就是说，同时满足这两个方程的解不存在，即方程组无解,即l1、l2平行方程组无实数解。（3）如果两条直线重合，那么它们就有无数个公共点,也就是说，同时满足这两个方程的解有无数个，即方程组有无穷多个解，即l1、l2重合方程组有无穷多个解.探究：我们解方程组①×B2—②×B1，得（A1B2—A2B1）x+B2C1-B1C当A1B2—A2B1≠0时,得x=.再由①×A2—②×A1,当A1B2—A2B1≠0时，可得y=.因此当A1B2—A2B1≠0时，方程组有唯一一组解，这时两直线相交.当A1B2—A2B1=0，而B1C2—B2C1≠0(或A2C1—A如果A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2(其中λ≠0),即这两个方程中未知数的对应系数成比例,直线l1的方程变为λ（A2x+B2y+C2）=0,两个方程解集相同,则两个方程表示同一条直线，即l1、l2重合。通过上述讨论知道两直线间“形”的关系可化归为方程组的解即“数”的关系来研究，即以“数”解“形",同时以“形”助“数"。问题2过两条相交直线交点的直线应该满足什么样的形式?已知直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0为两条相交直线，那么方程A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0能表示直线吗？若能，所表示的直线l与l1、l2间又有何关系？导思：l1与l2相交≠A1B2≠A2B1.探