贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 含解析

六盘水市纽绅中学2024～2025学年度高二（上）期中考试数学试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，向量，，且，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析求解.【详解】因为向量，，且，则，解得.故选：D.2.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】D【解析】【分析】由题意可以先得到直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得解.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，从而直线的倾斜角.故选：D.3.已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据四点共面的结论运算求解即可.【详解】因为，且四点共面，则，解得.故选：C.4.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用向量加法法则得到，再应用向量数量积的运算律求模.【详解】由题设，易知是边长为的正三角形，所以.故选：A5.已知点、，则线段的垂直平分线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用斜率计算公式可得：，线段的中点为，即可得出线段的垂直平分线的方程．【详解】，线段的中点为，线段的垂直平分线的方程是，化为：，故选：A．6.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（

）A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球C.至少有一个白球；红､黑球各一个 D.恰有一个白球；一个白球一个黑球【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.【详解】对于A，至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；对于C，至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，C是；对于D，恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.故选：C7.已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等，所以点在直线上，当时，点到坐标原点距离的最小，为故选：C8.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若他三个社团考核都通过的概率为，三个社团考核都没有通过的概率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意结合独立事件以及对立事件概率求法，列式求解.【详解】因为他三个社团考核都通过的概率为，则，即，又因为三个社团考核都没有通过的概率为，则，整理可得，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（）A.某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖B.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率C.某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈D.某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水【答案】ACD【解析】【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项.【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为，不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误．对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错．故选：ACD．10.已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】首先将直线的一般式方程化为斜截式，根据斜率和截距之间的关系，结合图形逐一判断．【详解】直线可化为的斜率为，在轴上的截距为．直线可化为的斜率为，在轴上的截距为．当时，直线与平行且图象满足A所示，故A正确．选项B中，由直线在轴上的截距可得,，而由直线的斜率为，可得，故B不正确．选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距．直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确．选项D中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距．直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故D正确．故选：ACD．11.已知正方体的边长为2，E､F､G､H分别为､､､的中点，则下列结论正确的是（）A B.平面C.点到平面的距离为2 D.二面角的大小为【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系,运用空间向量的方法对线线垂直，线面平行，点面距离，二面角进行计算，对选项进行分析,由此确定正确答案【详解】解：以坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，所以，所以，所以，故A选项错误；设平面的法向量为，则，令则，所以，所以，由于平面，所以平面，故B选项正确；，所以到平面的距离为故C选项正确；由正方体可得平面，所以平面的一个法向量为，设二面角平面角为，由图可知，为锐角，所以，故D选项错误，故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解.【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组，据此估计甲获得冠军的概率为．故答案为：.13.直线不过第二象限，则的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】分类讨论，将直线的方程化为斜截式求解即可.【详解】当时，即，方程为，此直线不过第二象限，符合题意；当时，将直线化为斜截式为：.由于不过第二象限，所以，解得；综上：，故的取值范围为：.故答案为：.14.阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意得到不同平面的法向量，两个平面的交线与两个平面的法向量均垂直，我们可以求得两个平面交线的方向向量，然后利用向量夹角与线面角的关系求解即可.【详解】平面的方程为，所以平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则，，所以.设直线与平面所成角的大小为，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.“解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）设平面直角坐标系内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值；（2）已知直线经过原点，且经过两条直线的交点，求直线的方程.【答案】（1）1或2；（2）.【解析】【分析】（1）利用斜率公式列方程求解即可；（2）先求出两直线的交点，然后由两点式可得.【详解】解：（1）由，即，解得或，经检验均符合题意，故的值是1或2.（2）因为方程组的解为，所以两条直线和的交点坐标为，由题意知直线经过点.又直线经过原点，所以直线的方程为，即.16.“盲盒”是指商家将动漫、影视作品的周边或设计师单独设计出玩偶放入盒子里，当消费者购买这个盒子，因盒子上没有标注，只有打开才会知道抽到什么，不确定的刺激会加强重复决策，从而刺激消费．某商家将编号为1，2，3的三个玩偶随机放入编号为1，2，3的三个盒子里，每个盒子放一个玩偶，每个玩偶的放置是相互独立的．（1）共有多少种不同的放法？请列举出来；（2）求盒中放置的玩偶的编号与所在盒的编号均不相同的概率．【答案】（1）6种，；；；；；（2）【解析】【分析】（1）根据题意列出全部基本事件即可.（2）根据题意得到玩偶的编号与所在盒的编号均不相同有，两个基本事件，再利用古典概型公式计算即可.【小问1详解】共有6种不同的放法，按盒子号1，2，3的顺序放入玩偶的情况为；；；；；．【小问2详解】设所求事件为A，则A包含有，两个基本事件，并且每个基本事件等可能，故．17.在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.（1）求直线与所成角的大小；（2）判断直线与平面的关系.【答案】（1）（2）垂直【解析】【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的大小；（2）利用向量法求出，，从而直线与平面垂直．【小问1详解】在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,，,0,，,2,，设直线与所成角为，则，，直线与所成角的大小为；【小问2详解】直线与平面垂直，理由如下：由（1）知,2,，,0,，，，，，，、平面，直线与平面垂直．18.某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是.（1）若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【小问1详解】设事件分别表示“被评为等级”，由题意，事件两两互斥，所以，又“不被罚款”，所以.因此“不被罚款”的概率为；【小问2详解】设事件表示“第单被评为等级”，，则“两单共获得的奖励为3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.19.如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若钝二面角的余弦值为，当时，求的长．【答案