三明市尤溪县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题（带解析）

第1页/共1页2024－2025学年第一学期九年级期中教学质量监测数学（满分：150分考试时间：120分钟）友情提示：1．本试卷8页．2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写（涂）在答题卡上．3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．1.一元二次方程的根是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将等号左边提公因式，用因式分解法即可求出方程的解；【详解】解：原方程可化为：，因此或，所以，．故选：D．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（）A.5 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本题考查成比例线段，根据a，b，c，d是成比例线段，得到，进而利用比例性质求解即可．【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴，∵，，，∴，解得，故选：B．3.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．【详解】如图：菱形中，分别是的中点，，故四边形是平行四边形，又∴四边形是矩形．故选：C．4.在用求根公式求一元二次方程的根时，小明正确地代入了，，得到，则他求解的一元二次方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答．【详解】解：由知：，，．所以该一元二次方程为：．故选：A．5.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（）A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量两组对边是否分别相等C.测量其中的三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意；C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意；D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意；故选C．6.如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和时，灯泡能发光，画树状图如下：共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，∴灯泡能发光的概率为，故选：A．7.根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x3.233.243.253.260.030.09A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据二次函数的图象与x轴有交点时，方程有解，进而可求解．【详解】解：令（，a，b，c为常数），当时，，当时，，时，二次函数的图象与x轴有一个交点，即方程的一个解x的范围是，故选C．8.用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键．将常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可．【详解】故选：A9.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可．【详解】解：是的黄金分割点，，，，，即，故选：D．【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．10.如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形的面积，证明四边形是矩形得到是解答的关键．先根据矩形的性质和勾股定理得到，，再证明四边形是矩形得到，由垂线段最短得到当时，线段最短，即线段最小，利用三角形的等面积求解即可．【详解】解：连接∵四边形是矩形，，，∴，，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，当时，线段最短，即线段最小，此时，由得，∴线段长最小值为，故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.已知，则______．【答案】【解析】【分析】考查了分式的求值，找出的关系，代入所求式进行约分．由，得，再代入所求得式子化简即可．【详解】，，，故答案为：12.有张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，经历多次试验后，记录抽到红桃的频率为，则红桃大约有______张．【答案】【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的频率为20%，即红桃的概率为20%，根据概率公式即可求出红桃的张数．【详解】解：由题意可得，红桃大约有：张．故答案为：．13.在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝______．【答案】4．【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得．【详解】∵，D是AB的中点，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．14.如果两个相似三角形面积之比为，那么它们对应高之比为______．【答案】##13【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，对应高之比等于相似比求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为，∴这两个相似三角形的相似比为，∴它们对应高之比为，故答案为：．15.小明与小颖一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小颖在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是．则原来的方程是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解．【详解】∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1；∴，又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是．∴，原来的方程是，故答案为：16.如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是______．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，先证明四边形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，得到，，则，可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可．【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥直线c于D，过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E，∵a∥b∥c，∴AD⊥直线a，EF⊥直线a，EF⊥直线c，∴四边形ADEF矩形，∴AF=DE，AD=EF，∵直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为，∴，，∴，∵△ABC是等边三角形，∴可设AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，又∵，∴，∴，∴，∴∴，∴，∴，解得（不符合题意的值已经舍去），∴△ABC的边长为．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，平行线的间距，解题的关键在于熟练掌握相关知识．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．（1）利用公式法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：，，，∴，∴，∴，；【小问2详解】解：移项，得，∴，∴或，∴，．18.10月23日至25日某校召开田径运动会，小明报名参加，有以下5个项目可供选择：径赛项目：，，（分别用、、表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用、表示）．（1）小明从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；（2）小明从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为12，然后根据概率公式计算即可．【小问1详解】∵5个项目中田赛项目有2个，∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目概率为：；故答案为：；【小问2详解】画树状图得：∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：19.小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？【答案】教学大楼的高度是米【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，，得出，进而得出，即可求解．【详解】解：∵由题意得，，，∴，∴，即，解得：，答：教学楼高度是米．20.阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解得．当时，，∴；当时，，∴x=±2；∴原方程有四个根：．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程．【答案】（1）换元，降次（2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想；（2）经分析：设,则，再运用因式分解法求出y的值，再代入得关于x的方程求解即可．【小问1详解】解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想故答案为：换元，降次【小问2详解】解：设，则，∴，解得．当时，即，解得：．当时，即，则，由，此时方程无解．所以原方程的解为．21.下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请按要求完成相应的任务．（1）用尺规按下面步骤作出图形：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接，，AD，作射线BD；③以D为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BD于点E；④连接CE，交AB于点F．（2）请你证明点F为AB的三等分点（即）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得到是解答的关键．（1）根据作图步骤画图即可；（2）根据作图得，进而可得四边形是菱形，则，证明，根据相似三角形的性质得到，进而有可得结论．【小问1详解】解：如图所示：小问2详解】证明：由作图步骤得：，∴四边形是菱形，∴，∴，，∴，∴，∴，即，故点F为AB的三等分点．22.侠天下景区某商店以每件8元的价格购进挂坠，以每件14元的价格出售．据统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件．（1）求该挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率；（2）从10月份起，商家决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该挂坠每降价0.5元，月销售量就会增加20件．则挂坠售价为多少元时，月销售利润达1920元？【答案】（1）（2）12元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握起始量、终止量、增长次数的关系，总利润、每个利润、数量的关系列方程，每个利润、进价、售价的关系，售价、原价、降价的关系列式，是解题关键．（1）设该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为a，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案；（2）设每件挂坠降价x元，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案；【小问1详解】解：设该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为a，由题意得，，解得：，（舍）．答：该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为．【小问2详解】解：设每件挂坠降价x元，则每件的销售利润为元，由题意得，，整理得：，解得：，（舍）．∴（元）．答：应将每件挂坠的售价定为12元．23.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根；（2）若方程有一个根大于1，求k的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1，找出关于的一元一次不等式（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出,根据方程有一根大于1，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；【小问1详解】证明：∵在方程中，，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】∵，∴，∵方程有一根大于1，∴，∴的取值范围为；24.如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接．（1）求证：；（2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由．【答案】（1）见解析（2）菱形，见解析（3）当时，四边形是正方形，理由见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论；（2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形；（3）当