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第1页/共1页2024-2025学年第一学期九年级期中教学质量监测数学(满分:150分考试时间:120分钟)友情提示:1.本试卷8页.2.考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写(涂)在答题卡上.3.答题要求见答题卡上的“注意事项”. 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.1.一元二次方程的根是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将等号左边提公因式,用因式分解法即可求出方程的解;【详解】解:原方程可化为:,因此或,所以,.故选:D.【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程,解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.已知a,b,c,d是成比例线段,其中,,,则线段d的长为()A.5 B.6 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】本题考查成比例线段,根据a,b,c,d是成比例线段,得到,进而利用比例性质求解即可.【详解】解:∵a,b,c,d是成比例线段,∴,∵,,,∴,解得,故选:B.3.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是()A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理,正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键.先证明四边形是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断.【详解】如图:菱形中,分别是的中点,,故四边形是平行四边形,又∴四边形是矩形.故选:C.4.在用求根公式求一元二次方程的根时,小明正确地代入了,,得到,则他求解的一元二次方程是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的解,解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义.根据求根公式解答.【详解】解:由知:,,.所以该一元二次方程为:.故选:A.5.如图,诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫,为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形,他想出了以下几种方案,其中合理的是()A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量两组对边是否分别相等C.测量其中的三个角是否都为直角 D.测量对角线是否相等【答案】C【解析】【分析】本题考查矩形的判定,根据矩形的判定方法,逐一进行判断即可.【详解】解:A、测量一组对边是否平行且相等,只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形,不符合题意;B、测量两组对边是否分别相等,只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形,不符合题意;C、测量其中的三个角是否都为直角,可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形,符合题意;D、测量对角线是否相等,不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形,不符合题意;故选C.6.如图所示的电路中,当随机闭合开关、、中的两个时,灯泡能发光的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式,正确的画出树状图是解此题的关键.画树状图,共有6种等可能的结果,其中能够让灯泡发光的结果有4种,再由概率公式求解即可.【详解】解:由电路图可知,当同时闭合开关和,和时,灯泡能发光,画树状图如下:共有6种等可能结果,其中灯泡能发光的有4种,∴灯泡能发光的概率为,故选:A.7.根据下列表格的对应值,判断方程(,a,b,c为常数)的一个解x的范围是()x3.233.243.253.260.030.09A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程,令(,a,b,c为常数),根据二次函数的图象与x轴有交点时,方程有解,进而可求解.【详解】解:令(,a,b,c为常数),当时,,当时,,时,二次函数的图象与x轴有一个交点,即方程的一个解x的范围是,故选C.8.用配方法解一元二次方程,此方程可变形为()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程,正确掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键.将常数项移到等号右边,再在等式两边加上一次项系数一半的平方即可.【详解】故选:A9.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示以线段为边作正方形,取的中点,连接,延长至,使得,以为边作正方形,则点即是线段的黄金分割点.若记正方形的面积为,矩形的面积为,则与的比值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是的黄金分割点求出,求出,,再得出答案即可.【详解】解:是的黄金分割点,,,,,即,故选:D.【点睛】本题考查了黄金分割,能熟记黄金分割的性质是解此题的关键.10.如图,矩形中,,,点P为对角线上一动点,于点E,于点F,则线段长的最小值为()A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形的面积,证明四边形是矩形得到是解答的关键.先根据矩形的性质和勾股定理得到,,再证明四边形是矩形得到,由垂线段最短得到当时,线段最短,即线段最小,利用三角形的等面积求解即可.【详解】解:连接∵四边形是矩形,,,∴,,∵,,∴,∴四边形是矩形,∴,当时,线段最短,即线段最小,此时,由得,∴线段长最小值为,故选:B.二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.11.已知,则______.【答案】【解析】【分析】考查了分式的求值,找出的关系,代入所求式进行约分.由,得,再代入所求得式子化简即可.【详解】,,,故答案为:12.有张牌,牌面朝下,每次抽出一张记下花色再放回,洗牌后再抽,经历多次试验后,记录抽到红桃的频率为,则红桃大约有______张.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率.根据概率的频率定义可知,由于抽到红桃的频率为20%,即红桃的概率为20%,根据概率公式即可求出红桃的张数.【详解】解:由题意可得,红桃大约有:张.故答案为:.13.在Rt中,∠C=90°,点D是AB边的中点,若AB=8,则CD=______.【答案】4.【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得.【详解】∵,D是AB的中点,∴,∴.故答案为:4.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键.14.如果两个相似三角形面积之比为,那么它们对应高之比为______.【答案】##13【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方,对应高之比等于相似比求解即可.【详解】解:∵两个相似三角形面积之比为,∴这两个相似三角形的相似比为,∴它们对应高之比为,故答案为:.15.小明与小颖一起写作业,在解一道二次项系数为1的一元二次方程时,小明在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小颖在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是.则原来的方程是______.【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据题意得出原方程中,即可求解.【详解】∵小影在化简过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1;∴,又∵小冬写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是.∴,原来的方程是,故答案为:16.如图,a//b//c,直线a与直线b之间的距离为,直线c与直线b之间的距离为,等边的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上,则等边三角形的边长是______.【答案】【解析】【分析】如图所示,过点A作AD⊥直线c于D,过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E,先证明四边形ADEF是矩形,得到AF=DE,AD=EF,再由直线a与直线b之间的距离为,直线c与直线b之间的距离为,得到,,则,可设AB=AC=BC=x,由勾股定理得:,,,再由,即可得到,由此求解即可.【详解】解:如图所示,过点A作AD⊥直线c于D,过点B作EF⊥直线b分别交直线a、c于F、E,∵a∥b∥c,∴AD⊥直线a,EF⊥直线a,EF⊥直线c,∴四边形ADEF矩形,∴AF=DE,AD=EF,∵直线a与直线b之间的距离为,直线c与直线b之间的距离为,∴,,∴,∵△ABC是等边三角形,∴可设AB=AC=BC=x,由勾股定理得:,,,又∵,∴,∴,∴,∴∴,∴,∴,解得(不符合题意的值已经舍去),∴△ABC的边长为.故答案为:.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,矩形的性质与判定,勾股定理,平行线的间距,解题的关键在于熟练掌握相关知识.三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解方程:(1)(2)【答案】(1),(2),【解析】【分析】本题考查解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键.(1)利用公式法解方程即可;(2)利用因式分解法解方程即可.【小问1详解】解:,,,∴,∴,∴,;【小问2详解】解:移项,得,∴,∴或,∴,.18.10月23日至25日某校召开田径运动会,小明报名参加,有以下5个项目可供选择:径赛项目:,,(分别用、、表示);田赛项目:跳远,跳高(分别用、表示).(1)小明从5个项目中任选一个,恰好是田赛项目的概率为______;(2)小明从5个项目中任选两个,利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果,并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B的概率.(1)直接根据概率公式求解;(2)先画树状图展示所有20种等可能的结果数,再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为12,然后根据概率公式计算即可.【小问1详解】∵5个项目中田赛项目有2个,∴该同学从5个项目中任选一个,恰好是田赛项目概率为:;故答案为:;【小问2详解】画树状图得:∵共有20种等可能的结果,恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况,∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为:19.小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后,用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度.如图,她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜,镜子与教学楼的距离米,然后在射线AE上调整自己与镜子的距离,直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B,此时她与镜子的距离米,若小颖的眼睛距离地面高度米,请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米?【答案】教学大楼的高度是米【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,根据,,得出,进而得出,即可求解.【详解】解:∵由题意得,,,∴,∴,即,解得:,答:教学楼高度是米.20.阅读下面的材料,回答问题:解方程,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设,那么,于是原方程可变为①,解得.当时,,∴;当时,,∴x=±2;∴原方程有四个根:.(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用___________法达到________的目的,体现了数学的转化思想.(2)解方程.【答案】(1)换元,降次(2)【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程,掌握运用换元、因式分解法解一元二次方程是解题的关键.(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想;(2)经分析:设,则,再运用因式分解法求出y的值,再代入得关于x的方程求解即可.【小问1详解】解:在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想故答案为:换元,降次【小问2详解】解:设,则,∴,解得.当时,即,解得:.当时,即,则,由,此时方程无解.所以原方程的解为.21.下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程,请按要求完成相应的任务.(1)用尺规按下面步骤作出图形:①分别以点A,B为圆心,大于的长为半径在AB两侧画弧,四段弧分别交于点C,点D;②连接,,AD,作射线BD;③以D为圆心,BD的长为半径画弧,交射线BD于点E;④连接CE,交AB于点F.(2)请你证明点F为AB的三等分点(即).【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的性质得到是解答的关键.(1)根据作图步骤画图即可;(2)根据作图得,进而可得四边形是菱形,则,证明,根据相似三角形的性质得到,进而有可得结论.【小问1详解】解:如图所示:小问2详解】证明:由作图步骤得:,∴四边形是菱形,∴,∴,,∴,∴,∴,即,故点F为AB的三等分点.22.侠天下景区某商店以每件8元的价格购进挂坠,以每件14元的价格出售.据统计,7月份的销售量为256件,9月份的销售量为400件.(1)求该挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率;(2)从10月份起,商家决定降价促销回馈顾客,经调查发现,该挂坠每降价0.5元,月销售量就会增加20件.则挂坠售价为多少元时,月销售利润达1920元?【答案】(1)(2)12元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握起始量、终止量、增长次数的关系,总利润、每个利润、数量的关系列方程,每个利润、进价、售价的关系,售价、原价、降价的关系列式,是解题关键.(1)设该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为a,根据题意列一元二次方程求解,即可得到答案;(2)设每件挂坠降价x元,根据题意列一元二次方程求解,即可得到答案;【小问1详解】解:设该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为a,由题意得,,解得:,(舍).答:该款挂坠7月份到9月份销售量的月平均增长率为.【小问2详解】解:设每件挂坠降价x元,则每件的销售利润为元,由题意得,,整理得:,解得:,(舍).∴(元).答:应将每件挂坠的售价定为12元.23.已知关于x的一元二次方程.(1)求证:不论k取何值,该方程都有两个实数根;(2)若方程有一个根大于1,求k的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式,解题的关键是(1)牢记“当时,方程有两个实数根”;(2)利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1,找出关于的一元一次不等式(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得,由此可证出方程总有两个实数根;(2)利用分解因式法解一元二次方程,可得出,根据方程有一根大于1,即可得出关于的一元一次不等式,解之即可得出的取值范围;【小问1详解】证明:∵在方程中,,∴方程总有两个实数根;【小问2详解】∵,∴,∵方程有一根大于1,∴,∴的取值范围为;24.如图,在中,,过点C的直线,为边上一点,过点作,交直线于,垂足为,连接.(1)求证:;(2)当D在中点时,四边形是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若D为中点,则当的大小满足什么条件时,四边形是正方形?说明你的理由.【答案】(1)见解析(2)菱形,见解析(3)当时,四边形是正方形,理由见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质,熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.(1)由题意得出,结合证明四边形是平行四边形即可得出结论;(2)先证明四边形是平行四边形,结合即可得出四边形是菱形;(3)当
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