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函数极值ppt课件CONTENTS函数极值的基本概念函数极值的求法函数极值的应用函数极值的扩展知识函数极值的基本概念01极值是函数在某点附近的小范围内比其邻近点的函数值都大或都小的点。极值不是唯一的，只要函数图像连续，在其两侧总有极大值和极小值。函数在极值点处的导数可能为零、大于零或小于零。极值的定义极值是局部概念，只涉及函数在极值点附近的行为。极值不是函数在区间上的最大值或最小值，但可能接近最大值或最小值。在极值点处，函数的切线与x轴平行。极值的性质二阶导数判定法如果一元函数在某点的二阶导数大于零，则该点为极小值点；如果二阶导数小于零，则该点为极大值点。但二阶导数等于零的点不一定是极值点。驻点判定法如果一元函数在某点的导数为零，则该点可能是极值点。但导数等于零的点不一定是极值点。凹凸判定法如果函数在某点的切线为下凹或上凸，则该点可能是极小值或极大值点。但凹凸性改变的点不一定是极值点。符号判定法通过考察函数在极值点附近两侧的符号变化来判断极值。如果函数在某点附近左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点；反之则为极小值点。极值的判定条件函数极值的求法02极值点处的导数必须为零这是极值点的一个必要条件，因为函数在极值点处的变化率必须为零。极值点两侧的导数符号必须相反在极值点左侧，导数应该为负，在极值点右侧，导数应该为正。极值的必要条件如果函数在某点的导数等于零，并且该点两侧的导数符号发生变化，则该点可能是极值点。一阶充分条件如果函数在某点的二阶导数大于零，则该点是极小值点；如果二阶导数小于零，则该点是极大值点。二阶充分条件极值的一阶和二阶充分条件通过定义极值点的必要条件和充分条件，判断函数在某点的导数是否为零，以及该点两侧的导数符号是否发生变化。通过求函数的导数，找到导数为零的点，然后判断该点是否为极值点。通过求函数的二阶导数，判断该点的函数值是极大还是极小。定义法导数法二次导数法极值的计算方法函数极值的应用03供需平衡分析在经济学中，函数极值可用于分析供需关系，确定市场均衡点。例如，通过研究需求函数和供给函数的极值点，可以了解在何种价格水平下市场供需达到平衡。成本收益分析在制定经济决策时，可以使用函数极值来分析成本和收益之间的关系。例如，通过最小化成本函数或最大化收益函数，可以找到最优的成本投入和产出水平。在经济领域的应用在弹性力学中，函数极值可用于分析物体的形变和应力分布。例如，通过研究弹性模量函数的极值点，可以了解物体在不同受力情况下的形变和应力状态。弹性力学在光学设计中，函数极值可用于优化光学系统的性能。例如，通过最小化光学路径函数或最大化光能利用率函数，可以设计出高效、低畸变的光学系统。光学设计在物理领域的应用在工程结构设计中，函数极值可用于优化结构的强度和稳定性。例如，通过研究结构应力函数的极值点，可以找到最优的结构尺寸和材料分布，以提高结构的承载能力和稳定性。结构设计在控制系统设计中，函数极值可用于优化控制系统的性能指标。例如，通过最小化控制系统传递函数的极值点，可以设计出响应速度快、稳定性好的控制系统。控制系统设计在工程领域的应用函数极值的扩展知识04一个函数在某点的邻域内取得最大值或最小值不止一次，则称该点为多重极值点。通过求二阶导数或更高阶导数，观察函数的凸凹性变化，确定是否存在多重极值。在经济学、物理学等领域中，常常需要研究具有多重极值的函数。定义判断方法应用多重极值

不可微函数的极值定义如果一个函数在某一点的导数不存在，则称该点为不可微点。如果不可微点是极值点，则称该点为不可微函数的极值点。判断方法通过极限或取极限的方法，判断不可微点是否为极值点。应用在实际问题中，很多函数的导数并不一定存在，因此研究不可微函数的极值具有重要意义。定义01离散函数是指函数值的取值是离散的，即函数值的取值只能是一个一个的数。如果离散函数在某点的函数值比其邻近点的函数值大或小，则称该点为离散函数的极值点。判断方法02通过比较离散函数在某点的函数值与