江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期11月期中调研数学试题 含解析

2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷数学注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可.【详解】，复数与关于虚轴对称，故.故选：C2.若对于任意的实数都有成立，则的值可能是（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可.【详解】，故，即，当时，故选：A3.下列说法中不正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.命题“，”的否定是“，”C.“若，，，则且”是假命题D.设，，则“或”是“”的充要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD；利用命题的否定即可判断选项B；利用赋值法即可判断选项C.【详解】对于A,“”是“”的必要不充分条件,故A正确；对于B，命题“，”的否定是“，”，故B错误；对于C，当时，满足，不满足且，故“若，，，则且”是假命题，故C正确；对于D，“或”是“”的充要条件，故D正确.故选：B4.在数列中，，则数列前24项和的值为（）A.144 B.312 C.288 D.156【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合，将前24项和转化为等差数列求和问题.【详解】因为，所以，故选：C.5.已知实数，则的最小值为（）A.12 B.9 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】将看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.【详解】设，，故，，当且仅当，即时，等号成立.故选：B6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别r，R，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为，设圆柱高为h，则，，由题，，得.故选：D.7.已知，若存在常数，使得为偶函数，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的解析式，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解．【详解】由，得是偶函数，因为不可能是奇函数，所以和都是偶函数，为偶函数，则，即，为偶函数，则，，，，只有时，，故选：A8.已知函数，若，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将转化为函数和的零点相同，然后利用，构造函数求最值即可.【详解】，因为，且函数和都是增函数，故若恒成立，则函数和的零点相同，即.故，设则故在，，单调递增；在，，单调递减.故故最大值为.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法中正确的是（）A.若，则或1 B.若，则或-3C.若，则或3 D.若，则向量，夹角的余弦值为【答案】AC【解析】【分析】根据向量平行求参判断A选项，根据向量垂直求参判断B选项，应用模长相等计算判断C选项，根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D选项.【详解】A选项，若，有，解得或，A选项正确；B选项，若，有，解得或3，B选项错误，；C选项，若，有，解得或，C选项正确；D选项，当时，，，，，，向量，夹角的余弦值为，D选项错误．故选：AC.10.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（）A.若为锐角三角形，则B.若，，则是直角三角形C.若，则是等腰三角形D.若为钝角三角形，且，，，则的面积为【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A选项；利用余弦定理即可判断B选项；利用正弦定理边化角即可判断C选项；利用余弦定理求出或，再进行分类讨论即可判断D选项.【详解】对于A,若为锐角三角形，则即，故，故A正确；对于B，若，，则，即，故，且，故是等边三角形，故B错误；对于C，若，则即即故，是等腰三角形.故C正确；对于D，，解得或，且，当时，，钝角，故，当时，，B为钝角，故，故D错误.故选：AC11.已知，是函数，两个不同的零点，且，，是函数两个极值点，则（）A. B.或C.值可能为11 D.使得的的值有且只有1个【答案】ACD【解析】【分析】由是的零点且得，展开后与已知比较可得，可判断A，由有两个不等实解，得的范围，可判断B，直接解方程可判断C，由韦达定理得出，代入，化为关于的方程，引入函数，由导数确定它的单调性，结合零点存在定理得零点范围，结合B中范围可判断D．【详解】由已知有两个零点，，又，是函数两个不同的零点且，所以，即所以，，即，A正确；，解得或，，，由已知有两个不等实根，所以，解得或，所以或，B错；，解得或，满足或，C正确；由，得，，，由整理得，设，则，或时，，时，，在在和上递增，在上递减，又，，，所以在，，上各有一个零点，又或，因此只在上在一个解，D正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的零点，极值，对计算要求较高，对多项式函数，如果是它的一个零点，则，因此本题中在已知有两个乘积为1的零点时，结合常数项可设，展开后得出与的关系，从而使得问题可解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】，故，因为在区间0,1上的值域为，且，故必有，如图所示，则故故答案为：13.如图，边长为1的正，是以为圆心，以为半径的圆弧上除点以外的任一点，记外接圆圆心为，则______.【答案】##【解析】【分析】利用三角形外心的性质将转化为即可.【详解】取的中点，因为为正三角形，故为的中垂线，则外接圆圆心一定在上，如图所示，，故.故答案为：14.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足恒成立，则称直线为和的“媒介直线”.已知函数，，若和之间存在“媒介直线”，则实数的范围是______.【答案】【解析】【分析】结合函数图像，利用临界情况，同时与和均相切求解即可.【详解】恒成立，即的图像一直在和之间，，当同时与和均相切时，方程和方程均只有一个解，即和均只有一个解，故或，解得或，结合图像可知，“媒介直线”的截距.故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.（1）求数列，的通项公式.（2）若，求数列前项的和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列知：，整理得：，即或者，因为公差大于1，故.且，故.数列前项和为，并满足①，且，解得，故当时，②，①式减②式得：，即，故是公比为2的等边数列，则，故【小问2详解】，故则故故则16.已知向量，，.（1）求函数解析式，写出函数的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.（2）试用五点作图法作出函数在一个周期上简图（要求列表，描点，连线画图）.（3）根据（2）中的图象写出函数的单调增区间、最小值及取得最小值时相应值的集合.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出，然后利用整体代入法求解即可；（2）利用五点作图法求解即可；（3）根据函数图像求解即可.【小问1详解】向量，，则，，故的最小正周期，当时，，当时，，故的对称轴方程为，对称中心为.【小问2详解】列表：00200描点，连线，画图得：【小问3详解】由图可知，的单调增区间为；最小值为；取最小值时相应值的集合为：.17.如图①，在平面四边形中，，，为对角线中点，为中点，为线段上一点，且，，.（1）求的长.（2）从下面（i）与（ii）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分（i）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图②，当面面时，求异面直线与所成角的余弦值.（ii）在平面四边形中，以为轴将向上折起，如图③，当时，求三棱锥的体积.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可；（2）若选（i），利用空间向量求解即可；若选（ii），利用等体积法求解即可.【小问1详解】因为，为对角线中点，故,因为,故，即，解得,故,则，,因为，，则，,所以,所以,，且,故,则在等腰中，由正弦定理得：，即，则.【小问2详解】若选（i）：当面面时，因为,面面,面,故面，又，故以点为坐标原点，为轴，为轴，过点做的平行线为轴，可以建如图所示空间直角坐标系，由（1）知，,故为中点，则易得则设异面直线与所成角为，则.若选（ii）：由（1）知，,故为中点，故,当时，，因为，,故，且，,故面,因为为中点，为中点，故,则三棱锥的体积:.18.已知函数，.（1）如果函数在处的切线，也是的切线，求实数的值.（2）若在存在极小值，试求的范围.（3）是否存在实数，使得函数有3个零点，若存在，求出所有实数的取值集合，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用极值点的定义，得出，然后构造函数求出的范围即可；（3）根据的单调性对进行分类讨论，注意，然后转化为在上有唯一零点求解即可.【小问1详解】，，故在处的切线为，也是的切线，故方程只有一个解，即只有一个解，，解得.【小问2详解】，，当时，，无极值点，不符合题意；当时，在上，，单调递减；在上，，单调递增；故的极小值点，则，故，设，，则，此时，设，则，时，，单调递增；时，，单调递减；，故,即【小问3详解】，，，当时，，在单调递减，不存在3个零点；当时，，在单调递增，不存在3个零点；当时，，因为在上单调递增，设，则在上也是单调递增，且，当，，故存在唯一一个，使，即在，，，单调递减；在，，，单调递增；且，故，且，故在有唯一零点，，故，当时，，因为在有唯一零点，故在也有唯一零点，故当，有3个零点;综上所述，所有实数的取值集合为.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19.对于任意，向量列满足.（1）若，，求的最小值及此时的.（2）若，，其中，，，，若对任意，，设函数，记，试判断的符号并证明你的结论.（3）记，，，对于任意，记，若存在实数和2，使得等式成立，且有成立，试求的最大值.【答案】（1），此时或（2），证明见解析（3）30【解析】【分析】（1）利用累加法求出，进而得到答案；（2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可；（3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.【小问1详解】因为对任意成立，所以有将上述各式相加得，又因为，,所以，所以有，又，当或时，，此时或.【小问2详解】可判定，（1）因为，所以数列不可能是各项均为0的常数列；（2）当数列非零常数列时，任意，若，则，若，则，故当数列为非零常数列时，.（3）当数列为公差不为0的数列时，因，，若①，由等差数列性质有，其中又为奇函数，且在R上单