热点04 一次函数与反比例函数（12大题型+满分技巧+限时分层检测）（解析版）

热点04一次函数与反比例函数中考数学中《一次函数与反比例函数》部分主要考向分为五类：一、一次函数图象与性质（每年1~2道，3~7分）二、一次函数的应用（每年1道，4~8分）三、反比例函数的性质（每年1~2题，3~7分）四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~14分）五、一次函数与反比例函数的结合（每年1~2题，3~12分）一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。而反比例函数在中考中的占比会更大，常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程中需要更加重视该考点。考向一：一次函数图象与性质【题型1一次函数的图象与性质】满分技巧1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线；2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（）A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1【分析】根据一次函数的增减性与系数的关系分别判断即可．【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故A不符合题意；在一次函数y＝x﹣4中，∵1＞0，∴y随着x增大而增大，故B不符合题意；在一次函数y＝2x中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故C不符合题意；在一次函数y＝﹣x+1中，∵﹣1＜0，∴y随着x增大而减小，故D符合题意，故选：D．2．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（）A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0【分析】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择．【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点（0，1），故B正确；∵一次函数y＝x+1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，故D不正确；故选：B．3．（2023•通辽）在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝2x﹣3中的k、b的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限．故选：D．4．（2023•陕西）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x+a（a为常数，a＜0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数y＝ax和y＝x+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决．【解答】解：∵a＜0，∴函数y＝ax是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数y＝x+a是经过第一、三、四象限的直线，故选：D．5．（2023•巴中）一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3【分析】根据一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小得到k﹣3＜0，从而求出k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，∴k﹣3＜0，∴k＜3，故选：D．【题型2一次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•济宁）一个函数过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式y＝x+2（答案不唯一）．【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k+b＝3，利用一次函数的性质可得出k＞0，取k＝1，b＝2即可得出结论．【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3），∴3＝k+b，又∵函数值y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k＝1，b＝2符合题意，∴符合上述条件的函数解析式可以为y＝x+2．故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．2．（2023•盘锦）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是﹣＜a＜2．【分析】y随x的增大而增大，说明x的系数大于0；图象与y轴的交点在x的下方，说明常数项小于0，据此作答．【解答】解：根据题意得，解得：﹣＜a＜2．故答案为：﹣＜a＜2．3．（2023•荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（）A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x轴，CD∥x轴，∴点D的坐标为（5，2）．故选：C．4．（2023•眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（﹣8，6），过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点C，点A，直线y＝﹣2x﹣6与AB交于点D，与y轴交于点E，动点M在线段BC上，动点N在直线y＝﹣2x﹣6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为（﹣8，6）或（﹣8，）．【分析】过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，此时△APN≌△NQM（AAS），设N（﹣t，﹣2t﹣6），分两种情况求解即可．【解答】解：①点N在AB下方时，过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交BC于点Q，∴∠APQ＝∠NQM＝90°，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴AN＝NM，∠ANM＝90°，∴∠ANP+∠MNQ＝∠NMQ+∠MNQ，∴∠ANP＝∠NMQ，∴△APN≌△NQM（AAS），∴AP＝NQ，NP＝MQ，设N（t，﹣2t﹣6），∴NP＝MQ＝﹣t，OP＝﹣2t﹣6，又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8+t，∴8+t﹣2t﹣6＝6，∴t＝﹣4，CM＝MQ+CQ＝MQ+OP＝﹣t﹣2t﹣6＝6，∴M（﹣8，6）；②点N在AB上方时，过点N作PQ⊥y轴交y轴于点P，交直线BC于点Q，同理得△APN≌△NQM（AAS），∴AP＝NQ，NP＝MQ，设N（t，﹣2t﹣6），∴NP＝MQ＝﹣t，OP＝﹣2t﹣6，又∵NQ＝AP＝8﹣NP＝8+t，∴﹣2t﹣6﹣（8+t）＝6，∴t＝﹣，CM＝CQ﹣MQ＝OP﹣MQ＝﹣2t﹣6+t＝，∴M（﹣8，）．故答案为：（﹣8，6）或（﹣8，）．5．（2023•苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝﹣6．【分析】利用待定系数法即可解得．【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案为：﹣6．6．（2023•无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是2．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝x﹣2的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：当x＝0时，y＝1×0﹣2＝﹣2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2）；当y＝0时，x﹣2＝0，解得：x＝2，∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点（2，0）．∴一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是×|﹣2|×2＝2．故答案为：2．7．（2023•广安）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4…在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3…在直线y＝x（x≥0）上，若点A1的坐标为（2，0），且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，则点B2023的纵坐标为×22022．【分析】设等边△BnAnAn+1的边长为an，可得△BnAnAn+1的高为an•sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，由点A1的坐标为（2，0），可得a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，故an＝2n，即可得到答案．【解答】解：设等边△BnAnAn+1的边长为an，∵△BnAnAn+1是等边三角形，∴△BnAnAn+1的高为an•sin60°＝an，即Bn的纵坐标为an，∵点A1的坐标为（2，0），∴a1＝2，a2＝2+2＝4，a3＝2+a1+a2＝8，a4＝2+a1+a2+a3＝16，…，∴an＝2n，∴Bn的纵坐标为×2n﹣1，当n＝2023时，∴Bn的纵坐标为×22022，故答案为：×22022．8．（2023•西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．（1）求点A和点B的坐标；（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【分析】（1）把y＝0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；（2）利用描点法画图象即可；（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，∴令y＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标是（2，0），∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4的图象上，把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，∴m＝4，∴点B的坐标是（4，4）；（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：（3）∵A（2，0），B（4，4），∴AB＝＝2，∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，∴P的坐标为（6，0）或（2+2，0）．【题型3一次函数与方程、不等式的关系】满分技巧1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。1．（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（）A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3【分析】写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．故选：B．2．（2023•德州）已知直线y＝3x+a与直线y＝﹣2x+b交于点P，若点P的横坐标为﹣5，则关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为（）A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5【分析】观察函数图象得到当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，所以不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．【解答】解：当x＜﹣5时，直线y＝3x+a都在直线y＝﹣2x+b的下方，所以关于x的不等式3x+a＜﹣2x+b的解集为x＜﹣5．故选：A．3．（2023•宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（）A．y1随x的增大而增大 B．b＜n C．当x＜2时，y1＞y2 D．关于x，y的方程组的解为【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解．【解答】解：A：由图象得y1随x的增大而增大，故A正确的；B：由图象得：n＞b，故B是正确的；C：由图象得：当x＜2时，y1＜y2，故C是错误的；D：由图象得：的解为：，故D是正确的；故选：C．考向二：一次函数的应用【题型4一次函数与行程类问题】满分技巧1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义1．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（）A．途中修车花了30min B．修车之前的平均速度是500m/min C．车修好后的平均速度是80m/min D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，故A不符合题意；修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合题意；车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合题意；900÷600＝1.5，∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，故D符合题意，故选：D．2．（2023•朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．【解答】解：由图可得，甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），解得m＝55；两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），解得m＝65；故④正确，符合题意；故选：C．3．（2023•随州）甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④【分析】根据图象可判断①和③选项，根据“路程÷时间＝速度”可求出甲和乙的速度，即可判断②选项，设甲车出发后x小时，追上乙车，根据甲车追上乙车时，两车的路程相等列方程，求出x的值，进一步判断即可．【解答】解：由图象可知，A，B两城相距300km，乙车先出发，甲车先到达B城，故①符合题意，③不符合题意；甲车的平均速度是300÷3＝100（千米/小时），乙车的平均速度是300÷5＝60（千米/小时），故②不符合题意；设甲车出发后x小时，追上乙车，100x＝60（x+1），解得x＝1.5，∴甲车出发1.5小时追上乙车，∵甲车8：00出发，∴甲车在9：30追上乙车，故④符合题意，综上所述，正确的有①④，故选：D．4．（2023•聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（）A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解决问题．【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，由题意得：ax+2a（x﹣）＝a，∴x＝，小时＝28分钟，∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．故选：A．5．（2023•武汉）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是250．【分析】根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．【解答】解：设点A、B的坐标为：（a，100）、（a，160），则直线OP的表达式为：s＝t①，设直线BP的表达式为：s＝kx+100，将点B的坐标代入上式得：160＝ak+100，解得：k＝，则直线BP的表达式为：s＝t+100②，联立①②得：t＝t+100，解得：s＝250，两图象交点P的纵坐标为250，故答案为：250．6．（2023•济南）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发0.35h后两人相遇．【分析】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令S1＝S2解方程即可．【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，则，解得，∴l1的函数解析式为S1＝5t+3.5；设l2的函数解析式为S2＝mt，则0.4m＝6，解得m＝15，∴l2的函数解析式为S2＝15t；令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，解得t＝0.35，∴出发0.35小时后两人相遇．故答案为：0.35．7．（2023•宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学．上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值．（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．【分析】（1）求出大巴速度为＝40（km/h），即得s＝20+40t；令s＝100得a＝2；（2）求出军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，可得：60（2﹣x）＝100，即可解得答案．【解答】解：（1）由函数图象可得，大巴速度为＝40（km/h），∴s＝20+40t；当s＝100时，100＝20+40t，解得t＝2，∴a＝2；∴大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝20+40t，a的值为2；（2）由函数图象可得，军车速度为60÷1＝60（km/h），设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh，根据题意得：60（2﹣x）＝100，解得：x＝，答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h．8．（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）A，B两地之间的距离是60千米，a＝1；（2）求线段FG所在直线的函数解析式；（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）【分析】（1）用货车的速度乘以时间可得A，B两地之间的距离是60千米；根据货车到达B地填装货物耗时15分钟，即得a＝+＝1；（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），用待定系数法可得线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；（3）求出线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），分三种情况：当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，分别解方程可得答案．【解答】解：（1）∵80×＝60（千米），∴A，B两地之间的距离是60千米；∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，∴a＝+＝1，故答案为：60，1；（2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得：，解得，∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120；（3）巡逻车速度为60÷（2+）＝25（千米/小时），∴线段CD的解析式为y＝25x+25×＝25x+10（0≤x≤2），当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15，解得x＝；当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15，解得x＝；当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15，解得x＝；综上所述，货车出发小时或小时或小时，两车相距15千米．【题型5一次函数与销售类问题】满分技巧1、常用等量关系：总利润=单件利润×数量2、利用函数的增减性得到最大利润1．我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？【分析】（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可；（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可．【解答】解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000；（2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，（60﹣50）（1000+m）×20%＝10000，解得m＝4000，答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．2．（2023•陕西）某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量y（m3）与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA，AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系．（1）求这51天内，y与x之间的函数关系式；（2）求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．【分析】（1）依据题意，分0≤x≤20和20＜x≤51两段通过待定系数法可以得解；（2）依据题意，令x＝51时求出需水总量，再减去前20天的需水量，即可得解．【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤20时，设y＝kx，∴20k＝960．∴k＝48．∴y＝48x．当20＜x≤51时，设关系式为y＝mx+n，∴．∴．∴y＝35x+260．综上，所求函数关系式为y＝．（2）由题意，令x＝51，∴y＝35×51+260＝2045．又当x＝20时，y＝960，∴每公顷小麦在整个灌浆期的需水量＝2045﹣960＝1085（m3）．3．（2023•云南）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【分析】（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：，即可解得答案；（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，可得x≤5，而w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，根据一次函数性质可得答案．【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据题意得：，解得：，∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（20﹣x）顶，∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，∴x≤（20﹣x），解得x≤5，根据题意得：w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，∵﹣400＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝5时，w取最小值，最小值为﹣400×5+20000＝18000（元），∴20﹣x＝20﹣5＝15，答：购买A种型号帐篷5顶，购买B种型号帐篷15顶，总费用最低，最低总费用为18000元．4．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．【解答】解：（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：，解得：，答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．（2）设购进A型品牌小电器a台，由题意得：，解得30≤a≤50，答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．（3）设获利为w元，由题意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600，∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，∴﹣a+600≥565，解得：a≤35，∴30≤a≤35，∵w随a的增大而减小，∴当a＝30台时获利最大，w最大＝﹣30+600＝570元，答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．考向三：反比例函数的性质【题型6反比例函数的性质】满分技巧在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的1．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣【分析】根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．【解答】解：A选项，y＝6x的函数值随着x增大而增大，故A不符合题意；B选项，y＝﹣6x的函数值随着x增大而减小，故B符合题意；C选项，在每一个象限内，y＝的函数值随着x增大而减小，故C不符合题意；D选项，在每一个象限内，y＝﹣的函数值随着x增大而增大，故D不符合题意，故选：B．2．（2023•武汉）关于反比例函数，下列结论正确的是（）A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点（a，a+2），则a＝1【分析】利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案．【解答】解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；反比例函数图象经过点（a，a+2），∴a（a+2）＝3，解得a＝1或a＝﹣3，故D选项错误，故选：C．3．（2023•济南）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1【分析】首先根据k＜0得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，然后根据点A，B，C的横坐标得，点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，进而可判定y1＞0，y2＞0，y3＜0，最后再根据﹣4＜﹣2得y1＜y2，据此即可得出答案．【解答】解：∵，k＜0，∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，又∵﹣4＜﹣2，∴y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选：C．4．（2023•广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即可得到一次函数y＝ax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．【解答】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，∴a＜0；∵反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，∴b＞0；∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．5．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1＞y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得在同一象限内函数的增减性，进而可得y1与y2的大小．【解答】解：反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴函数图象在第一、三象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为＞．6．（2023•宜昌）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为（﹣3，y1），（﹣2，3），（1，y2），（2，y3），则，y1，y2，y3的大小关系为（）A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2【分析】根据反比例函数经过点（﹣2，3）求出其解析式，然后把x＝﹣3，x＝1，x＝2分别代入解析式，求出函数值，进行比较即可得出答案．【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），∵它的图象经过点（﹣2，3），∴k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数的解析式，当x＝﹣3时，，当x＝1时，，当x＝2时，，∴y2＜y3＜y1，故选：C．【题型7反比例函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．【解答】解：由题意可得：设C（2，a），则E（1，a+2），可得：2a＝1×（a+2），解得：a＝2，故C（2，2），则k＝2×2＝4．故选：B．2．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（）A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝图象上，∴4＝．∴k＝8．∴反比例函数的解析式为y＝．∵点E在反比例函数图象上，∴可设（a，）．∴AD＝a﹣2＝ED＝．∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故选：D．3．（2023•德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．【解答】解：由题知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，则，解得，所以．又因为点D为OA的中点，所以D（3，0），同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，由得，x＝4，则y＝4﹣3＝1，所以点E坐标为（4，1）．将B，E两点坐标代入函数解析式得，，解得．所以，则，将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数解析式为：．故选：D．4．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把点（2，a）代入反比例函数解析式，可得a＝，由k＞0可知a＞0，可得点M一定在第一象限．【解答】解：∵点M（2，a）在反比例函数的图象上，∴a＝，∵k＞0，∴a＞0，∴点M一定在第一象限．故选：A．方法二：∵反比例函数中，k＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，∵点M（2，a）在反比例函数的图象上，∴点M一定在第一象限．故选：A．5．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（）A．2 B． C． D．【分析】利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点A′、B、D共线，进而求出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，∵O（0，0），A（2，0），B（，1），∴BD＝1，OD＝，∴AD＝OD＝，tan∠BOA＝＝，∴OB＝AB＝＝2，∠BOA＝∠BAO＝30°，∴∠OBD＝∠ABD＝60°，∠OBA＝120°，∵△AOB与△A′OB关于直线OB对称，∴∠OBA′＝120°，∴∠OBA′+∠OBD＝180°，∴点A′、B、D共线，∴A′B＝AB＝2，∵A′C＝BC，∴BC＝1，CD＝2，∴点C（，2），∵点C（，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝×2＝2，故选：A．6．（2023•绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，则k的值是（）A．1 B．2 C．3 D．【分析】先设B（3，a），则D（1，a+2），再根据反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D得出3a＝a+2，求出a的值，进而得出B点坐标，求出k的值即可．【解答】解：∵点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC＝2，点D在AC上，且横坐标为1，∴设B（3，a），则D（1，a+2），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，∴3a＝a+2，解得a＝1，∴B（3，1），∴k＝3×1＝3．故选：C．7．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝4．【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值．【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，在Rt△OBC中＝，即＝，∴OC＝4，在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，＝，即＝，∴OE＝2，∴点C（2，2），∴k＝2×2＝4．故答案为：4．考向四：反比例函数的应用【题型8反比例函数系数k的几何意义】满分技巧这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如：1．（2023•湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD＝3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解．【解答】解：延长BA交y轴于点D，∵AB∥x轴，∴DA⊥y轴，∵点A在函数的图象上，∴，∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数的图象上，∴S矩形OCBD＝3，∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2；故选：B．2．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（，），确定D（，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可．【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵矩形OABC的对称中心M，∴延长OM恰好经过点B，M（，），∵点D在AB上，且AD＝AB，∴D（，b），∴BD＝a，∴S△BDM＝BD•h＝×a×（b﹣）＝ab，∵D在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝ab﹣k﹣ab＝3，∴ab＝16，∴k＝ab＝4，解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心，∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积，则三角形DBO的面积为6，∵AD＝1/4AB，∴AD：DB＝1：3，∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3，即三角形ADO的面积为2，∴K＝4．故选：C．3．（2023•黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（）A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9【分析】设出B的坐标，通过对称性求出C点的坐标，进而求出D的坐标，即可用k表示出线段BC和CD的长度，结合已知面积即可列出方程求出k．【解答】解：设BC与y轴的交点为F，B（b，），则A（﹣b，﹣），b＞0，由题意知，AO＝BO，即O是线段AB的中点，过A作AE⊥BC于点E，∵AC＝AB，AE⊥BC，∴BE＝CE，AE∥y轴，∴CF＝3BF＝3b，∴C（﹣3b，），∴D（﹣3b，），∴CD＝，BC＝4b，∴S△BCD＝，∴k＝﹣．故选：C．4．（2023•朝阳）如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB．若△ABP的面积等于3，则k的值为6．【分析】由于同底等高的两个三角形面积相等，所以△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，然后根据反比例函数y＝中k的几何意义，知△AOB的面积＝|k|，从而确定k的值，求出反比例函数的解析式．【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝，∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝3，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝3，∴k＝±6；又∵反比例函数的图象的一支位于第一象限，∴k＞0．∴k＝6．故答案为：6．5．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为4．【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），则CD＝a，OA＝c，由△AOC的面积是6得ac＝12，将点C（a，b）代入反比例函数的表达式得k＝ab，然后根据点B为AC的中点得点，将点B代入反比例函数表达式得，据此即可取出k的值．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是6，∴，∴ac＝12，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝12代入上式得：k＝4．故答案为：4．6．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为6．【分析】证明△CNB∽△CDA，得到，即，求出点A（3m，n），则点D（0，n），由△BCE的面积＝S△CDB+S△CDE＝CD•（xB﹣xE），即可求解．【解答】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，设点B（m，n），k＝mn，则BN∥AD，则△CNB∽△CDA，则，即，即AD＝3m，则k＝mn＝3m•yA，则yA＝n，则点A（3m，n），则点D（0，n），由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝x+n，则点E（﹣m，0）；由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣（x﹣m）+n，则点C（0，），则CD＝n，∵△BCE的面积＝S△CDB+S△CDE＝CD•（xB﹣xE）＝n×（m+m）＝4.5，则mn＝6＝k，故答案为：6．7．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A． B． C． D．【分析】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NK＝AT，即，得，故，根据△APN的面积为3，有，得2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得，从而．【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，∴△NKC∽△ATC，∴＝＝，∵NC＝2AN，∴CK＝2TK，NK＝AT，∴，解得，∴，∴，，∴，∵△APN的面积为3，∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，∴，∴2ab+bc＝9，将点M（5b，c），代入得：，整理得：2a＝7c，将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，∴，∴，故选：B．8．（2023•宁波）如图，点A，B分别在函数y＝（a＞0）图象的两支上（A在第一象限），连结AB交x轴于点C．点D，E在函数y＝（b＜0，x＜0）图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a﹣b的值为12，a的值为9．【分析】依据题意，设A（m，），再由AE∥x轴，BD∥y轴，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再结合△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，即可得解．【解答】解：设A（m，），∵AE∥x轴，且点E在函数y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且点B在函数y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y轴，点D在函数y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面积为9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m••＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，∴S△BDE＝DB•（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）••（）•m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案为：12，9．9．（2023•辽宁）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为6．【分析】根据矩形面积求出△ADC面积，再利用OA：AC＝1：2，求出△ADO面积，利用相似求出AD与OE的比，求出△ODE面积，即可利用几何意义求出k．【解答】解：如图，延长CD交y轴于E，连接OD，∵矩形ABCD的面积是8，∴S△ADC＝4，∵AC＝2AO，∴S△ADO＝2，∵AD∥OE，∴△ACD∽△OCE，∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，∴S△ODE＝3，由几何意义得，＝3，∵k＞0，∴k＝6，故答案为：6．【题型9反比例函数与其他学科的结合】满分技巧因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等1．（2023•荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），于是得到结论．【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），R、I均大于0，∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，故选：D．2．（2023•随州）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（）A．3A B．4A C．6A D．8A【分析】根据函数图象可设I＝，再将（8，3）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．【解答】解：设I＝，∵图象过（8，3），∴U＝24，∴I＝，当电阻为6Ω时，电流为：I＝＝4（A）．故选：B．3．（2023•丽水）如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S（m2）的说法正确的是（）A．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．【解答】解：∵，F＝100，∴，∵产生的压强p要大于1000Pa，∴，∴S＜0.1，故选：A．4．（2023•南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为2500N．【分析】根据题意可知此函数为反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数，再将v＝30m/s代入即可求解．【解答】解：设功率为P，由题可知P＝FV，即v＝，将F＝3750N，v＝20m/s代入可得：P＝75000，即反比例函数为：v＝．当v＝30m/s时，F＝＝2500N．胡答案为：2500．5．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了20mL．【分析】设这个反比例函数的解析式为V＝，求得V＝，当p＝75kPa时，求得V＝＝80，当p＝100kPa时求得，V＝＝60于是得到结论．【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V＝，∵V＝100ml时，p＝60kpa，∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，∴V＝，当p＝75kPa时，V＝＝80，当p＝100kPa时，V＝＝60，∴80﹣60＝20（mL），∴气体体积压缩了20mL，故答案为：20．6．（2023•吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f（MHz）101550波长λ（m）30206（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．（2）当f＝75MHz时，求此电磁波的波长λ．【分析】（1）设解析式为λ＝（k≠0），用待定系数法求解即可；（2）把f＝75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ．【解答】解：（1）设波长λ关于频率f的函数解析式为λ＝（k≠0），把点（10，30）代入上式中得：＝30，解得：k＝300，∴λ＝；（2）当f＝75MHz时，λ＝＝4，答：当f＝75MHz时，此电磁波的波长λ为4m．7．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入的水的质量y2/g57101525把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而减小（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向下（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．【分析】（1）描点作出图象即可；（2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式；②由y2与y1关系，结合①可得答案；③观察图象可得答案；（3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围．【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数，设y1＝，把（30，10）代入得：10＝，∴k＝300，∴y1关于x的函数表达式是y1＝；②∵y1＝y2+5，∴y2+5＝；∴y2＝﹣5；③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到；故答案为：减小，减小，下；（3）∵y2＝﹣5，19≤y2≤45，∴19≤﹣5≤45，∴24≤≤50，∴6≤x≤12.5．考向五：一次函数与反比例函数的结合【题型10一次函数与反比例函数图象的存在性问题】满分技巧求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立；1．（2023•泰安）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数图象判定a、b的符号，根据ab的符号判定反比例函数图象所在的象限．【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y＝应该位于第一、三象限，故本选项不可能；B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项有可能；故选：D．2．（2023•襄阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，可分为两种情况进行讨论：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；据此可得出答案．【解答】解：分两种情况进行讨论：①当k＞0时，一次函数y＝kx+k经过第一、二、三象限；反比例函数y＝k/x的图象在第一、三象限；②当k＜0时，一次函数y＝kx+k经过第二、三、四象限；反比例函数y＝k/x的图象在第二、四象限；∴一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝k/x的图象可能是A．故选：A．3．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与的大致图象可能为（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【解答】解：∵一次函数y＝﹣kx+k＝﹣k（x﹣1），∴直线经过点（1，0），A、C不合题意；B、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，矛盾，不合题意；D、由一次函数的图象经过第一、三、四象限可知k＜0，反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，一致，符合题意；故选：D．【题型11求反比例函数与一次函数的交点】满分技巧1、求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标；2、不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时：①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方，②求交点的横坐标，③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部分肯定和0有关）1．（2023•无锡）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，AB＝BC．若△OAC的面积为8，则k的值为（）A．2 B． C． D．4【分析】过点A，B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，先证BE是△ADC的中位线，从而得AD＝2BE，设BE＝t，则AD＝2t，然后求出点A，点B，进而得，则b＝3t，再求出点C，根据△OAC的面积为8得，则bt＝﹣8a，将b＝3t代入得，由此根据可得出k的值．【解答】解：过点A，B分别作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图所示：∴AD∥BE，∵AB＝BC，∴BE是△ADC的中位线，∴AD＝2BE，设BE＝t，则AD＝2t，对于y＝ax+b，当y＝t时，x＝，当y＝2t时，x＝，∴点A，点B，∵点A，B在反比例函数的图象上，∴，∴b＝3t，对于y＝ax+b，当y＝0时，，∵点C的坐标为，∴，∵△OAC的面积为8，∴，即，∴bt＝﹣8a，∵b＝3t，∴，∴k＝＝＝＝．故选：C．2．（2023•金华）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（）A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，∴k＝6．又B（m，﹣2）在反比例函数上，∴m＝﹣3．∴B（﹣3，﹣2）．结合图象，∴当ax+b＞时，﹣3＜x＜0或x＞2．故选：A．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（）A． B． C． D．【分析】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据＝，以及△COA和△AOB等高，所以S△COA：S△AOB＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．【解答】解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图）；∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝，∴一次函数解析式：y＝；∵B点横坐标为0，∴代入得到纵坐标为，OB＝；∵△COA和△AOB等高，且，∴S△COA：S△AOB＝1：2；又∵△COA和△AOB共用一条边OA，∴CH：OB＝1：2，∴CH＝＝；∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3；∴C点坐标（3，），∴k＝3×＝；故选：C．4．（2023•宿迁）如图，直线y＝x+1、y＝x﹣1与双曲线分别相交于点A、B、C、D．若四边形ABCD的面积为4，则k的值是（）A． B． C． D．1【分析】根据已知可得四边形ABCD为矩形，O为中心，根据直线y＝x+1、y＝x﹣1与双曲线的性质得BC＝，再根据四边形ABCD的面积为4，可得AB＝＝2，所以OA＝，设A（m，m+1），则m2+（m+1）2＝（）2，所以k＝m（m+1）＝m2+m＝．【解答】解：如图，连接AC，设直线y＝x+1与x轴和y轴分别交于点E，F，作OG⊥AB于点G，则E（0，1），F（﹣1，0），∴EF＝，∴OG＝EF＝，∵OE＝OF，∠EOF＝90°，∴∠EFO＝45°，同理直线CD也与x轴正半轴的夹角为45°，∴四边形ABCD为矩形，O为中心，∴BC＝，∵四边形ABCD的面积为4，∴AB＝＝2，∴AC＝＝，∴OA＝，设A（m，m+1），∴m2+（m+1）2＝（）2，∴2m2+2m+1＝，∴m2+m＝，∵点A在双曲线上，∴k＝m（m+1）＝m2+m＝．故选：A．5．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为4．【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），易证得四边形AOBP是正方形，则PB∥x轴，PB＝OB，即可证得△DBN∽△MON，求得BD＝BN，由D为PB的中点，可知N为OB的中点，得出OB＝2ON＝2，从而得出P（2，2），利用待定系数法即可求得k．【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），∴OM＝ON＝1，∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，∴四边形AOBP是正方形，∴PB∥x轴，PB＝OB，∴△DBN∽△MON，∴＝＝1，∴BD＝BN，∵D为PB的中点，∴N为OB的中点，∴OB＝2ON＝2，∴PB＝OB＝2，∴P（2，2），∵点P在反比例函数的图象上，∴k＝2×2＝4，故答案为：4．6．（2023•济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）根据平移的性质求得平移后直线的函数解析式，确定B点坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式，利用三角形面积公式列式计算．【解答】解：（1）把A（m，2）代入得：，解得m＝4，∴A（4，2），把A（4，2）代入得：，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为；（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为，当x＝0时，y＝3，∴点B的坐标为（0，3），设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，将A（4，2），B（0，3）代入可得：，解得：，∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3，联立解析式得：解得：，∴C点坐标为（2，4），在y＝﹣x+3中，当x＝2时，，∴CN＝4﹣＝，∴S△ABC＝××4＝3；∴△ABC的面积为3．7．（2023•滨州）如图，直线y＝kx+b（k，b为常数）与双曲线为常数）相交于A（2，a），B（﹣1，2）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）在双曲线上任取两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，试确定y1和y2的大小关系，并写出判断过程；（3）请直接写出关于x的不等式的解集．【分析】（1）依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点代入直线解析式可以得解；（2）由题意，分成两种情形：一种是M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两一支上，然后根据图象可以得解；（3）依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解．【解答】解：（1）由题意，将B点代入双曲线解析式y＝，∴2＝．∴m＝﹣2．∴双曲线为y＝﹣．又A（2，a）在双曲线上，∴a＝﹣1．∴A（2，﹣1）．将A、B代入一次函数解析式得，∴．∴直线y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1．（2）由题意，可分成两种情形．①M、N在双曲线的同一支上，由双曲线y＝﹣，在同一支上时函数值随x的增大而增大，∴当x1＜x2时，y1＜y2．②M、N在双曲线的不同的一支上，∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2．∴此时由图象可得y1＞0＞y2，即此时当x1＜x2时，y1＞y2．（3）依据图象，即一次函数值大于反比例函数值，∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），∴不等式的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．8．（2023•遂宁）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（﹣4，1），B（m，4）两点．（k1，k2，b为常数）（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b＞的解集；（3）P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．【分析】（1）将点A（﹣4，1）代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点B（m，4）代入已求出的反比例函数解析式求出m的值，进而得点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式；（2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的x的取值范围即可；（3）过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，根据点A，B的坐标可求出四边形ACDB，据此可判断点P在线段CD上，然后根据S△ABC＝S四边形ACDB﹣S△P