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文档简介
考点10空间向量与立体几何(18种题型10个易错考点)
【课程安排细目表】
一、真题抢先刷,考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
但一、真题抢先刷,考向提前知
一.选择题(共1小题)
1.(2023•上海)如图所示,在正方体ABC。-4用CQ中,点尸为边4。上的动点,则下列直线中,始终与直线
8P异面的是()
A.DD1B.ACC.AD\D.B\C
二.填空题(共1小题)
2.(2023•上海)空间中有三个点A、8、C,且AB=BC=CA=1,在空间中任取2个不同的点Q,E(不考虑这两
个点的顺序),使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点,则不同的取法有种.
三.解答题(共2小题)
3.(2023•上海)已知直四棱柱ABC。-A山Ci。,ABYAD,AB//CD,48=2,AD=3,CD=4.
(D证明:直线48〃平面OCCifh;
(2)若该四棱柱的体积为36,求二面角Ai・8。・A的大小.
___________C,
AB
4.(2023•上海)已知三棱锥中,%_L平面ABC,ABLAC.PA=AB=3,4C=4,M为8c中点,过点M
分另!作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E,F.
(1)求直线PM与平面ABC所成角的大小;
(2)求直线ME到平面外B的距离.
但二、考点清单
1.特殊的四棱柱
平行侧梭垂直直平行底面为
六面体于底面六面体矩形
匕、一石底面rvzrim侧枝与底面I'..,I
长万体』二%/正四棱柱』工“建’正万体
---------边长相寺1------------边长相等1---------1
上述四棱柱有以下集合关系”正方体[$]正四棱柱:导
{长方体}会{直平行六面体}${平行六面体卜房[四棱
柱}.
2.球的截面的性质
(1)球的任何截面是圆.贝;
⑵球心和裁面(不过球心)圆心的连线垂直于截面:
(3)球心到纸面的距离d与球的半径R及裁面的半径厂的关系为
3.按照斜二测画法得到的平面图形的有观图,其面积与原图形面积的关系如下:
S3F国=乎£息国*S-*国影=2啦SfiQ国.
4.正四面体的表面积与体积
棱长为。的正四面体,其表面积为,3足,体积为*
5.几个与球有关的切、接常用结论
⑴正方体的棱长为〃,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2/=小4:
②若球为正方体的内切球,«']2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2宠=啦且.
⑵若长方体的同一顶点的三条棱长分别为db,c,外接球的半径为七则土/己.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1L1,枝长为”的正四面体,其内切球半径长内=晋%外接球半
径R"=乎8
6.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线..
7.等角定理的引申
(1)在等角定理中,若两角的两边平行且方向相同或相反,则这两个角相等.
(2)在等角定理中,若两角的两边平行且方向一个边相同,一个边相反,则这两个角互补.
8.唯一性定理
(I)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
9.线、面平行的性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度桓菱.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所裁,截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别和第三个平面平行,那么这两个平面互相平行.
(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.
(7)垂直于同一条直线的两个平面土丘.
(8)垂直于同一平面的两条直线平行.
10.若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平而.
11.一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一人平面也垂直.
12.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
13.过一点有且只有一条直线与乙知平面垂直.
14.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
15.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(D巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,灵活运用相反向量可使向量首尾
相接.
(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,
必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
16.利用数乘运算进行向量表示的技巧
(D数形结合;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,,岗目标向量转化为
已知向量.
(2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质.
17.在几何体中求空间向量的数量积的步骤
1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
2利用向量的运算律将数量积展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积.
3根据向量的方向,正确求出向量的夹角及向晟的模.
4代入公式a•6=|a||b|cos〈a,好求解.
18利用空间向量证明或求解立体几何问题时,首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算,再借
助于向量的有关性质求解(证).
19.求点到平面的距离的四步骤
20.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
⑴建立空间直角坐标系;
⑵分别求出两条异面宜线的方向向最的坐标;
⑶利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角;
⑷结合异面直线所成先的范围求出异面直线所成的角.
21.利用向量法求两平面夹角的步骤
⑴建立空间直角坐标系;
⑵分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;
⑶求两个法向量的夹角:
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90。的角)
但三、题型方法
一.棱柱的结构特征(共2小题)
1.(2023•闵行区校级一模)《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为‘'鳖脯",在长方体ABCD-
AIBICIQI中,鳖脯的个数为()
A.48B.36C.24D.12
2.(2023•嘉定区二模)己知一个棱长为1的正方体,与该正方体每个面都相切的球半径记为R,与该正方体每条
棱都相切的球半径为R2,过该正方体所有顶点的球半径为R3,则下列关系正确的是()
A.Ri:/?2:/?3=V2:V3:2B.RT+R2=R3
CRf+R2=R2D,R;+R>R:
二.旋转体(圆柱、圆锥、圆台)(共5小题)
3.(2023•浦东新区校级模拟)已知圆锥的轴截面为正三角形,则其侧面展开图的圆心角为.
4.(2023•长宁区校级三模)若一个圆柱的侧面积是4m高为1,如这个圆柱的体积是.
5.(2023♦嘉定区模拟)某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积,则该圆柱底面半径与高的比值为.
6.(2023•闵行区校级二模)在RtA/lBC中,NB=90°,AB=2,CB=3,将△ABC绕边人8旋转一周,所得到儿
何体的体积为.
7.(2023•青浦区校级模拟)己知圆锥的侧面展开图是一个半径为4,弧长为4IT的扇形,则该圆锥的表面枳
为.
三.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积(共5小题)
8.(2023•浦东新区二模)若圆柱的高为10,底面积为4TT,则这个圆柱的侧面积为.(结果保留11)
9.(2023•黄浦区校级三模)已知正方形4BCQ的边长是I,将△ABC沿对角线AC折到AAB'C的位置,使(折叠
后)A、夕、C、。四点为顶点的三棱锥的体积最大,则此三棱推的表面积为.
10.(2023•黄浦区二模)如图,某学具可看成将一个底面半径与高都为10(制的圆柱挖去一个圆锥(此圆锥的顶点
是画柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面)所得到的几何体,则该学具的表面积为
_______________________cnr2.
11.(2023•奉贤区二模)已知圆柱的上、下底面的中心分别为。2,过直线的平面截该圆柱所得的截面是
面积为8的正方形,则该圆柱的侧面积为_________.
12.(2023•松江区模拟)已知圆锥的底面半径为2,底面圆心到某条母线的距离为I,则该圆锥的侧面积
为.
四.棱柱、棱锥、棱台的体积(共11小题)
13.(2。23•闵行区二模)已知圆柱的底面积为9m侧面积为127T,则该圆柱的体积为.
14.(2023•徐汇区二模)如图所示,圆锥SO的底面圆半径OA=1,侧面的平面展开图的面积为3ir,则此圆锥的体
积为.
15.(2023•普陀区校级模拟)如图,在正四棱锥P-ABCD中,AP=AB=4,则正四棱锥的体积
为.
16.(2023•松江区二模)将如图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为50〃刈的直立的圆柱形容器内,则
液面高度为mm.
17.(2023•嘉定区二模)已知四棱锥P-A8CQ的底面是边长为泥的正方形,侧棱长均为遥.若点A、B、C、D
在圆柱的一个底面圆周上,点尸在圆柱的另一个底面内,则该圆柱的体积为.
18.(2023•普陀区校级三模)一•块边长为10。〃的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余卜.的四个全等
的等腰三角形作侧面,以它们的公共顶点〃为顶点,加工成一个如图所示的正四棱锥形容器.当x=6c〃?时,该
容器的容积为夕尸.
19.(2023•杨浦区校级模拟)若某圆锥高为3,其侧面积与底面积之比为2:1,则该圆锥的体积为.
20.(2023•虹口区校级模拟)如图,已知a,b是相互垂直的两条异面直线,直线AB与a,b均相互垂直,旦AB=2«,
动点匕Q分别位于直线a,b上,若直线PQ与AU所成的角三棱锥A-UPQ的体积的最大值
6
为_______________________.
21.(2U23•奉贤区校级三模)一个正方体和一个球的表面积相同,则正方体的体积W和球的体积W的比值」
V9
22.(2023•嘉定区校级三模)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2m侧面积分别为Si和
S2,体积分别为Vi和3.若5I=2S2,则护=
23.(2023•松江区校级模拟)如图,在直三棱柱ABC-AiBCi中,AC=4,BC=3,AB=5.
(1)求证:AC_LBCi;
(2)设ACi与底面ABC所成角的大小为60°,求三棱锥C-ABCi的体积.
五.球的体积和表面积(共5小题)
24.(2023•虹口区二模)已知A,B是球。的球面上两点,/AOB=60°,〃为该球面上的动点,若三棱锥P-。43
体积的最大值为6,则球O的表面积为.
25.(2023•浦东新区校级三模)一个正三棱锥的侧棱长为I,底边长为泥,四个顶点在同一球面上,则此球的表面
积为.
26.(2。23•嘉定区模拟)如图,直三棱柱ABC-481。中,ACA.BC,AC=J7,3C=3,点P在棱BBi上,且以
±PC1,当△APC1的面积取最小俏时,三棱锥P-4AC的外接球的表面积为.
27.(2023•徐汇区二模)如图,棱长为2的正方体ABCZ)-4BiCQ的内切球为球。,E、尸分别是棱A8和棱C。
的中点,G在棱8。上移动,则下列命题正确的个数是()
①存在点G,使。。垂直于平面EFG:
②对于任意点G,Q4平行于平面EFG;
③直线EF被球O截得的弦长为血;
④过直线)的平面截球O所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为?二.
2
A.0B.1C.2D.3
28.(2023•虹口区校级三模)已知圆锥SO(O是底面圆的圆心,S是圆锥的顶点)的母线长为遥,高为1,P、Q
为底面圆周上任意两点.有以下三个结论:
①三角形SPQ面积的最大值为2:②三棱锥O-SPQ体积的最大值为2;③四面体SOPQ外接球表面积的最小
值为91T.
以上所有正确结论的个数为()
A.0B.IC.2D.3
六.平面的基本性质及推论(共1小题)
29.(2023•黄浦区校级三模)如图,正方体A8CO-A向中,E,〃分别为棱A8,CCi的中点,在平面4OG4
内且与平面。lE尸平行的直线()
A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条
七.异面直线及其所成的角(共1小题)
30.(2023•浦东新区校级一模)如图,三棱柱A山中,A4i_L底面48C,AB=AC,。是8C的中点.
(1)求证:8C_L平面AiAO;
(2)若/BAC=9()°,BC=4,三棱柱ABC-A1B1C1的体积是8,百,求异面直线4。和4力所成的角的大小.
八.空间中直线与直线之间的位置关系(共2小题)
31.(2023•黄浦区校级三模)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECO为正三角形,平面EQ)_L平面ABCD,
”是线段ED的中点,则()
EN是相交直线
B.BMWEN,且直线8M,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线8M,EN是异面直线
D.BMWEM同直线BM,EN是异面直线
32.(2023•长宁区二模)已知正方体A8C。-4加。。1,点。在直线AD上,。为线段4Q的中点.则下列说法不
正确的是()
B.存在点尸,使得尸。〃48
C.直线P。始终与直线C。异面
D.直线尸。始终与直线8。异面
九.空间中直线与平面之间的位置关系(共4小题)
33.(2023•金山区二模)如图,在矩形ABC。中,E、“分别为边A。、8。上的点,且AQ=3AE,BC=3BF,设尸、
Q分别为线段AACE的中点,将四边形A8尸E沿着直线即进行翻折,使得点A不在平面COM上,在这一过
程中,下列关系不能恒成立的是()
A.直线〃直线COB.直线PQ〃直线
C.直线A4_L直线PQD.直线PQ〃平面ADE
34.(2023•嘉定区模拟)已知直线〃?、〃及平面a,其中加〃人那么在平面a内到两条直线小、〃距离相等的点的
集合可能是:①一条直线;②一个平面;③一个点:④空集.其中正确的是()
A.①②③B.①®@C.①④D.@@
35.(2023•闵行区校级三模)已知-),,z是空间的直线或平面,要使命题“若x_Lz,y_Lz,则x〃.y”是真命题,
x,y,z可以是()
A..V,y,z是三个不同的平面
B.上,z是两条不同的直线,1y是平面
C.人y,z是三条不同的直线
D.gy是两条不同的直线,z是立面
36.(2023•浦东新区三模)如图,在正方体ABC。-AIBICIDI中,历,N分别为BCi,CDi的中点,则下列说法错
误的是()
B.MN与平面ACC14垂直
C.MN与DC平行D.MN与平面5D4i平行
一十•直线与平面垂直(共2小题)
37.(2023•嘉定区校级三模)如图所示,在斜三棱柱ABC・Ai8i。中,NBAC=90°,且8Ci_L4C,过。作
_1_平面A8C,垂足为“,则点,在()
A.直线4c上B.直线上C.直线上D.△4BC内部
38.(2023♦杨浦区校级模拟)如图,矩形所在平面与直角梯形M8CN所在的平面垂直,MB/iNC,MN1MB.
(I)求证:平面人MB〃平面£WC;
(2)若MC上CB,求证:BCLAC.
一十一.空间中的点的坐标(共1小题)
39.(2023•黄浦区模拟)在空间直角坐标系O-xyz中,点人(2,-1,3)关于平面yOz对称的点的坐标
是
一十二.共线向量与共面向量(共1小题)
40.(2023•浦东新区三模)空间向量@=(2,2,-1)的单位向量的坐标是
一十三,空间向量的数量积运算(共1小题)
41.(2023•徐汇区三:模)在棱长为2的正方体人8。。-人出。。1中,点2在正方体的12条棱上(包括顶点)运动,
则正•而的取值范围是
一十四.向量的数量积判断向量的共线与垂直(共1小题)
42.(2023•松江区二模)已知空间向量彳二(1,2,3),1=(2,-2,0),3=(1,1,入),若(2W+b),
则入=.
一十五.平面的法向量(共1小题)
43.(2023•静安区二模)若直线/的方向向量为Z,平面a的法向量为W,则能使/〃a的是()
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),r)=(1,0,1)
C.a=(1»-1»3),n=(0,3,1)
D.&=(0,2,1),H=(-1,0,-I)
一十六,直线与平面所成的角(共6小题)
44.(2023•静安区二模)如图,正方体A8C。-AIBICIOI中,E为44的中点,户为正方形ACC1B的中心,则直线
E尸与侧面88ICIC所成角的正切值是
45.(2023•浦东新区校级三模)如图,直角三角形A3。和等边三角形A3。所在平面互相垂直,AB=AC=2,E是
线段AO上一点.
(I)设E为AD的中点,求证:BE1CD;
(II)若直线C。和平面8CE所成角的正弦值为逗,求延的值.
10AD
46.(2U23•普陀区校级模拟)已知平面a、0所成角为80°,尸为两平面外一点,则过点产且与立面a、口所成角
均为40。的直线有()条.
A.1B.2C.3D.4
47.(2023•普陀区校级三模)如图,在四棱锥C-48EO中,正方形48EO的边长为2,平面A8£D_L平面A8C,
JaBCLAC,AC=V§,点G,尸分别是线段EC,8。的中点.
(1)求证:直线G/〃平面ABC;
(2)求直线G/与平面BDE所成角的大小.
48.(2023•虹口区校级三模)已知圆链的顶点为5,底面圆心为O,半径为2,母线加、SB的长为2近,ZAOB=
90°且M为线段A8的中点.
(1)证明:平面5。加_1_平面%8:
(2)求直线SM与平面SOA所成角的大小.
49.(2023•闵行区校级二模)已知正方体ABCO-AIBICIOI,点E为中点,直线办。交平面CDE于点F.
(D证明:点尸为B1C1的中点;
(21若点M为棱A4i上一点,且直线“/与平面CQF所成角的正弦值为回应,求上巴的值.
25A]B]
一十七.一面角的平面角及求法(共6小题)
50.(2023•浦东新区校级模拟)如图,在四棱锥P-ABCO中,布_底面A8CQ,AB1AD,AD〃BC,前E,产分
别为外,P力的中点,AB=BC=2,AD=AP=4.
(1)证明:直线石尸〃平面尸BC;
(2)求二面角产-CO-8的余弦值.
51.(2023•浦东新区二模)如图,三带形E4。与梯形4灰?。所在的平面互相垂直,AELAD,ABLAD,BC//AD,
AB=AE=BC=2,AQ=4,F、H分别为ED、£4的中点.
(1)求证:8"〃平面A〃C;
(2)求平面ACr与平面E48所成锐二面角的余弦值.
E
52.(2023•闵行区二模)如图,在四棱锥P-/WC。中,底面48CQ为矩形,PO_L平面人BCD,PD=AD=2,AB=
4,点E在线段A8上,且8E=2AB.
4
(1•求证:CE_L平面08。;
(2)求二面角P-CE・A的余弦值.
53.(2023•浦东新区校级一模)在120。的二面角内放置一个半径为6的小球,它与二面角的两个半平面相切于A、
B两点,则这两个点在球面上的距离是.
54.(2023•黄浦区校级三模)已知,王三棱柱A8C-4阴。中,/L4i=2,AC=\,延长C8至。,使CB=8D.
(1)求证:CA.LDA];
(2)求平面用4。与平面AOC所成锐二面角的余弦值.
4
D
55.(2023•黄浦区二模)如图,△A3。与△3CQ都是等腰直角三角形.其底边分别为3。与4C,点E、F分别为
线段BD.AC的中点.设一面角A-BD-C的大小为a・当。在区间(0.五)内变化时、下列结论正确的是()
A.存在某一a值,使得ACJLBD
B.存在某一a值,使得石/_1_8。
C.存在某一。值,使得£/_LCO
D.存在某一a值,使得A8_LCO
一十八.点、线、面间的距离计算(共5小题)
56.(2023•宝山区二模)四棱锥P-48C。的底面是边长为2的菱形,ZDAB=60°,对角线AC与B。相交于点
O,P。,底面ABC。,尸B与底面48CZ)所成的角为60°,E是P8的中点.
(1)求异面直线DE与附所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
57.(2023•黄浦区二模)如图,多面体AiCiOi/WCO是由校长为3的正方体48CQ-A41C1。沿平面44cl截去
一角所得到在楂ACi上取一点£,过点。I,C,£的平面交棱3a于点尸.
(1)求证:EF//A\B;
(2)若CiE=2EAi,求点E到平面4QC8的距离以及EQi与平面AIQICB所成角的大小.
58.(2023•奉贤区校级三模)正方体ABC。-431aoi的棱长为4,P在平面BCCi以上,A,P之间的距离为5,
则G、P之间的最短距离为.
59.(2023•杨浦区二模)如图,一个由四根细铁杆布、PB、PC、PZ)组成的支架(力、PB、PC、尸。按照逆时针排
布),若NAP3=N4PC=NCPQ=NQ%=±,一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触,则
A.V3B.V2C.2D.—
2
60.(2023•黄浦区校级模拟)如图,在棱长为2的正方体/WCO-48iCiG中,点P在截面4QB上(含边界),
则线段HP的最小值等于.
Q四、易错分析
一、混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系致错
1.如图,在正方体ABC。一A4G。中,E为的中点.求直线AA与平面4RE所成角的正弦值.
二、忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致错
2、如图所示的几何体是由棱台ABC-A^a和棱锥O-AACC拼接而成的组合体,其底面四边形A3CQ是边长为
2的菱形,且J_平面A8CDB8i=BQ=l.求二面角Ai-8D-G的余弦值.
三、忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错
3.在长方体A8CD-4SG。中,A8=3,BC=1,AAl=2,则异面直线8。和8c所成角的余弦值为()
A3^Z0r_血口®
A.70D.70J70U.70
四、忽视异面直线所成角的范围致错
4.直三棱柱ABC—A夕C中,AC=8C=A4,NAC8=120。,£为89的中点,异面直线CE与CA所成角的余弦
值是()
&MRVio「屈nVio
551010
五、误用垂直性质定理致错
5、己知两个平面垂直,下列命题:
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题个数是()
A.3B.2C.ID.0
六、判断线面、线线位置关系考虑不全致错
6.若直线a与平面a内无数条直线平行,则。与。的位置关系是.
七、证明线面平行、面面平行条件表达不全致错
7.如图,四棱锥P—A5C。中,四边形A8CQ是矩形,AB=£,AD=2,为正三角形,且平面幺。_1_平
ffiABCD,E、尸分别为PC、9的中点.证明:律〃平面P4Q;
八、分析问题不全面致错
8.圆柱的侧面展开图是边长分别为6兀和4几的矩形,则圆柱的体积是.
九、斜二测画法中混淆原图与直观图关系致错
9.如下图,是A4BC用“斜二测画法”画出的直观图,其中)9=0'。'=1,。卬=立,那么二ABC的周长
是________
十、混淆几何体的表面积与侧面积致错
10.如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍,且圆锥的母线
长是4,侧面积是4兀,则制作这样一个粮仓的用料面积为()
A.4s3兀B.(2[7^+4)兀
C.(3,B+4)兀D.(4^/15+4)71
B五.刷压轴
一?单选题
1.(2023・上海黄浦・格致中学校考三模)在棱长为1的正方体ABC。-A耳CA中,已知E为线段4c的中点,点F
和点P分别满足。尸=,D\P=g\B,其中4,//e[0,l],则下列说法不正确的是()
A.当/l=g时,三棱锥夕-EED的体积为定值
〃
B.当〃=;1时,四棱锥P-ABCO的外接球的表面积是9?
24
C.〃£+产产的最小值为占E
6
D.存在唯一的实数对(人〃),使得政工平面P。/
2.(2021・上海闵行•统考一模)如图,正四棱锥尸-A8C。的底面边长和高均为2,M是侧棱PC的中点,若过AM
作该正四棱锥的截面,分别交棱PB、PD于点E、F(可与端点重合),则四楂锥P-AEM/的体积的取值范围是()
c.D.
3.(2021・上海徐汇・位育中学校考三模)如图,正方体ABCO-ASGA中,E、r分别是/W、8C的中点,过点
。、E、”的截面将正方体分割成两个部分,记这两个部分的体积分别为匕匕(匕<匕),则匕:匕二()
AG
2527
D.—
.4746
二、填空题
4.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)已知”,力,c是空间中两两不同的三个单位向量,且
(aZ>):(Z;.c):(c.d)=l:l:2.则的取值范围是.
5.(2023・上海闵行•上海市七宝中学校考三模)在正四棱柱中,AB=1,A/\=4,£为。口中
点,。为正四棱柱表面上一点,且CJJ_qE,则点/>的轨迹的长为—.
6.(2023•上海嘉定•校考三模)下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》,用于说明元代数学家郭守敬在编制
《授时历》时所做的天文计算.图中的人氏人都是以。为圆心的圆弧,CMVK是为计算所做的矩形,其中
加,乂(分别在线段0。,。良。4上,MN工OB,KN工OB.记。=NAOB,/3=ZAOCty=4BOD,b=/COD,
给出四个关系式,其中成立的等式的序号有.
①sin£=sin/cos
②cosfi=cosycos万;
sin#
③sine=
cos/?
cosycos^
(4)cosa=
cos夕
7.(2023・上海•模拟预测)空间内存在三点A、B、C,满足A^=AC=4C=1,在空间内取不同两点(不计顺
序),使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥,求方案数为.
222
8.(2021・上海黄浦・格致中学校考二模)在空间直角坐标系中,点CM)。)满足:x+y+z=16,平面。过点
M(l,2,3),且平面。的一个法向量〃=则点尸在平面。上所用成的封闭图形的面积等于.
9.(2023•上海•统考模拟预测)若尸、Q、R是棱长为1的正四面体棱上互不相同的三点,则PQQR的取值范围
是.
10.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)已知知生9Mgw{(秽,z)|/+)3+z2=l},对任意
1Wi</W5都有勺a;<M,则实数M的最小值为.
三、解答题
11.(2023・上海徐汇・位育中学校考模队预测)如图(1),在直角梯形A8CQ中,。为CQ的中点,四边形48CO
为正方形,将她。。沿AD折起,使点。到达点尸,如图(2),E为PC的中点,且DE=CE,点广为线段依上
的一点.
(1)正明:DE1.CF;
(2)当Z)户与。E夹角最小时,求平面ZV)尸与平面C7)下所成锐二面角的余弦值.
12.(2020・上海•统考模拟预测)正四棱锥P-A8C。的底面正方形边长是3,。是在底面上的射影,PO=6,。是
AC上的一点,过。且与24、都平行的截面为五边形
(1)在图中作出截面石尸6儿,并写出作图过程;
(2)求该截面面积的最大值.
13.(2022•上海奉贤•统考一模)如图,在正四棱锥P-A88中,PA=AB=2日反尸分别为尸及尸。的中点,平
面AM与棱PC的交点为G.
⑴求异面直线AE与尸尸所成角的人小;
⑵求平面AEG”与平面A8CO所成锐二面角的大小;
(3)求点G的位置.
14.(2023・上海崇明•上海市崇明中学校考模拟预测)如图,在四棱锥尸-4BC。中,底面是矩形,且AQ=2,AB
=M=1,H4_L平面A8CQ,E,尸分别是线段AB,BC的中点.
(1)证明:PF工FD;
⑵求四棱锥P-ABCD的表面积;
(3)求直线与平面/V*所成角的大小.
15.(2023・上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)如图,四边形AAC。是圆柱底面的内接四边形,AC是圆柱
的底面在径,PC是圆柱的母线,E是AC与B。的交点,A/3=AD,ZBAD=60°.
⑴记圆柱的体积为匕,四棱锥P-ABC。的体积为匕,求才;
⑵设点”在线段AP上,PA=4PF,PC=4CE,求二面角尸—CZ)—P的余弦值.
考点10空间向量与立体几何(18种题型10个易错考点)
O【课程安排细目表】
二、真题抢先刷,考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
但一、真题抢先刷,考向提前知
一.选择题(共1小题)
1.(2023•上海)如图所示,在正方体向。0中,点P为边4a上的动点,则下列直线中,始终与直线
8P异面的是()
A.DD\B.ACC.AD\D.B\C
【分析】根据空间中的两条直线的位置关系,判断是否为异面直线即可.
【解答】解:对于A,当P是4。的中点时,8P与。7)1是相交直线;
对于B,根据异面直线的定义知,BP与AC是异面直线;
对于C,当点P与Cl重合时,8P与AQi是平行直线;
对于。,当点。与。重合时,3户与41c是相交直线.
故选:B.
【点评】本题考查了两条直线间的位置关系应用问题,是基础题.
二.填空题(共1小题)
2.(2023•上海)空间中有三个点A、8、C,且A8=BC=C4=1,在空间中任取2个不同的点。,E(不考虑这两
个点的顺序),使得它们与A、8、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点,则不同的取法有9种.
【分析】根据正四棱锥的性质,分类讨论,即可求解.
【解答】解:如图所示,设任取2个不同的点为。、E,
当△ABC为正四棱锥的侧面时,如图,平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面,有2种情况,
同理以8c£7)、4CE。为底面各有2种情况,所以共有6种情况;
当△AZ7C为正四棱锥的截面时,如图,。、K位于AZT两侧,AOOZ;为圆锥的底面,只有一种情况,
同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况,所以共有3种情况;
综上,共有6+3=9种情况.
故答案为:9.
【点评】本题考查正四棱锥的性质,分类讨论思想,属中档题.
三.解答题(共2小题)
3.(2023•上海)己知直四棱柱/IBCQ-AiACiOi,AB1AD,AB//CD,48=2,AD=3,CD=4.
(1)证明:直线44〃平面。CCIQI;
(2)若该四棱柱的体积为36,求二面角4-80-A的大小.
【分析】(1)先证明平面A1A88"/平面。CCiQi,再根据面面平行的性质,即可证明;
(2)先根据体积建立方程求出4A=4,再利用三垂线定理作出所求二面角的平面角,最后再解三角形,即可求
解.
【解答】解:(1)证明:根据题意可知A8〃OC,AA\//DD\,且48cAAi=A,
・•・可得平面AiA8Bi〃平面QCCIOI,又直线AiBu平面A1A8B1,
・•・直线4B〃平面DCCiDi:
(2)设44=〃,则根据题意可得该四棱柱的体积为上X(2+4)><3Xh=36,
2
・・・〃=4,・・・44,底面/WCD,在底面人BC。内过人作垂足点为E,
则4E在底面ABCD内的射影为AE,
・•・根据三垂线定理可得BDLA\E,
故N4EA即为所求,
在R〔Z\AB。中,AB=2,AD=3,AfiD=V4+9=V13,
.dr_ABXAD_2X3
•匕------------------------1-----------'j->又AiA=〃=4,
BDV13V13
AiA42\/l1d3
:.tanNAiEA=—i—=——=t
AE3
V13
;・二面角Ai-I3D-A的大小为arcta6H亘.
【点评】本题考查线面平行的证明,面面平行的判定定理与性质,二面角的求解,三垂线定理作二面角,化归转
化思想,属中档题.
4.(2023•上海)已知三棱锥尸-ABC中,必J_平面ABC,AB1AC.PA=AB=3,AC=4,M为8c中点,过点M
分别作平行于平面PAB的直线交AC、PC于点E,F.
(1)求直线PM与平面A/3C所成角的大小;
【分析】(1)连接AM,PM,NPWA为直线PM与平面A8C所成的角,在△办M中,求解即可;
(2)先证明ACJ_平面以从可得AE为直线ME到平面以5的距离.进则求AE的长即可.
【解答】解:(1)连接AM,PM,
•・・%_L平面48C,
A/PMA为直线"M与平面人*■所成的角.
在△心M中,・・・AB_L4C,.\^=^32+42=:5,
为BC中点,:.AM=—BC=—,
22
・•・UnNPM4=@,即直线PM与平面48c所成角为arctan-^-;
55
(2)由ME〃平面以8,M尸〃平面%8,MEC\MF=M,
・•・平面M£B7平面%B,YMEu平面M£R,ME〃平面以8,
•・•必_L平面ABC,ACu平面ABC,
:.R\±AC,V/AZ?±AC,MAAZ?=A,ZM,A"u平面ZM",
,ACJ■平面PAB,「.A石为直线ME到平面PAB的距离,
•.•ME〃平面以8,MEu平面A8C,平面A8CA平面以
\ME//AH.・・,M为友?中点,・・・E为4c中点,:.AE=2f
・•・直线ME到平面PAB的距离为2.
【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查直线与平面的距离的求法,属中档题.
Q二、考点清单
1.特殊的四棱柱
底面为平行侧梭垂直直平行底面为
平行四边形六面体于底面六面体矩形
|正方体|
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