数学高考科学复习创新方案-数学第4讲-第3课时-利用-导数研究函数的零点问题-课堂学习课件

第4讲导数与函数的综合应用第3课时利用导数研究函数的零点问题第四章导数及其应用1核心考向突破PARTONE考向一判断函数零点或方程根的个数问题解解解解利用导数确定函数零点或方程根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．解解解例2

(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．考向二由函数零点个数求解参数取值范围问题解(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＜0，解得x＜0，令f′(x)＞0，解得x＞0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．解析解解解根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”，即通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”．2.(2021·大庆实验中学月考)设k∈R，函数f(x)＝lnx－kx.(1)若k＝2，求曲线y＝f(x)在P(1，－2)处的切线方程；(2)若f(x)无零点，求实数k的取值范围．解解考向三涉及函数零点、极值点的综合问题解解解(1)研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况．(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究．3.已知函数f(x)＝lnx－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2.证明证明证明证明(1)因为f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝1，且f(e)＝0.由x1(1－lnx1)＝x2(1－lnx2)知，x1，x2是f(x)＝k的两根，其中k∈(0,1)，不妨令x1∈(0,1)，x2∈(1，e)，则2－x1>1，先证2<x1＋x2，即证x2>2－x1，即证f(x1)＝f(x2)<f(2－x1)，令h(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(0,1)，则h′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x(2－x)]>0，证明故函数h(x)单调递增，所以h(x)<h(1)＝0，所以f(x1)<f(2－x1)，故2<x1＋x2得证．下面证明x1＋x2<e.∵0<x1<1<x2<e，∴1－lnx1>1.∴x1(1－lnx1)>x1.∵x1(1－lnx1)＝x2(1－lnx2)，∴x2(1－lnx2)>x1.要证x1＋x2<e，证明只要证x2(1－lnx2)＋x2<e，即证2x2－x2lnx2<e，x2∈(1，e)．设g(x)＝2x－xlnx，x∈(1，e)，则g′(x)＝1－lnx>0.∴g(x)在(1，e)上单调递增．∴g(x)<g(e)＝2e－e＝e.∴2x2－x2lnx2<e成立．∴原命题成立，即x1＋x2<e.综上知，2<x1＋x2<e.证明证明函数极值点偏移问题的解题策略函数的极值点偏移问题，其实质是导数的应用问题，解题的策略是把含双变量的等式或不等式转化为仅含一个变量的等式或不等式进行求解，解题时要抓住三个关键量：极值点、根差、根商．4.(2021·成都名校联考)已知函数h(x)＝xe－x，如果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2.证明由x1≠x2，不妨设x1>x2，根据h(x1)＝h(x2)结合图象(图略)可知x1>1，x2<1.令F(x)＝h(x)－h(2－x)，x∈[1，＋∞)，则F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x，∵x≥1,2x－2≥0，∴e2x－2－1≥0，∴F′(x)≥0，∴F(x)在[1，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，∴x>1时，F(x)>F(1)＝0，证明即当x>1时，h(x)>h(2－x)，则h(x1)>h(2－x1)，又h(x1)＝h(x2)，∴h(x2)>h(2－x1)，∵x1>1，∴2－x1<1，∴x2,2－x1∈(－∞，1)，∵h(x)在(－∞，1)上单调递增，∴x2>2－x1，∴x1＋x2>2得证．证明2课时作业PARTTWO答案解析答案解析答案解析答案解析解析答案解析解析答案解析解析答案解析解析答案解析解析解析三、填空题9．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋2，若函数f(x)只有一个零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围为________.答案解析解析答案[2，＋∞)答案解析四、解答题11．(2021·沧州三模)已知函数f(x)＝xex－2ax＋a.(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．解解解解解(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，解得a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.解解解解解解解令g′(x)＝0，则a＝h(x)，结合图象，方程g′(x)＝0有两个根，设为m，n(m<n)．所以g(x)在(0，m)上单调递减，在(m，n)上单调递增，在(n,2π)上单调递减，因为g(0)＝0，所以当x∈(0，m)时，g(x)<0且g(m)<0；因为g(2π)＝2π－2aπ＝2π(1－a)>0，所以当x∈(n,2π)时，g(x)>0且g(n)>0；因为g(x)在(m，n)上单调递增，g(m)<0，g(n)>0，由零点存在定理及函数单调性知，存在唯一x0∈(m，n)使得g(x0)＝0.综上，g(x)的零点个数为1.解解解解16．(2021·河南豫北名校联考)已知函数f(x)＝ex＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明：x1＋x2>－2.解(1)易得f′(x)＝ex＋1－k，当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝lnk－1，可得当x∈