2025版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二讲命题及其关系充分条件与必要条件学案含解析新人教版

PAGE其次讲命题及其关系、充分条件与必要条件学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的__陈述句__叫做命题，其中__推断为真__的语句叫做真命题，__推断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有__相同__的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__没有关系__.学问点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件p是q的__充分不必要__条件p⇒q且qpp是q的__必要不充分__条件pq且q⇒pp是q的__充要__条件p⇔qp是q的__既不充分又不必要__条件pq且qpeq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．留意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)语句x2－3x＋2＝0是命题．(×)(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．(×)(3)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B．(√)(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要条件．(×)(5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(√)[解析](4)当α＝β＝eq\f(π,2)时，tanα、tanβ都无意义．因此不能推出tanα＝tanβ，当tanα＝tanβ时，α＝β＋kπ，k∈Z，不肯定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二走进教材2．(选修2－1P8T3改编)下列命题是真命题的是(A)A．矩形的对角线相等B．若a>b，c>d，则ac>bdC．若整数a是素数，则a是奇数D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P10T4改编)x2－3x＋2≠0是x≠1的__充分不必要__条件．[解析]x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．题组三走向高考4．(2024·天津，2,5分)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]易知a>1⇒a2>a，而a2>a⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[解析]由原命题和逆否命题的关系可知D正确．6．(2024·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对随意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__f(x)＝sinx(答案不唯一)__.[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满意f(x)>f(0)对随意的x∈(0,2]都成立，且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可．如f(x)＝sinx，答案不唯一．考点突破·互动探究考点一命题及其关系——自主练透例1(1)(2024·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．假如只有一个假命题，则该命题是(A)A．甲 B．乙C．丙 D．丁(2)(2024·长春模拟)已知命题α：假如x<3，那么x<5，命题β：假如x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的(A)A．否命题 B．逆命题C．逆否命题 D．否定形式(3)下列命题为真命题的是(D)A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R，则a>1”的逆否命题D．“若eq\r(3)x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为__若a＋b＝0，则a，b都大于零__，否命题为__若a＋b≠0，则a，b都大于零__.[解析](1)若乙、丙、丁正确，明显x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：假如x<3，那么x<5，命题β：假如x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于B，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C，当a＝0时，3>0恒成立，当a≠0时，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,4a2－4aa＋3<0))，解得a>0，综上a≥0，所以原命题为假命题，逆否命题也为假命题；对于D，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D正确．故选D．(4)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．名师点拨(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，假如命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；假如命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)推断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；推断一个命题为假命题，只需举出反例．(3)依据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题干脆推断不易进行时，可转化为推断其等价命题的真假．考点二充分必要条件考向1充分条件与必要条件的推断——师生共研方法1：定义法推断例2(2024·北京，9,4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析](1)充分性：已知存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，(ⅰ)若k为奇数，则k＝2n＋1，n∈Z，此时α＝(2n＋1)π－β，n∈Z，sinα＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ；(ⅱ)若k为偶数，则k＝2n，n∈Z，此时α＝2nπ＋β，n∈Z，sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ.由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sinα＝sinβ成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y轴对称，即α＝β＋2mπ或α＋β＝2mπ＋π，m∈Z，即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C．方法2：集合法推断例3(理)(2024·天津，3)设x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(文)(2024·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“eq\f(x－5,2－x)>0”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析](理)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的推断．由x3>8得x>2，由|x|>2得x>2或x<－2.因为(2，＋∞)(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件．故选A．(文)解肯定值不等式可得－4<x－1<4，即－3<x<5，将分式不等式变形可得eq\f(x－5,x－2)<0，解得2<x<5，因为(2,5)(－3,5)，所以“|x－1|<4”是“eq\f(x－5,2－x)>0”的必要而不充分条件．方法3等价转化法推断例4(1)给定两个条件p，q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p：cosα≠eq\f(1,2)，命题q：α≠eq\f(π,3)”，则命题p是命题q的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析](1)因为¬p是q的必要不充分条件，则q⇒¬p，但¬pq，其逆否命题为p⇒¬q，但¬qp，所以p是¬q的充分不必要条件．(2)¬p：cosα＝eq\f(1,2)，¬q：α＝eq\f(π,3)，明显¬q⇒¬p，¬p¬q，∴¬q是¬p的充分不必要条件，从而p是q的充分不必要条件，故选A．另解：若cosα≠eq\f(1,2)，则α≠2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)，则α也必定不等于eq\f(π,3)，故p⇒q；若α≠eq\f(π,3)，但α＝－eq\f(π,3)时，依旧有cosα＝eq\f(1,2)，故qp.所以p是q的充分不必要条件．故选A．名师点拨有关充要条件的推断常用的方法(1)依据定义推断：①弄清条件p和结论q分别是什么；②尝试p⇒q，q⇒p.若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件；若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(2)利用集合推断记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系ABBAA＝BAB且BA结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件(3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要推断p是q的什么条件，只需推断¬q是¬p的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；③在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；④对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)(理)(2024·天津，4)设x∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)”是“x3<1”的(A)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件(文)(2024·天津部分区期末)设x∈R，则“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的(A)A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[解析](1)①明显x∈(A∪B)不肯定有x∈B，但x∈B肯定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．②条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但qp，故p是q的充分不必要条件．③在△ABC中，A＝B⇒sinA＝sinB；反之，若sinA＝sinB，因为A与B不行能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．④易知¬p：x＋y＝8，¬q：x＝2且y＝6，明显¬q⇒¬p，但¬p¬q，所以¬q是¬p的充分不必要条件，依据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(2)(理)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的推断．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)得－eq\f(1,2)<x－eq\f(1,2)<eq\f(1,2)，解得0<x<1.由x3<1得x<1.因为(0,1)(－∞，1)，所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)”是“x3<1”的充分而不必要条件．(文)解不等式x2－2x<0得0<x<2，解不等式|x－1|<2得－1<x<3，所以“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A．考向2充要条件的应用——多维探究角度1充要条件的探究例5下列函数中，满意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是(B)A．f(x)＝tanx B．f(x)＝3x－3－xC．f(x)＝x2 D．f(x)＝log3|x|[解析]因为f(x)＝tanx是奇函数，所以x1＋x2＝0⇒f(x1)＋f(x2)＝0，但feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝0时，eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)≠0，不符合要求，所以A不符合题意；因为f(x)＝3x－3－x均为单调递增的奇函数，所以满意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项C，f(x)＝x2是偶函数，不符合题意；对于选项D，由f(x)＝log3|x|的图象易知不符合题意，故选B．注：满意条件的函数是奇函数且单调．角度2利用充要条件求参数的值或取值范围例6已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是__[0,3]__.[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是__[0,3]__.[解析]解法一：由(1)若x∈P是x∈S的必要条件，则0≤m≤3，当m＝0时，S＝{1}，不充分；当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m的取值范围为[0,3]．解法二：若x∈P是x∈S的必要且充分条件，则P＝S，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10))⇒m无解，∴m的取值范围是[0,3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”，其他条件不变，则m的取值范围是__[9，＋∞)__.[解析]由(1)知P＝{x|－2≤x≤10)，∵非P是非S的必要不充分条件，∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且SP.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．名师点拨充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需留意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)肯定要留意端点值的取舍，处理不当简单出现漏解或增解的现象．(3)留意区分以下两种不同说法：①p是q的充分不必要条件，是指p⇒q但qp；②p的充分不必要条件是q，是指q⇒p但pq.(4)留意下列条件的等价转化：①p是q的什么条件等价于¬q是¬p的什么条件，②p是¬q的什么条件等价于q是¬p的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2024·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A，B是△ABC的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是(A)A．sinA>sinB B．cosA>cosBC．tanA>tanB D．cos2A>cos2B(2)(角度2)(2024·山东省试验中学高三诊断)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0.假如p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是(B)A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(