2024-2025学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质限时规范训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE其次章2.42.4.2基础练习1．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是()A．(1,2) B．(2,1)C．(2,3) D．(3,2)【答案】D【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，eq\f(x1＋x2,2)＝3.∴eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A．2 B．4C．6 D．8【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)与圆(x－3)2＋y2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d＝3＋eq\f(p,2)＝4.解得p＝2.3.(2024年湖北五校联考)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A.y2＝－12xB.y2＝－8xC.y2＝－6xD.y2＝－4x【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－eq\f(x1＋x2,2)＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(2\r(2),3)【答案】D【解析】C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)过定点P(－2,0)．过点A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点．连接OB，则|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，∴|OB|＝|BF|.∴点B(1，2eq\r(2))．∴k＝eq\f(2\r(2)－0,1－－2)＝eq\f(2\r(2),3).故选D．5．(2024年山西临汾期末)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是__________________．【答案】x2＝2y【解析】由题意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p，－\f(p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－p，－\f(p,2)))，∴S△FAB＝eq\f(1,2)·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y.6.(2024年辽宁沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝.【答案】eq\f(4,3)【解析】设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq\f(2\r(3),3).设P(x0，y0)，则x0＝±eq\f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq\f(1,3)，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝eq\f(4,3).7．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.由题意，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.(方法一)由x2－6x＋1＝0，得x1＋x2＝6，x1·x2＝1，∴|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)×eq\r(x1＋x22－4x·x2)＝eq\r(2)×eq\r(62－4)＝8.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝|AA1|＝x1＋1，|BF|＝|BB1|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C：y2＝2px(p>0)上有两动点A，B(AB不垂直于x轴)，F为焦点且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求抛物线C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则x1＋x2＝8－p.又|QA|＝|QB|，∴(x1－6)2＋yeq\o\al(2,1)＝(x2－6)2＋yeq\o\al(2,2)，即(x1＋x2－12)(x1－x2)＝2p(x2－x1)．∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p.∴12－2p＝8－p.解得p＝4.∴所求抛物线C的方程为y2＝8x.实力提升9．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条 B．有两条C．有无穷多条 D．不存在【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，∴这样的直线有两条．故选B．10.(多选题)如图，AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率存在，则()A.|AB|＝x1＋x2＋pB.x1x2＝eq\f(p2,4)C.y1y2＝－p2D.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ABCD【解析】由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝x1＋x2＋p，A正确.设直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立抛物线方程，消x得y2－eq\f(2p,k)y－p2＝0，∴y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1),2p)·eq\f(y\o\al(2,2),2p)＝eq\f(p2,4)，B，C正确.设AB的中点为M，M到准线的距离为d，则d＝eq\f(|AA1|＋|BB1|,2)＝eq\f(|AF|＋|BF|,2)＝eq\f(|AB|,2)，∴以AB为直径的圆与准线相切，D正确.综上，ABCD全选.11.(2024年湖南永州模拟)已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满意∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y＝－eq\f(1,16)的距离为d，若|MN|2＝λ·d2，则λ的最小值为.【答案】2＋eq\r(2)【解析】抛物线y＝4x2的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，准线为y＝－eq\f(1,16).设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，得|MN|2＝|MF|2＋|NF|2－2|MF|·|NF|·cos∠MFN＝a2＋b2＋eq\r(2)ab.由抛物线的定义得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，由梯形的中位线定理得d＝eq\f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq\f(1,2)(a＋b).由|MN|2＝λ·d2，得eq\f(1,4)λ＝eq\f(a2＋b2＋\r(2)ab,(a＋b)2)＝1－eq\f((2－\r(2))ab,(a＋b)2)≥1－eq\f((2－\r(2))ab,(2\r(ab))2)＝1－eq\f(2－\r(2),4)＝eq\f(2＋\r(2),4)，得λ≥2＋eq\r(2)，当且仅当a＝b时，取得最小值2＋eq\r(2).12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点且|AB|＝eq\f(5,2)p，求AB所在的直线方程．解：焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<eq\f(5,2)p，不合题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))(k≠0)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系，得y1＋y2＝eq\f(2p,k)，y1y2＝－p2.∴|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\