2024-2025学年高中数学第一章数列1.2数列的函数特性跟踪训练含解析北师大版必修5

PAGE第一章数列§1数列1.2数列的函数特性[A组学业达标]1．下列四个数列中，是递增数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．sineq\f(1,7)π，sineq\f(2,7)π，sineq\f(3,7)π，…C．－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)…解析：选项A是递减数列，选项B和C没有单调性．答案：D2．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,\r(n＋1)－\r(n))，则数列{an}的最小项为()A．1 B.eq\r(2)－1C.eq\r(2)＋1 D．－eq\r(2)＋1解析：因为an＝eq\f(1,\r(n＋1)－\r(n))＝eq\r(n＋1)＋eq\r(n)，明显数列{an}为递增数列，所以当n＝1时，取得最小值eq\r(2)＋1.答案：C3．已知数列{an}中，an＜0，且2an＋1＝an，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．无法推断解析：an＋1－an＝eq\f(1,2)an－an＝－eq\f(1,2)an.∵an＜0，∴－eq\f(1,2)an＞0，∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．答案：A4．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么这个数列是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摇摆数列解析：因an＝eq\f(n－1,n＋1)＝1－eq\f(2,n＋1)，随n的增大，an也在增大，所以这个数列是递增数列．答案：A5．已知数列{an}中，a1＝a(a为正常数)，an＋1＝eq\f(－1,an＋1)(n＝1，2，3，…)，则下列能使an＝a的n的数值是()A．15 B．16C．17 D．18解析：a1＝a，a2＝eq\f(－1,a＋1)，a3＝eq\f(－1,a2＋1)＝eq\f(－1,\f(－1,a＋1)＋1)＝eq\f(－a－1,a)，a4＝eq\f(－1,a3＋1)＝eq\f(－1,\f(－a－1,a)＋1)＝a，a5＝eq\f(－1,a4＋1)＝eq\f(－1,a＋1)，…….∴a4＝a1，a5＝a2，…依次类推可得：an＋3＝an，∴{an}为周期数列，周期为3.∵a1＝a，∴a3k＋1＝a1＝a.答案：B6．数列1，2，4，8，…，的一个通项公式是________，它是________(填递增数列或递减数列)．解析：数列的前四项为1，2，4，8，所以an＝2n－1，又an＋1－an＝2n－2n－1＝2n－1＞0，即an＋1＞an，数列{an}为递增数列．答案：an＝2n－1递增数列7．已知数列{an}满意an＝eq\f(n＋1,3n－16)，则数列{an}中的最小项是第________项．解析：an＝eq\f(n＋1,3n－16)＝eq\f(n－\f(16,3)＋\f(19,3),3n－16)＝eq\f(1,3)＋eq\f(\f(19,3),3n－16)，令3n－16＜0，得n＜eq\f(16,3).又f(n)＝an在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(16,3)))上单调递减，且n∈N＋，所以当n＝5时，an取最小值．答案：58．(2024·南阳市模拟)若数列{an}的通项公式为an＝n－7eq\r(n)，则该数列中的最小项的值为________．解析：an＝n－7eq\r(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n)－\f(7,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(49,4)，当n＝12时，有最小值，即最小值为12－7eq\r(12)＝12－14eq\r(3).答案：12－14eq\r(3)9．(2024·吴起县模拟)已知数列{an}满意an＝n2－5n＋6，n∈N＋.(1)数列中有哪些项是负项？(2)当n为何值时，an取得最小值？并求出此最小值．解析：(1)令an＝n2－5n＋6＜0，解得0＜n＜6，∵n∈N＋，∴数列中第1，2，3，4，5项为负数，即－10，－12，－12，－10，－6.(2)an＝n2－5n－6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(49,4)，当n＝2，3时，an取得最小值，最小值为－12.10．已知an＝eq\f(9n（n＋1）,10n)(n∈N＋)，试问数列{an}中有没有最大项？假如有，求出这个最大项；假如没有，说明理由．解析：因为an＋1－an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·(n＋2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n)·(n＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（n＋2）－\f(10,9)（n＋1）))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)，则当n≤7时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)＞0，当n＝8时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)＝0，当n≥9时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n＋1)·eq\f(8－n,9)＜0，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＜a8＝a9＞a10＞a11＞a12＞…，故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝eq\f(99,108).[B组实力提升]11．已知数列{an}的通项为an＝eq\f(an,bn＋1)，其中a，b均为正数，则an与an＋1的大小关系为()A．an＞an＋1 B．an＜an＋1C．an＝an＋1 D．与n有关解析：因an＝eq\f(an,bn＋1)＝eq\f(a,b＋\f(1,n))，由于a，b均为正数，随n的增大，分母在减小，故an在增大，数列{an}为递增数列，有an＜an＋1.答案：B12．已知an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()A．a1，a30 B．a1，a9C．a10，a9 D．a10，a30解析：∵an＝eq\f(n－\r(99)＋（\r(99)－\r(98)）,n－\r(99))＝eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))＋1.∴点(n，an)在函数y＝eq\f(\r(99)－\r(98),x－\r(99))＋1的图像上，在直角坐标系中作出函数y＝eq\f(\r(99)－\r(98),x－\r(99))＋1的图像，由图像易知，当x∈(0，eq\r(99))时，函数单调递减．∴a9＜a8＜a7＜…＜a1＜1，当x∈(eq\r(99)，＋∞)时，函数单调递减，∴a10＞a11＞…＞a30＞1.所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.答案：C13．已知数列{an}的通项公式为an＝an2＋n(n∈N＋)，若满意a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6，且an＞an＋1，对随意n≥10恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,5.5＜－\f(1,2a)＜10.5，))解得－eq\f(1,11)＜a＜－eq\f(1,21)，∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,11)，－\f(1,21))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,11)，－\f(1,21)))14．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项为________．解析：∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴eq\f(an,an－1)＝2＞1，∴an＞an－1，即{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝4a8＝…＝29·a1＝29·2＝2答案：102415．设数列{an}的通项公式an＝－n2＋eq\f(k,2)n＋1(n∈N＋)，若数列{an}是单调递减数列，求实数k的取值范围．解析：法一：考查二次函数y＝－x2＋eq\f(k,2)x＋1，要使数列{an}是递减数列，对称轴x＝eq\f(k,4)应满意eq\f(k,4)＜eq\f(1＋2,2)，所以k＜6.即k的取值范围是(－∞，6)．法二：由题意知：an＋1＜an对随意n∈N＋恒成立，由an＋1＜an得k＜4n＋2，因为n∈N＋，所以4n＋2≥6，所以k＜6.即k的取值范围是(－∞，6)．16．已知数列{an}的通项公式an＝n2－7n－8(n∈N＋)．(1)数列中有多少项为负数？(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．解析：(1)令an＜0，即n2－7n－8＜0，得－1＜n＜8.又n∈N＋，∴n＝1，2，3，…，7，数列从第1项至第7项均为负数，共7项．(2)法一：an＝n2－7n－8是关于n的二次函数，其对称轴方程为n＝eq\f(7,2)＝3.5，∴当1≤n≤3时，{an}单调递减；当n≥4时，{an}单调递增，∴