空间角与距离知识点与题型归纳总结

空间角与距离知识点与题型归纳总结知识点精讲空间角的定义和范围两条异面直线所成角θ的范围是，当θ=时，这两条异面直线互相垂直。斜线AO与它在平面α内的射影AB所成角θ叫做直线与平面所成的角。平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一直线所成角中最小的角，如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角为；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么就是直线和平面所成的角为0.直线和平面所成的角的范围为；斜线和平面所成的角的范围为从一条直线出发的两个半平面所组成的角叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为，两个平面分别为α，β的二面角记做α--β，二面角的范围是一个平面垂直于二面角的公共棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA，OB，则∠AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。点到平面距离的定义点到平面的距离即点到它在平面内的正射影的距离。题型归纳及思路提示题型1空间角的计算 思路提示 求解空间角如异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定义法；（2）选点平移法；（3）垂线法：（4）垂面法；（5）向量法。一、异面直线所成的角 方法一：通过选点平移法将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来求解，但要注意两条异面直线所成角的范围是。 方法二：向量法，设异面直线a和b的方向向量为和，利用夹角余弦公式可求得a和b的夹角大小α，且。例8.59直三棱柱中，若∠BAC=90°，AB=AC=，则异面直线与所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°分析通过选点平移法将异面直线所成的角转化为相交直线的夹角,在三角形中利用余弦定理来求解.解析如图8-218所示,连接,设,过点作交于点,连接,故(或其补角)为异面直线与所成的角,设,则,,,故为正三角形,,即异面直线与所成的角等于60°,故选C.变式1如图8-219所示,在长方体中,,是棱的中点,求异面直线和所成的角的正切值.变式2如图8-220所示,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,,求异面直线AC与所成角的余弦值.例8.60如图8-221所示,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD，且MD=NB＝１，Ｅ为ＢＣ的中点，求异面直线ＮＥ与ＡＭ所成角的余弦值．分析利用向量法求解异面直线所成的角．解析解法一：如图８－２２２所示，以Ｄ为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz,依题意,得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(,1,0),所以，因为所以异面直线ＮＥ与ＡＭ所成角的余弦值为。解法二：对几何体细心观察，正三棱锥B-AN的三条侧棱两两垂直，它分明是正方体的一角，从这个视角出发，又联系到MD⊥平面ABCD，ABCD又恰好是正方形（正方体的一个面），如此分析，应当想到已知形体是正方体的一部分，于是“补全”正方体是合乎情理的。 如图８－２２３所示，连接BQ，易知BQ∥AM，设BQ∩NE＝F，则∠NFQ即为AM与NE所成的角，在正方体BC-QN中，E为BC中点，NQ＝１，由△BEF∽△NQF，从而，即为所求。变式１如图８－２２４所示，已知正方体，点Ｅ是正方形的中心，点Ｇ是棱的中点，设分别是Ｅ，Ｇ在平面内的正投影。求异面直线与ＥＡ所成角的正弦值。变式2如图8-225所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2,AD=,PA=2.求异面直线BC与AE所成的角的大小.二、直线与平面所成的角 方法一:(垂线法)直线与平面所成的角就是直线与此直线在平面内的射影直线所成的角.过直线上一点作出平面的垂线,得到垂足,而射影直线就通过斜足与垂足,因此作出平面的垂线是必要的一步.具体步骤是:①先作出该角;②在直角三角形中求解. 方法二:(向量法)直线与平面所成的角为直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角的余角. 如图8-226所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l和平面α所成的角为θ，则<,>+θ=,或<,>-θ=,因为θ的取值范围是，所以.方法三：（点面距法）利用相关方法求出直线上一点到平面的距离d，再求出此点与斜足间的距离l,设直线和平面所成角的大小为θ，则. 例8.61如图8-227所示，二面角的大小是60°，线段，AB与所成角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是. 分析作出直线AB在平面β的射影，射影与AB所成的角即为AB与平面所成的角，再求出其正弦值. 解析如图8-228所示,过点A作AH⊥β于点H，过点H作GH⊥l于点G,连接AG，由三垂线定理得l⊥AG,故∠AGH为二面角的平面角，得∠AGH=60°，不妨设AG=2，则AH=,HG=1,又AB与所成角为30°，故，在Rt△ABH中，，故AB与平面β所成的角的正弦值是.变式1如图8-229所示，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.求DE与平面ABCD所成角的正切值.变式2如图8-230所示，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，点D是AB的中点，且AC=BC=α，∠VDC=.当变化时,求直线BC与平面VAB所成角的取值范围.变式3如图8-231所示,在Rt△AOB中，∠AOB=,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上，求CD与平面AOB所成角正切的最大值.三、二面角的平面角 求二面角的平面角的方法有：(1)根据定义，即在公共棱上取一点分别在两个半平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角即为二面角的平面角；（2）利用三垂线定理及其逆定理；（3）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底边的额两条中线；（4）求正棱锥侧面夹角时利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面与底面夹角时，用二面角的面积射影定理，其中为二面角的大小;(6)利用空间向量求解二面角，转化为两个平面的法向量夹角，公共棱不明显的二面角常用此法来求，但应注意法向量，的夹角与二面角的大小是相等或互补的（需要根据具体情况判断想等或互补）。例8.62如图8-232所示，在直三棱柱中，侧面侧面。若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，是判断与的大小关系，并予以证明. 分析利用定义找出线面角与二面角的平面角，并比较其大小.解析如图8-233所示,过A在平面内作AD⊥于点D，则由平面⊥侧面，且平面∩侧面=，得AD⊥侧面，连接CD,则知∠ACD=,由BC⊥，BC⊥AD,∩AD=A,,AD平面，得BC⊥平面，故BC⊥，BC⊥AB.所以∠是二面角的平面角，即=，于是在Rt△ADC中，，于是在Rt△ADB中，.不难知,因此,又,所以.变式1如图8-234所示,在四面体OABC中，OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.变式2如图8-235所示,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD，SD=，AD=。点E是SD上的点，且DE=。设二面角C-AE-D的大小为，直线BE与平面ABCD所成角为，若，求值。变式3如图8-236所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC,AB,CE,二面角A-BE-D的大小.例8.63如图8-237所示,在长方体ABCD-中，E，F分别是BC，上的点，CF=AB=2CE，AB:AD:=1:2:4,求二面角的正弦值. 解析如图8-238所示,连接AC,设AC∩DE=N，因为，所以Rt△DCE∽Rt△CBA，从而∠CDE=∠BCA，又由于∠CDE+∠CED=90°，故∠BCA+∠CED=90°故AC⊥DE,又DE⊥CF，AC∩CF=C，则DE⊥平面CFN，得DE⊥FN，同理得DE⊥N，故为二面角的平面角，易知，，所以又，所以在中，在中，连接，在中，，在△中，所以，所以求二面角的正弦值为.变式1如图8-239所示，四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SD上的一点，平面EDC⊥平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。变式2如图8-240所示，已知正三棱柱的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱上，且不与点重合，设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值。变式3如图8-241所示，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上.若BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C的大小.例8.64如图8-242所示,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是棱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点，求二面角E-AF-C的余弦值. 分析利用空间向量法求解二面角的平面角。 解析有AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图8-243所示的空间直角坐标系A-xyz，又E，F分别是BC，PC的中点，所以，，所以。设平面AEF的法向量为，则，即，取则所以。设平面AEC的法向量为，，则。取，则所以。设二面角E-AF-C的大小为，则又二面角E-AF-C为锐二面角，故所求二面角的余弦值为。变式1如图8-244所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD,PD⊥底面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.变式2如图8-245所示，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为棱形，AB=2，,当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。变式3如图8-246所示，四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，BC=CD=2,AC=4,,F为PC的中点，.求PA的长；求二面角B-AF-D的正弦值。变式4如图8-247所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，平面ABCD，,证明：;求平面与平面的夹角的大小。题型2点到平面距离的计算思路提示求解点到平面的距离，常用方法有:定义法，作出点到免的垂线，，垂线段的长度就是点到平面的距离，通常是借助某个直角三角形来求解。转化法，利用等体积法或者线面平行的位置关系，将点A到平面的距离转化为与其相关的点B到平面的距离。向量法，点P为平面外一点，点Q为平面上的任一点，为平面的法向量，点P到平面的距离。例8.65如图8-248所示，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,,AP=BP=AB,,求点C到平面PAB的距离。分析利用定义法直接作出点C到平面PAB的距离。解析如图8-249所示，取AB的中点D，连接CD,PD。因为AP=BP，所以，又因为AC=BC,所以。又,所以平面PCD，面APB，所以平面PAB面PCD。过C作CHPD，垂足为H。因为平面,所以CH平面APB。所以CH的长即为点C到平面PAB的距离。由于平面PCD，面PCD，所以PCAB。又PCAC,,故PC平面APB,又面ABC.所以PCCD，在直角三角形PCD中，CD=.所以.所以.评注这里直接作出点C到平面APB的垂线CH（H为垂足），CH的长即为所求点面距离。变式1如图8-250所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的棱形，，,OA=2,求点B到平面OCD的距离。变式2如图8-251所示，四棱锥P-ABCD为矩形，，求直线AD与平面PBC的距离。例8.66如图8-252所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求点C到平面A1BD的距离。分析利用等体积转化法求点C到平面A1BD的距离。解析在三角形A1BD中，BD=A1D=。在三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为。设点C到平面A1BD的距离为d。由得,解得，所以点C到平面A1BD的距离为。评注本题利用了等体积法转化，该方法是求解点到面距离的重要方法。变式1如图8-253所示，在四棱锥P-ABCD中，,点A到平面PBC的距离.变式2如图8-254所示，三角形BCD与三角形MCD都市边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB面BCD，，求点A到平面MBC的距离。例8.67如图8-255所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，且AC=2，,侧棱AA1=2,D,E分别是CC1与A1B的中点。求点A1到平面AED的距离。分析利用向量法求解点到平面的距离。解析以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz。如图8-256所示，A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),E(1,1,1),A1(2,0,2).所以,设平面的法向量为由得，所以点A1到平面AED的距离.变式1如图8-257所示，已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高。变式2如图8-258所示，四棱锥P-ABCD中四边形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,,AB=AP。若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P,B,C,D的距离相等？说明理由。有效训练题正方体ABCD－A1B1C1D1中AB=A1A=2,AD=1,E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）如图8-259所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=A1A，则AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（）二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直与AB，已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为（）