3.2.3三角形的内切圆(第5~6课时)

3.2.3三角形的内切圆九年级数学组九年级下册《湘教版》（第一课时）1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？①.圆心与半径2、叙述角平分线的性质与判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与⊙O的关系？△ABC是⊙O的内接三角形；⊙O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心知识回顾或②.不在同一直线上的三点ABCO外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等。

如图,是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ABCABC

三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如:思考：猜想：这个圆应当与三角形的三条边都

。相切三角形的内切圆CBADFEOr思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边都相切，切点分别为点M，N，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。

2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心O在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。探究：三角形内切圆的作法OMABCN●●●O图2ABC●3．如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心的位置与半径的长？

4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆呢？内切圆圆心能否在三角形外部?

作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。

只能作一个，圆心也只能在三角形内部,因为三角形的三条内角平分线在三角形内部,且相交只有一个交点。IFCABED作法：ABC1、作∠B、∠C的平分线

BM和CN，交点为I。

I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.MND试一试:

你能画出一个三角形的内切圆吗?⊙I就是所求的圆。画三角形的内切圆:画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；内心性质CBADFEOr2.三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点；注意：1.一个三角形有且只有一个内切圆（或外接圆）；2.一个圆有无数个外切三角形（或内接三角形）。3.三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分每个内角；抽象概念

1.如图1，△ABC是⊙O的

三角形。⊙O是△ABC的

圆，点O叫△ABC的

，它是三角形

的交点。外接内接外心三边中垂线（或垂直平分线）2.如图2，△DEF是⊙I的

三角形，⊙I是△DEF的

圆，点I是△DEF的

心，它是三角形

的交点。ABCO．图1IDEF．图2外切内切内三条角平分线

3.三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在三角形的_______.1无数内部名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心在三角形的内部（或外部或边上）．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．oABCOABC小结三角形的外心与内心想想，找找如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F。1.不添线，图中有哪些等量？ABCODEF没有想想，找找如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F。1.不添线，图中有哪些等量？ABCODEF2.连结OA、OB、OC，你又有何发现？（1）∠BAO＝∠CAO（2）∠ABO＝∠CBO（3）∠BCO＝∠ACO没有想想，找找如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F。1.不添线，图中有哪些等量？ABCDEFO2.连结OA、OB、OC，你又有何发现？3.连结OD、OE、OF，你还有新发现吗？没有（1）∠BAO＝∠CAO（2）∠ABO＝∠CBO（3）∠BCO＝∠ACOOD＝OE＝OFOD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.（2）若∠A=80°，则∠BOC=

度。13020例1：如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO)1(32)4(（3）若∠BOC=100°，则∠A=

度。（4）试探索：∠A与∠BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。120°●●ABCO●例2：求边长为６cm的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R。老师提示：

先画草图，由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆。CABRrOD变式：求边长为ａ的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比。归纳：边长为ａ的等边三角形的内切圆半径r、外接圆半径R及等边三角形的高h的关系。CABRrODa一、r,R,h的大小二、r,R,h之间的关系我有哪些收获？---与大家共分享！学而不思则罔回头一看，我想说…１.定义２.内心的性质４.初步应用３.画三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；内心性质CBADFEOr2.三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点；注意：1.一个三角形有且只有一个内切圆（或外接圆）；2.一个圆有无数个外切三角形（或内接三角形）。3.三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分每个内角；课堂小结名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心在三角形的内部（或外部或边上）．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．oABCOABC小结三角形的外心与内心3.2.3三角形的内切圆九年级数学组九年级下册《湘教版》（第二课时）如图，△ABC的顶点在⊙O上，△ABC的各边与⊙I都相切，则△ABC是⊙I的

三角形；△ABC是⊙O的

三角形；⊙I叫△ABC的

圆；⊙O叫△ABC的

圆，点I是△ABC的

心，点O是△ABC的

心外切内接内切外接ABCI．．O内外知识回顾定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；内心性质CBADFEOr2.三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点；注意：1.一个三角形有且只有一个内切圆（或外接圆）；2.一个圆有无数个外切三角形（或内接三角形）。3.三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分每个内角；回顾旧知名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心在三角形的内部（或外部或边上）．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．oABCOABC三角形的外心与内心回顾旧知

例1.如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DB证明：连接BO，∵AD是∠BAC的平分线

∴

∠1=∠2，又∵O是内心,

∴OB是∠ABC的平分线∴∠3=∠4，而∠BOD=∠1+∠3，

∠OBD=∠4+∠5，又∵∠2=∠5，∴∠1=∠5∴∠BOD=∠OBD.∴DO=DB.例题讲解●●OABDC1（）2）3）4）5●例2：设△ABC的内切圆的半径为ｒ，△ABC的周长为Ｌ,求△ABC的面积S（以含r、L的代数式表示S）.ABCODEF分析：我们学过哪些求三角形面积的公式？例题讲解例2：设△ABC的内切圆的半径为ｒ，△ABC的周长为Ｌ，求△ABC的面积S（以含r、L的代数式表示S）.ABCOEFD例题讲解解：如图,△ABC的三边AB,BC,CA分别与⊙O相切于点D,E,F,连接OD,OE,OF,OA,OB,OC.由切线的性质定理得:OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC.OD＝OE＝OF＝r因此△ABC的面积S为面积法例3、如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为Ｌ。求证：OA●BCＦ●●Ｅ●想一想：常用辅助线及切线的性质DABCOcDEr如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm则其内切圆的半径为______。例4：（补充题）如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c则其内切圆的半径ｒ为:（以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ）2cmrb－ra－rb－ra－rba我有哪些收获？---与大家共分享！学而不思则罔回头一看，我想说…小结：

三角形的内切圆（1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心（2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点（3）三角形的内心到三边的距离相等；三角形的内心与三角形各顶点的连线平分各个内角（4）三角形面积（C为三角形周长，r为内切圆半径）(5)直角三角形的内切圆的半径为r

与各边长a、b、c的关系是1、已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。比一比看谁做得快ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4，BD=9，CE=5比一比看谁做得快.ABC2、直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm.则其内切圆的半径为______。O2cm老师提示：等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆。CABRrOD（A）1∶∶

（B）1∶2∶

（C）1∶∶2

（D）1∶2∶3

3、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）D

4.

△ABC

的内切圆⊙O

与AB

、BC

、AC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，则AD=______,BE=_______,CF=______.1厘米