易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错（解析版）

专题04易错易混集训：利用勾股定理求解四大易错【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】 1【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】 3【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】 8【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】 17【典型例题】【易错一没有明确斜边或直角时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为．【答案】3或/或3【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边．【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边，当第三边为斜边时，第三边，故答案为：3或．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键．【变式训练】1．（2023上·江苏扬州·八年级校考期中）若一直角三角形两边长分别为3和5，则第三边长为．【答案】4或/或4【分析】本题考查了勾股定理，分第三边为斜边和斜边长为5两种情况，分别根据勾股定理进行求解即可，能够分类讨论是解题的关键．【详解】在直角三角形中，①当第三边为斜边，则第三边长为；②当斜边长为5，则第三边长为；综上，第三边长为4或；故答案为：4或．2．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）若m，n满足，且m，n恰好为直角三角形的两边长，则该直角三角形的斜边长为.【答案】5或4【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，根据非负数的性质求得的值是解题的突破口．利用非负数的性质求出再分两种情况根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵，∴，解得，①当是直角边时，该直角三角形的斜边长为；②当是斜边时，即该直角三角形的斜边长为4．故该直角三角形的第三边长为5或4．故答案为：5或43．（2023上·四川内江·九年级四川省内江市第二中学校考期中）已知直角三角形两边的长满足，则第三边长为．【答案】或/或【分析】本题主要考查勾股定理、非负数的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，“如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么”．根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分两种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足，∴，，解得：或（负值不合题意，舍去），或（负值不合题意，舍去），当6为直角三角形的直角边时，则第三边长为：；当6为直角三角形的斜边时，则第三边长为：；综上分析可知，直角三角形的第三边长为或．故答案为：或．4．（2023上·江苏南京·八年级期末）定义：如图，点C、点D把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段的勾股分割点．已知点M、点N是线段的勾股分割点，，，则【答案】或【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意需分类讨论：①当为最长线段时，由勾股定理求出；②当为最长线段时，由勾股定理求出即可．【详解】解：①当为最长线段时，∵点M、N是线段的勾股分割点，∴，②当为最长线段时，∵点M、N是线段的勾股分割点，∴∴．综上所述：或．故答案为：或．【易错二三角形形状不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·湖北孝感·八年级校考阶段练习）已知是的边上的高，若，，，则的长为．【答案】或/或【分析】分是锐角三角形和是钝角三角形两种情况，根据勾股定理计算即可．【详解】解：当是锐角三角形，如图1，

，，由勾股定理得，，，，，当是钝角三角形，如图2，

同理得：，，，则的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，解题关键是进行分类讨论求解．【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）的高长为3，且，，则的周长是___________．【答案】或【分析】分情况利用勾股定理求出各边的长，继而根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：如图1：

，，，所以三角形的周长；如图2：

，，，所以三角形的周长；故答案为：或．【点睛】本题考查勾股定理，关键是根据题意画出图形，分情况讨论．2．（2022·北京·101中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．3．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在中，是边上的高，，，，则的面积为______．【答案】30或18/18或30【分析】分两种情况求解，首先利用勾股定理即可求得的长，再利用三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：分两种情况：（1）如图，当在的内部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，（2）如图，当在的外部时，是边上的高，，在中，，在中，，，，故答案为：30或18．【点睛】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，注意分类讨论求得的长是解决本题的关键．4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知等边的边长为6，为的中点，如果点是射线上的一点，且，那么的长为．【答案】或/或【分析】分两种情况，利用勾股定理求解即可．【详解】解：等边的边长为6，为的中点则，平分，∴，∴由题意可得：当点在的内部时，如图1，由勾股定理可得：∴当点在的外部时，如图2，由勾股定理可得：∴

故答案为：或【点睛】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，学会分类讨论的思想求解问题．【易错三等腰三角形的腰和底不明时，考虑不全面而漏解】例题：（2023春·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当为等腰三角形时，等于．

【答案】或或【分析】根据为等腰三角形进行分类讨论，分别求出的长，即可求出t．【详解】解：在中，，由勾股定理得：（cm），由题意可知共三种情况，如下：①时，，则，

∴，解得；②当时，，

所以，③当时，即，

所以，综上所述，当t的值为或或；故答案为：或或【点睛】本题主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分类讨论思想，能够正确地分类是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知在中，于点D，，，，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是秒，是等腰三角形．【答案】5或6或【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，分类讨论是解题关键．【详解】解：∵，，∴时：∵，∴∵∴，解得：；时：∵∴，解得：；时：∵，又∴解得：故答案为：5或6或2．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）已知，在中，．点从点出发，在线段上认每秒1个单位长度的速度向终点运动，连接．当点运动秒时，为等腰三角形．【答案】1或2.5【分析】本题考查了勾股定理和等腰三角形的定义，解决本题的关键是掌握勾股定理，根据等腰三角形的定义分类讨论．根据等腰三角形的定义分三种情况求解：①当时，②当时，③当时．【详解】设点P运动的时间为t秒．①当时，如图所示，此时，∴；②当时，如图所示，此时，作于T点，∵，∴，在中，，∵，∴，，∴，在中，，即：，解得：；③当时，由于P在线段上运动，则的情况不成立，故舍去；综上，当或时，满足为等腰三角形；故答案为1或2.5．3．（2023上·江西抚州·八年级校考期中）在中，，，以为一边，在外部作等腰直角，则线段的长为．【答案】或或【分析】本题考查了勾股定理，化为最简二次根式，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．根据题意分类讨论，①，②，③，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可．【详解】解：①如图，当时，

，是等腰直角三角形，，；②如图，当时，过点作，交的延长线于点，

，，是等腰直角三角形，，又是等腰直角三角形在中，，，在中，，在中，，③如图，当时

，，是等腰直角三角形，，在中，在中，综上所述，的长为：或或．故答案为：或或4．（2023上·江西吉安·八年级统考阶段练习）如图，四边形是长方形，，，点是的中点，点在上，且，点沿运动，当为等腰三角形时，的长为．【答案】4或或【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的定义，先利用勾股定理求出，再分当点P在上且时，当点P在上且时，当点P在上且时，三种情况构造直角三角形利用勾股定理求解即可．【详解】解：由题意得，，∵点是的中点，∴，在中，由勾股定理得，如图所示，当点P在上且时，则，∴此时点D与点P重合，∴；如图所示，当点P在上且时，∴；如图所示，当点P在上且时，过点F作于G，∴（平行线间间距线段）设，则，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得，∴；综上所述，的长为4或或，故答案为：4或或．5．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．【理解概念】（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）【巩固新知】（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．【解决问题】（3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长．

【答案】（1）不是（2）的度数为或（3）的长为或【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解；（2）分两种情况求解，或，分别求解即可；（3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可．【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为，∴等腰三角形的两个底角度数分别为，，∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”；（2）∵是“准等边三角形”，，，∴分两种情况：当时，∴，∴；当时，∵，∴，∴°，∴；

………．综上所述：的度数为或；（3）∵，，，∴，，∵是“准等边三角形”，∴分两种情况：当时，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴；当时，过点D作，垂足为E，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，设，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；综上所述：的长为或．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题．【易错四求立体图形中两点距离最短时无法找到正确的展开方式】例题：（2023秋·广东揭阳·八年级惠来县第一中学校考阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为．【答案】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：①如图，连接，在中，，，由勾股定理得：，此时；②如图，连接，在中，，，由勾股定理得：；∵，∴从处爬到处的最短路程是．故答案为：【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论．【变式训练】1．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去受食，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，求其斜边即可．【详解】将台阶展开，得到一直角边长为，另一直角边为的直角三角形，所以最短距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了几何体的展开图，勾股定理，熟练掌握展开图，勾股定理是解题的关键．2．（2023春·山东青岛·八年级统考开学考试）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，，一滑板爱好者从U形池内侧的点A滑到点E，则他滑行的最短距离约为m．（取3）

【答案】【分析】要求滑行的最短距离，需将该U形池的侧面展开，进而根据两点之间线段最短，得出结论．【详解】解：U形池的侧面展开图如图：

由题意，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了最短路径问题，把U形池的侧面展开矩形，化曲面为平面是解题的关键．3．（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，已知，，且米，点P到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P离到点B，它的最短行程是米．【答案】【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将教室的墙面与地面展成一个平面，过P作于G，连接，在中，米，米，米，在中，米，米，（米）．故这只蚂蚁的最短行程应该是米．故答案为：．4．（2023上·四川成都·八年级校考期中）（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是；（2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？【答案】（）20；（）能，理由见解析．【分析】（）将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，分三种情况利用勾股定理求出长，再比较即可得到答案；（）利用两点之间线段最短及勾股定理的运用即可；此题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【详解】解：（）如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，

在中，由勾股定理得：；如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，

在中，由勾股定理得：；如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，

在中，由勾股定理得：，∵，∴蚂蚁爬行的最短路程是，故答案为：；2）如图所示：

由勾股定理得：，∴（米）＞，∴钢管能放进电梯．5．（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）课本再现如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．方法应用（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．（3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）【答案】（1）15；（2）（3）【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图．（1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可．（2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可．（3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两