解题技巧：矩形、菱形、正方形中折叠、旋转问题压轴题五种模型全攻略（原卷版）

专题07解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中折叠、旋转问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一矩形中的折叠问题】 1【考点二菱形中的折叠问题】 13【考点三正方形中的折叠问题】 20【考点四矩形、菱形、正方形折叠后求周长、面积问题】 28【考点五矩形、菱形、正方形中旋转问题】 36【典型例题】【考点一矩形中的折叠问题】例题：（2023上·江西九江·九年级统考期末）如图，在矩形中，将沿折叠，点D刚好落在对角线上的点F．(1)若，，求的长．(2)若，求证：．【变式训练】1．（2023上·山东菏泽·七年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（

）A．5 B． C． D．3．（2023上·山东东营·七年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为．4．（2024上·河南新乡·九年级统考期末）如图，在矩形中，，，是延长线上的一点，且，是边上的一个动点（点不与点，重合），将沿折叠，当点的对应点落在矩形任意一边所在的直线上时，的长为．5．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，，，点E是上一点.将沿折叠后，得到.点F在矩形内部，延长交于点G.

(1)如图①，当点E是中点时，求的长；(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证：；(3)如图③，在矩形中，当点F落在矩形对角线上时，的长是6．（2023上·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，如图1，将纸片折叠使落在边上，的对应点为，折痕为．如图2，再将以为折痕向右折叠，与交于点．(1)求的值；(2)四边形的面积为________；(3)如图3，将绕点旋转得到，点刚好落在上，的对应点为，的对应点为，则旋转的角度为________度；【考点二菱形中的折叠问题】例题：（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）如图，菱形中，，M为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在的中点E处，则．

【变式训练】1．（2023下·山西长治·八年级统考期末）如图，在菱形中，，将边沿折叠得到交于点，当为中点时，的大小为（

）

A． B． C． D．2．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校联考期中）如图，若菱形的面积为，，将菱形折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则cm．

3．（2022下·安徽六安·八年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．

（1）；（2）若点E是的中点，则的长为．4．（2023下·湖北十堰·八年级统考期末）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．【考点三正方形中的折叠问题】例题：（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）如图，已知在正方形中，，．将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为．

(1)求线段和线段的长；(2)连接，．【变式训练】1.（2023下·天津北辰·八年级校联考期中）如图，将正方形纸片折叠，使边均落在对角线上，得折痕，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2023上·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）如图，将边长为2的正方形折叠，使得点A落在的中点E处，折痕为，点F在边上，则．3．（2023上·江西吉安·九年级校考期中）如图，正方形纸片的边长为12，E是边上一点，连接，折叠该纸片，使点A落在上的点G，并使折痕经过点B，得到折痕，点F在上．若，则的长为．4．（2023上·四川成都·九年级校考期中）综合与实践（1）【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形内部的点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，求的正切值；（2）【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，连接交于点，若，求线段的长；（3）【迁移应用】如图3，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，点恰好在同一直线上，若点为的三等分点，，请求出线段的长．【考点四矩形、菱形、正方形折叠后求周长、面积问题】例题：（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中）如图，知形纸片，，，沿对角线折叠，点落到处，交于点，则的周长是．【变式训练】1．（2022上·吉林长春·九年级期末）如图①，小刚沿菱形纸片ABCD各边中点的连线裁剪得到四边形纸片EFGH，再将纸片EFGH按图②所示的方式分别沿MN、PQ折叠，当PNEF时，若阴影部分的周长之和为16，△AEH，△CFG的面积之和为12，则菱形纸片ABCD的一条对角线BD的长为．2．（2023下·浙江金华·八年级校考期中）如图1，菱形纸片的边长为，，将菱形沿，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线上的点P（如图2）．若，则六边形的面积为．

3．（2023上·河南周口·八年级校联考阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与重合，与重合，若长方形的长为8，宽为4，(1)求的长；(2)求阴影部分的面积．4．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，矩形，将矩形折叠使重合，折痕交于E，交于F，

(1)求证：四边形为菱形；(2)若，，求菱形的周长．5．（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）在中，，．

(1)如图1，将沿直线折叠，使点A的对应点F落在边上，求证：四边形是菱形；(2)如图2，若是矩形：①按（1）中操作进行，求证：四边形是正方形；②在矩形中折叠出一个菱形，并使菱形以为对角线且各个顶点都在矩形的边上，如图3，求菱形的面积．【考点五矩形、菱形、正方形中旋转问题】例题：（2023上·全国·九年级专题练习）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点．连接、．

(1)四边形是怎样的特殊四边形？证明你的结论；(2)若长为2，则的长为时，四边形为菱形．【变式训练】1．（2023上·广东珠海·九年级珠海市九洲中学校考期中）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转（旋转角小于90度）得到矩形．

(1)如图①，若在旋转过程中，点E落在对角线上，分别交于点M，N，①求证：；②求的长；(2)在旋转过程中，当旋转到如图②所示的情况，若直线经过线段的中点，连接，求的面积．2．（2021下·江苏南京·八年级统考期末）如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，．(1)求证：；(2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，．①如图②，当时，则线段的长度是多少？②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？3．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）【问题情境】已知四边形和四