第五章测量误差的基本知识

测量学第五章测量误差的基本知识

本章学习要点

1、测量误差概念（重点）；

2、评定精度的标准（重点）

3、误差传播定律（重点）；

4、等精度直接观测平差（难点）测绘工程系§

5-1测量误差概述5.1.1测量误差及其来源●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等。

●

测量误差的表现形式

●

测量误差（真误差

=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）三者共称为观测条件（观测条件好，测量精度就高，反之，精度就低）,观测条件一样叫等精度观测。否则~。1.粗差(错误)——超限的误差错误产生的原因：较多a.可能由作业人员疏忽大意、失职而引起。如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；b.可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；c.可能是容许误差取值过小造成的。

错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。测量误差分为：系统误差、偶然误差和粗差。5.1.2测量误差的种类例：误差处理方法

钢尺尺长误差

ld计算改正钢尺温度误差

lt

计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。系统误差产生的原因：

仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。5.1.2测量误差的种类●系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，必须消除。

(计算改正、观测方法、仪器检校)A、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。

例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。B、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;

例：前后视距相等——水准测量中i角误差对h的影响、球气差对h的影响及调焦所产生的影响。盘左盘右取均值——经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。水准测量往返观测取均值——仪器和尺垫下沉对h的影响。C、仔细检校仪器。

例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响5.1.2测量误差的种类3．偶然误差——从表面上看，观测误差的大小和符号均呈现偶然性。

偶然误差产生的原因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差

。偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。例如:

在某测区，等精度观测了217个三角形的内角之和，得到217个三角形闭合差

i(偶然误差，也即真误差)

，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。5.1.2测量误差的种类误差区间d△正误差负误差合计个数k频率k/n个数k频率k/n个数k频率k/n0″～3″3″～6″6″～9″9″～12″12″～15″15″～18″18″～21″21″～24″24″～27″27″以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.0460.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合计1080.4981090.5022171.0005.1.2测量误差的种类从表中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大误差不超过27″。偶然误差分布的表示方法：表格法（见课本84页）频率直方图正态分布曲线5.1.3偶然误差的特性a、频率直方图横坐标—以偶然误差为横坐标，纵坐标—以频率

d△(频率/组距)为纵坐标。在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积=误差出现在该区间的频率(Kn),而所有条形的总面积等于1。所有区间的矩形构成了直方图，如图所示。5.1.3偶然误差的特性b、正态分布曲线x=

y正态分布曲线

在直方图中：当n→∞，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。

正态分布曲线的方程式：式中、为常数；

=2.72828…sae令：，上式为：ax-=D)(()22221sspjaxex--=22221)(sspD-=D=efy5.1.3偶然误差的特性

特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性)：偶然误差的特性：[]0limlim21=D=D++D+D¥®¥®nnnnnL5.1.3偶然误差的特性误差理论研究的主要对象——偶然误差在测量的成果中：

错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。

●准确度(测量成果与真值的差异）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●测量平差（求解最或是值并评定精度）先了解几个概念:

●精（密）度（观测值之间的离散程度）衡量精度的指标主要有:方差、标准差、中误差、相对误差、极限（容许）误差、权、协方差等。§5-2评定精度的指标

标准差的数学意义

表示的离散程度x=

y较小较大上式中称为方差，称为标准差：正态分布密度函数1.方差与标准差:()()22221sspjaxex--=5.2.1中误差

测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。2.中误差:上式中，偶然误差为观测值

与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：

i=

i-

X观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：snn][limDD±=¥®snnmn][22221DD±=D++D+D±=L5.2.1中误差5.2.1中误差

m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：

m1=2.7是第一组观测值的中误差；

m2=3.6是第二组观测值的中误差。5.2.1中误差

——误差绝对值与观测量之比。

一般用于表示距离的精度。

用分子为1的分数表示。

分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。绝对误差:

有符号，并且有与观测值相同的单位的误差。（如真误差和中误差）

绝对误差主要用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。（如角度、方向等）

在某些测量工作中，如测距。绝对误差不能完全反映出观测的质量。5.2.2相对误差（相对中误差）

K2<K1，所以距离S2精度较高。例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。K1=——=——；K2=——=——100500020010000

0.0210.021解：5.2.2相对误差（相对中误差）根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d

内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|D=DD=DD-demdfPm22221)()(pò+-D-D=<DkmkmmdemkmP22221)(p5.2.3极限（容许）误差

在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。误差传播定律：

说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。间接观测量:

在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为间接观测量。

例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a和前视读数b来求得的：h=a－b。

间接观测量的误差：

由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此间接观测量——函数(h)也必然受到影响而产生误差。§5-3误差传播定律1.一般函数的中误差代入(b)得对(a)全微分：设有函数：令的系数为，(c)式为：ixDiixFf¶¶=为独立观测值ix设有真误差，函数

也产生真误差ixDZDZix由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：DZdzidxixD(a)),,,(21nxxxFZL=(b)nndxxFdxxFdxxFdZ¶¶++¶¶+¶¶=L2211(c)nnxxFxxFxxFD¶¶++D¶¶+D¶¶=DZL22115.3.1误差传播定律对Z观测了k次，有k个式对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）对K个(e)式取总和：(f)[][][][][]å¹=DD+D++D+D=DZnjijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122L(e)jijinnxxffxxffxxffxfxfxfDD++DD++DD+D++D+D=DZ2223131212122222221212LL(d))()(22)(11)()2()2(22)2(11)2()1()1(22)1(11)1(knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfD++D+D=DZD++D+D=DZD++D+D=DZLLLLLLLLL5.3.1误差传播定律(f)式两边除以K，得(g)式：由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：<<前面各项即(g)[][][][][]å¹=DD+D++D+D=DZnjijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222212122L[]0lim=DD¥®nxxjin[][][][]KxfKxfKxfKnn22222221212D++D+D=DZLL(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm+++=LL5.3.1误差传播定律上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。

通过误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：

1.列出函数式；

2.对函数式求全微分；

3.套用误差传播定律，写出中误差式。考虑，代入上式，得中误差关系式：iixFf¶¶=(6-10)2222222121nnZmxFmxFmxFm÷÷øöççè涶++÷÷øöççè涶+÷÷øöççè涶±=LL5.3.1误差传播定律2.几种常用函数的中误差

(1).倍数函数的中误差设有函数式(x为观测值，K为x的系数)

全微分得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ±=±===22例：量得地形图上两点间长度

=168.5mm

0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：1000:1l解：列函数式求全微分中误差式m2.0m5.168m2.0mm2002.01000100010001000±=\±=±=´=±==´=SmmddlSlSlS5.3.1误差传播定律(2).线性函数的中误差

解：对上式全微分：由中误差式得：设有函数式全微分中误差式nnxkxkxkZ±±±=LL2211nndxkdxkdxkdz±±±=LL22112222222121nnZmkmkmkm+++±=L例：设有某线性函数其中

、

、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。

314121491144xxxZ++=321xxxmm6,mm2,mm3321±=±=±=mmmZm314121491144dxdxdxdz++=()()()()()()mm6.1623214121492144233222211±=´+´+´±=++±=xxxZmfmfmfm5.3.1误差传播定律(3).算术平均值的中误差式

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。函数式全微分中误差式[]nnnnnllllx12111+++==LLlnnlnlnddddx12111+++=L21221211222nnnnxmmmm+++±=L由于等精度观测时，，代入上式：得mmmmn====LL21nmmnnmX±=±=221

由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

n5.3.1误差传播定律例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。ABhmm2±=mABhhm(4).和差函数的中误差当等精度观测时：上式可写成：函数式：全微分：中误差式：nxxxZ±±±=LL21ndxdxdxdz±±±=LL2122221nZmmmm+++±=Lmmmmmn=====L321nmmZ±=921hhhhAB+++=LLmm692±=±=±=nmmh5.3.1误差传播定律

解：

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

2222222121nnZmxFmxFmxFm÷÷øöççè涶++÷÷øöççè涶+÷÷øöççè涶±=LL),,,(21nxxxFZL=xxZKmmKmKxZ±=±==22nmmZ±=nxxxZ±±±=LL21nnxkxkxkZ±±±=LL22112222222121nnZmkmkmkm+++±=L[]nnnnnllllx12111+++==LLnmmX±=5.3.1误差传播定律在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为d=23.4

mm，其中误差md=±0.2

mm，求该两点的实际距离D及其中误差mD

。解：函数关系式：D=Md，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。两点的实际距离结果可写为：11.7m±0.1m。【例1】5.3.2误差传播定律的应用【例2】 水准测量中，已知后视读数a=1.734

m，前视读数b=0.476

m，中误差分别为ma=±0.002

m，mb=±0.003

m，试求两点的高差及其中误差。解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得两点的高差结果可写为1.258m±0.004

m。5.3.2误差传播定律的应用试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度基本公式：求全微分：水平距离中误差：其中：【例3】5.3.2误差传播定律的应用解:(2)测量高差的精度基本公式：求全微分：高差中误差：其中：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。【例3】5.3.2误差传播定律的应用

图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为mi=±2mm，假定视距平均长度为50m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段长度为Lkm的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。解:1)每站观测高差为：

2)每站观测高差的中误差：因视距平均长度为50m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：

L(km)高差和的中误差为：【例4】5.3.2误差传播定律的应用在第二章中，取作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。往返高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：(接上页)5.3.2误差传播定律的应用应用误差传播定律应注意以下两点：

(1)要正确列出函数式

例：用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为ml=±5mm，求全长D及其中误差mD。

a）函数式

按倍数函数式求全长中误差，将得出

b）实际上全长应是10个尺段之和，故函数式应为

用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。5.3.3应用误差传播定律时要注意的问题(2)在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。 如有函数式：而：

若已知x的中误差为mx，求Z的中误差mz。直接用公式计算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得

（上面所得的结果是错误的）5.3.3应用误差传播定律时要注意的问题因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。5.3.3应用误差传播定律时要注意的问题多余观测:对一个未知量，进行重复观测。多余观测目的

:提高观测成果的质量，发现和消除错误。有一个多余观测，就会产生一个矛盾（闭和差），消除矛盾的过程，称为测量平差。直接观测平差:重复观测产生了观测值之间互不相等这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进行评估，即对一个未知量的直接观测值进行平差.根据观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。先明确一些概念§5-4等精度直接观测平差－－等精度直接观测值的最或是值就是各观测值的算术平均值。观测值的算术平均值(最或然/是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值

1,2,···,n,则该量的算术平均值为：[]nlnlllLn=+++=L215.4.1等精度直接观测平差的最或然值当观测无限多次时：

得

当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X两边除以n：由[][]nXl-=D[][]XLXnln-=-=D[]0)(limlim=-=D¥®¥®XLnnnXnln=¥®][lim5.4.1等精度直接观测平差的最或然值等精度观测值的中误差计算方法

a．由真误差来计算当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。b．由改正数（最或然值误差v）来计算

在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。5.4.2评定精度观测值的改正数:最或然值x与各观测值

i之差，其表达式为:

在等精度直接观测中，最或然值x即是各观测值的算术平均值。即

显然

式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。x=

nVi=x-

i(i=1,2,···,n)5.4.2评定精度比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，由改正数来计算等精度观测值的中误差(白塞尔公式)：1][-±=nvvm即在与中：nmnvvm][1][DD±=-±=1][][-=DDnvvn5.4.2评定精度证明如下：真误差：改正数：对上式取n项的平方和由上两式得其中:1][][-=DDnvvnnnnnlxvlXlxvlXlxvlX-=-=D-=-=D-=-=DLLLL222211115.4.2评定精度中误差定义:白塞尔公式:5.4.2评定精度最或然值的中误差

一组等精度观测值为l1、l2、…ln，其中误差均相同，设为m，最或然值x（算术平均值）的中误差M为：x=

n5.4.2评定精度解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。次数观测值VVV备注176

42

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