数字图像处理与深度学习技术应用教材配套课件 第10章 图像频域变换处理

第10章图像频域变换处理目录10.1图像频域变换10.1.1图像傅里叶变换10.1.2图像快速傅里叶变换10.1.3图像离散余弦变换10.1.4图像频域变换10.2频域低通滤波10.2.1理想低通滤波10.2.2梯形低通滤波10.2.3布特沃斯低通滤波10.2.4指数低通滤波10.3频域高通滤波10.3.1理想高通滤波10.3.2梯形高通滤波10.3.3布特沃斯高通滤波10.3.4指数高通滤波

10.1图像频域变换10.1.1图像傅里叶变换频域世界正弦波的振幅A、频率和相位φ

概述频域世界概述任意波形：可分解为正弦波的加权和。复杂函数：可用简单的正弦和余弦函数表示。(a)幅频特性；(b)相频特性频域世界概述图像变换：图像从空域变换到其它域（如频域）的数学变换。图像变换的作用

1.方便处理

2.便于抽取特性图像变换1.傅立叶变换FourierTransform2.离散余弦变换DiscreteCosineTransform常用的变换若f(x)为一维连续实函数，傅里叶变换可定义为：傅立叶逆变换定义如下：一维傅立叶变换要解决两个问题：1）在数学中进行傅立叶变换为连续模拟信号，计算机处理是数字信号（图像数据）；2）数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。

离散傅立叶变换离散傅立叶正变换:离散傅立叶逆变换:一维离散傅立叶变换F(u)可以表示为如下形式：|F(u)|：F(u)的模，傅立叶谱。：F(u)的相角。一维离散傅立叶变换函数f(x)的能量谱或功率谱：一维离散傅立叶变换傅立叶变换的F(u)的值由f(x)函数所有值的和组成.f(x)的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域（u的值）称为频率域，因为u决定了变换的频率成分.一维离散傅立叶变换傅立叶变换可看成“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分.使我们能够通过频率成分来分析一个函数。二维傅立叶正变换:二维傅立叶逆变换:二维傅立叶变换二维离散傅立叶正变换

二维离散傅立叶逆变换二维傅立叶变换二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相位谱和能量谱（功率谱）：二维傅立叶变换原点处的傅立叶变换等于平均灰度级.当u=0,v=0时二维傅立叶变换在离散傅立叶变换中,函数f(x)中x的取值不一定是[0,M-1]中的整数值,而是任意选取的等间隔点.u总是从0频率开始傅立叶变换（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。（2）可以将卷积运算化为乘积运算。（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。傅立叶变换作用

傅里叶变换在数学上需要满足如下狄利克莱条件：

(1)具有有限个间断点；

(2)具有有限个极值点；

(3)绝对可积。傅立叶变换条件

共轭对称性加法定理位移定理相似性定理卷积定理能量保持定理傅立叶变换性质傅立叶变换性质傅立叶变换性质傅立叶变换—加法定理一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱傅立叶变换—相似定理若引入极坐标f(x,y)和F(u,v)变成傅立叶变换—旋转不变性时域中离散函数旋转θ角度，离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。例如旋转45度。(a)(b)(d)(c)傅立叶变换—旋转不变性傅立叶变换—能量保持定理变换函数与原函数有相同的能量：当用乘以f(x，y)，再进行乘积的离散傅里叶变换，可使空间频率域u-v平面坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。傅立叶变换—平移性傅立叶变换—平移性

傅立叶变换的原点(即F(0,0))移到中心点（u=M/2,v=N/2）：在进行傅立叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数，为确保移动后的坐标为整数，要求M,N为偶数。傅立叶变换—平移性

(a)原图(b)平移前的傅立叶变换(c)平移后的傅立叶变换傅立叶变换—平移性傅立叶变换—可分离性二维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换完成，即第一次先对y进行一维傅立叶变换。在此基础上对x进行一维傅立叶变换傅立叶变换—可分离性傅立叶变换—可分离性

若已知频率二维序列F(u，v)，则二维可分离性对傅立叶逆变换同样适应，分解为两次一维傅立叶变换。

傅立叶变换—可分离性傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：傅立叶变换—周期性傅立叶变换—共轭对称性傅立叶变换—微分性平均值性质如下：即：

结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶变换在频率原点处值的1/MN。傅立叶变换—平均值性卷积定理：M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积：傅立叶变换—卷积定理Fourier变换系数：表示各个频率点上的幅值。变换后的图像：中间部分为低频部分，反映景物概貌的特性，越靠外边频率越高，反映细节。可以在Fourier变换图中，选择需要高频或是低频滤波进行滤波。傅立叶变换在图像中的应用直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘积。傅立叶变换在图像中的应用小结傅里叶变换可以看作数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分，使时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。通过傅里叶变换，可以得出信号在各个频率点上的强度

图10-1正弦波

图10-2复杂信号小结

图10-3复杂信号的傅里叶变换（1）一维傅里叶变换

（2）傅里叶逆变换

小结(3）二维傅里叶正变换

（4）二维傅里叶逆变换

在数字图像处理中，图像取样一般是方阵，即，则二维离散傅里叶变换公式为：

二维离散傅里叶反变换公式为：

图10-3复杂信号的傅里叶变换（1）一维傅里叶变换（10-1）（2）傅里叶逆变换（10-2）函数说明（1）retval=cv2.dft(src,flags)该函数是OpenCV中用来实现傅里叶变换的函数。参数：retval：返回值，是双通道的，第一个通道的结果是虚数部分，第二个通道的结果是实数部分；src：输入图像，需要转换格式为np.float32，可以为实数矩阵，也可以为复数矩阵；flags：转换标志，通常为cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT，对一维或二维实数数组进行正变换，输出一个同样尺寸的复数矩阵；cv2.DFT_REAL_OUTPUT，对一维或二维复数数组进行反变换，通常输出同样尺寸的复矩阵；（2）retval=cv2.magnitude(x,y)该函数是在OpenCV中用于求取传入数据平分和的平方根，即；retval:：计算结果；x、y：传入的数据。效果展示图10-4二维离散傅里叶变换效果图10.1.3图像离散余弦变换

一维DCT定义如下：设{f(x)|x=0,1,…,N-1}为离散的信号列。式中，u,x=0,1,2,…,N－1。

一维离散余弦变换（DCT）

一维DCT的逆变换IDCT定义为

式中，

x,u=0,1,2,…,N－1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。一维离散余弦变换（DCT）

二维DCT定义如下：二维离散余弦变换（DCT）式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0,1,2,…,N－1。

二维DCT逆变换定义如下：二维离散余弦变换（DCT）通常根据可分离性，二维DCT可用两次一维DCT来完成，其算法流程与DFT类似，即二维离散余弦变换（DCT）余弦函数：是一种可分离的变换。DCT除了具有一般的正交变换性质外，基向量能很好地描述语音和图像信号的相关特征，被认为是一种准最佳变换。视频压缩编码的国际标准把DCT作为其中的一个基本处理模块。离散余弦变换（DCT）DCT的频谱分布与DFT相差一倍。对于DCT而言，(0,0)点对应于频谱的低频成分，(N-1,N-1)点对应于高频成分，而同阶的DFT中，频谱图中未作频谱中心平移，(N／2,N／2)点对应于高频成分。二维离散余弦变换（DCT）

(a)原图(b)离散余弦变换效果图二维离散余弦变换（DCT）小结离散余弦变换（DiscreteCosineTransform，DCT）利用离散余弦变换对数据信息强度的集中特性，将数据中视觉上容易察觉的部分与不容易察觉的部分进行分离，达到有损压缩的目的。仅用少数几个变换系数就可表征信号的整体（1）一维离散余弦变换

小结（2）二维离散余弦变换

其离散余弦反变换由下式表示：

函数说明retval=cv2.dct(src，flags)，该函数是OpenCV中计算离散余弦变换的函数。retval：输入大小；Src：单通道浮点型输入；Flags：有两种，DCT_ROWS（按行变换）和DCT_INVERSE（逆变换），不做设置时表示普通的正向变换。效果展示图10-8离散余弦变换效果图10.1.2图像快速傅里叶变换(1)开辟存储空间用以保存加权系数Wi及中间变量。(2)采用分解法进行蝶形运算。(3)重新排列序列顺序。(4)释放存储空间。快速一维傅立叶变换实现步骤(1)获取原图像的数据区首地址、高和宽。(2)计算进行傅里叶变换的宽度和高度，这两个值必须是2的整数次方。计算变换时所用的迭代次数，包括水平方向和垂直方向。(3)行列顺序依次读取数据区的值，存储到开辟的复数存储区。(4)调用一维快速傅里叶变换函数进行垂直方向的变换。(5)转换变换结果，将垂直方向的变换结果转存回时域存储区。(6)调用一维傅里叶变换函数，在水平方向上进行快速傅里叶变换（步骤同上1—4）。二维傅立叶变换实现步骤①计算离散余弦变换点数。②对时域空间进行延拓。③将时域点写入已开辟存储空间。④调用一维快速傅里叶变换。⑤调整系数。⑥转换变换结果，将变换结果转存回时域存储区一维离散余弦变换（DCT）①获取复制来的数据区首地址、高度和宽度。②计算进行离散余弦变换的宽度和高度，这两个值必须是2的整数次方；计算变换时所用的迭代次数，包括水平方向的和垂直方向的。③依行列顺序依次读取数据区的值，存储到开辟的复数存储区。④调用一维离散余弦变换函数进行垂直方向的变换。⑤调用一维离散余弦变换函数，在水平方向上进行离散余弦变换。⑥将计算结果转换成可显示图像。二维离散余弦变换（DCT）函数说明（1）Numpy中的FFT（快速傅里叶变换）包提供了函数np.fft.fft2()，可以对信号进行快速傅里叶变换。retval=numpy.fft.fft2(a,s=None,axis=(-2,-1),norm=None)retval：返回值；a：输入数组；s：整数序列，可选，表示输出的变换轴的长度axis：整数序列，可选，计算FFT的轴，如果未给出，则使用最后一个轴。norm：{“backward”,“ortho”,“forward”}，可选，默认为“backward”，指示前向/后向变换对的哪个方向被缩放以及使用什么归一化因子。（2）retval=numpy.fft.fftshift(x,axes=None)该函数将图像中的低频部分移动到图像的中心。retval：返回移位的数组；x：输入数组；zxes：要计算的轴，默认为“无”，这会移动所有轴。效果展示图10-7快速傅里叶变换效果图10.2图像频域变换图像频域变换则是将图像从空间域进行傅里叶变换于频域，检测和研究图像频域特性，并进行滤波处理，最终将处理后的频谱经傅里叶逆变换恢复图像于空间域，

图10-9频域滤波系统图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪声，更多情况下是两者的混合；低频分量：图像变化平缓的部分；高通滤波器：低频分量抑制，高频分量通过；低通滤波器：高频分量抑制，低频分量通过；带通滤波器：某一部分频率信息通过，其他的过低或过高频率都抑制；模板运算与卷积定理：时域卷积等价于频域乘积。1）（-1）x+y乘以图像进行中心平移；2）计算DFT-》F（u，v）;3）用滤波函数H（u，v）乘以F（u，v）；4）反DFT变换；5）用（-1）x+y乘以反DFT变换的实部.频域滤波过程简介H(u,v)被称为滤波器：在变换中抑制某些频率而其他频率不受影响。输出图像：被滤波的图像可以通过傅立叶反变换得到:频域滤波过程在傅立叶变换中,低频：为了显示平滑区域中总体灰度级，采用低通滤波器。高频：为了突出显示决定图像细节部分,如边缘和噪声，采用高通滤波器。频域滤波

(a)原图

(b)理想低通滤波(c)布特沃斯低通滤波(d)指数低通滤波(e)梯形低通滤波频域低通滤波

（a）原图(b)理想高通滤波(c)布特沃斯高通滤波(d)梯形高通滤波频域高通滤波

用F(u,v)和H(u,v)分别表示f(x,y)和h(x,y)的傅立叶变换,空域滤波与频域滤波的对应关系滤波在频域中更为直观。空间域和频率域中的滤波器组成了傅立叶变换对.给出在频率域的滤波器,进行反傅立叶变换而得到在空间域相应的滤波器,反之亦然.

空域滤波与频域滤波的对应关系指定的频率域滤波器和空间域滤波器具有相同的尺寸.如果两个滤波器具有相同尺寸,通常在频率域进行滤波计算更为有效.空间域更适用于更小的滤波器.可以在频率域指定滤波器,做反变换,然后在空间域使用结果滤波器作为在空间域构建更小的滤波器模板的指导.空域滤波与频域滤波的对应关系

频率域高斯滤波函数:对应的空间域滤波器:两个函数组成傅立叶变换对,成分均为实高斯函数,非常有助于分析。

两个函数相互作用:空域滤波与频域滤波的对应关系空域滤波与频域滤波的对应关系频域高斯低通滤波器相应的空间低通滤波器频域高斯高通滤波器相应的空间高通滤波器频率域滤波器越窄,滤除低频成分越多,图像越模糊.频率域可以看成一个实验室,一些在空间域直接表述非常困难、甚至是不可能的增强任务在频率域中变得非常普通。一旦通过频率域实验选择了空间滤波，通常实际实施都在空间域进行。空域滤波与频域滤波的对应关系10.2频域低通滤波频域低通滤波理想低通滤波器梯形低通滤波器布特沃斯低通滤波器指数低通滤波器低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价，减少干扰效果的修饰过程.10.2.1理想低通滤波9.3.1理想低通滤波器在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率被完全衰减掉。频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)滤波器的径向横截面理想低通滤波器截止频率：H(u,v)=1和H(u,v)=0之间的过渡点.理想低通滤波器(1)获取原图像首地址、高、宽、每行的字节数。(2)以二倍于图像字节数多一的大小开辟存储空间。(3)依据从对话框输入的参量来计算截止频率的值。(4)将像素值依次存入新的存储空间（只存于下标是奇数的节点），即给时域赋值。(5)计算传递函数的每一个离散值。(6)对复制的图像进行FFT。(7)将变换后的结果与传递函数进行卷积运算。(8)进行二维傅里叶反变换。(9)将最大值定义为归一化因子，以便调整系数。(10)将结果转换成图像以便显示。实现步骤效果对比图小结理想低通滤波器：

图10-10理想低通滤波器传递函数的剖面图函数说明（1）retval=image.ndim()，该方法用于查看图像维度，彩色图像的维度为3，灰度图像的维度为2。retval：返回图像的维度；image：输入的图像。（2）retval=numpy.fft.ifftshift(x,axes=None)，该函数将图像中的低频和高频部分移动到图像原来的位置。retval：返回移位的数组；x：输入数组；axes：要计算的轴。默认为无，这会移动所有轴。（3）retval=numpy.fft.ifft2(a,s=None,axes=(-2,-1),norm=None)，该函数通过快速傅里叶变换计算二维离散傅里叶变换在M维阵列中任意轴上的逆变换。Retval：返回值；A：输入数组；S：整数序列，可选，输出的形状；Axes：整数序列，可选，计算FFT的轴；Norm：{“backward”，“ortho”，“forward”}，可选。函数说明（4）retval=numpy.real(arr)，该函数返回复杂参数的实部。retval：复杂参数的实部；arr：输入的数组。（5）retval=numpy.clip(m,min,max)，该函数将把数组m中的值缩放到[min,max]之间。数组中小于min的值将被min代替；同理，大于max的值将被max代替。m：输入的数组；min：最小值；max：最大值。（6）retval=nump.arange([start,]stop,[step,]dtypt=None)，该函数返回一个有终点和起点的固定步长的排列数组。start：起点值，可忽略不写，默认从0开始；stop：终点值，生成的元素不包括结束值；step：步长；可忽略不写，默认步长为1；dtype：默认为None，设置显示元素的数据类型。效果展示低通滤波器对高频分量抑制，从而对图像的边缘进行平滑模糊处理。

图10-11理想低通滤波器处理效果图10.2.2梯形低通滤波小结梯形低通滤波器传递函数：梯形低通滤波器的传递函数的剖面图

梯形低通滤波器梯形滤波器的处理效果是介于理想低通滤波器和具有平滑过渡带滤波器之间。效果对比图效果展示布特沃斯低通滤波器对高频分量平滑抑制，从而对图像的边缘进行模糊处理。10.2.3布特沃斯低通滤波小结n阶的布特沃斯低通滤波器的传递函数：同理想低通滤波一样，为截止频率且其值为：。

布特沃斯低通滤波器通带与阻带之间没有明显的跳跃，有一个平滑过渡带。图像模糊程度会大大减少。经它处理的图像将不会有振铃现象产生。BLPF变换函数在通带与被滤除的频率之间没有明显的截断.截断频率的位置位于H(u,v)=0.5的点，一阶的BLPF无振铃,二阶中振铃通常很微小,但阶数增高时振铃便成为一个重要因素.巴特沃思低通滤波器---(BLPF)效果对比图效果展示布特沃斯低通滤波器对高频分量平滑抑制，从而对图像的边缘进行模糊处理。10.2.4指数低通滤波小结指数低通滤波器：式中，截止频率的含义与前两个滤波器相同；n是决定衰减率的系数，若D(u,v)=D0

则H(u,v)

=1/e。指数低通滤波器的传递函数径向剖面图如图10-16所示。

图10-16指数低通滤波器的传递函数径向剖面图指数低通滤波器109式中的n是决定衰减率的系数与BLPF处理的图像相比，要模糊一些；由于在其传递函数中也有较平缓的过渡带，所以图像中没有振铃现象出现。效果对比图效果展示指数低通滤波器对高频分量平滑抑制，从而对图像的边缘进行模糊处理。

图10-17指数低通滤波处理效果图

(a)原图

(b)理想低通滤波(c)布特沃斯低通滤波(d)指数低通滤波(e)梯形低通滤波频域低通滤波确定截止频率方法：计算包含图像总功率值PT特定量的圆环.对于不同的低通滤波器,通过研究其在具有相同的时所表现的不同特性来进行比较。图像总功率值:低通滤波器根据对保留能量的要求，确定某种滤波器的截止频率，进行比较，选择一种滤波器。D0=5,15,30,80,130β=91.3,94.6,96.4,99,99.5原点在频率矩形的中心、半径为r的圆，包含的功率为：低通滤波器10.3频域高通滤波10.3.1理想高通滤波小结一个理想高通滤波器：

图10-18理想高通滤波传递函数的剖面图

理想高通滤波器相对于理想低通滤波器，将以D0为半径的圆周内的所有频率置零,而毫不衰减地通过圆周外的任何频率.IHPF通用具有振铃性质滤波器编程if((sqrt(i*i+j*j))<=d0)H[2*j+(2*lLineBytes)*i+1]=0.0;elseH[2*j+(2*lLineBytes)*i+1]=1.0;H[2*j+(2*lLineBytes)*i+2]=0.0;

效果对比图函数说明(1)retval=numpy.multiply(x1,