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文档简介

6.2相关知识6.2.2逻辑代数的基本概念、公式和定理总目录下页下页上页首页6.2.2逻辑代数的基本概念、公式和定理

1.三种基本逻辑关系(1)基本概念1)逻辑常量与变量:逻辑常量只有两个,即0和1,用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样,也可以用字母、符号、数字及其组合来表示,但它们之间有着本质区别,因为逻辑变量的取值只有两个,即0和1,而没有中间值。

2)逻辑运算:在逻辑代数中,有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种,如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

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3)逻辑函数:逻辑函数是由逻辑变量、常量通过运算符连接起来的代数式。同样,逻辑函数也可以用表格和图形的形式表示。

4)逻辑代数:逻辑代数是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统。逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础,也是数字电路分析和设计的关键。

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(2)“与”运算

“与”运算又叫“逻辑乘”,它所对应的逻辑关系为:只有当一件事情(灯L亮)的几个条件(开关A与B都接通)全部具备之后,这件事情才会发生,这种关系称与运算。

下页上页首页用如图6-1所示开关串联控制电路来描述“与”逻辑关系。设开关A、B闭合为1,打开为0;灯Y亮为1,灭为0。Y是A、B的函数,当且仅当A=B=1(都闭合)时,Y才等于1(亮),真值表如表6-4所示。

图6-1开关串联控制电路表6-4与运算真值表

下页上页首页根据表6-4可以得出与运算逻辑表达式为:Y=A·B逻辑符号如图6-2所示。

(a)曾用符号(b)国际符号图6-2与运算逻辑符号表6-4与运算真值表

下页上页首页(3)“或”运算“或”运算又称为“逻辑加”,它所对立的逻辑关系为:当一件事情(灯L亮)的几个条件(开关A、B接通)中只要有一个条件得到满足,这件事就会发生,这种关系称为或运算。下页上页首页用如图6-3开关并联控制电路来描述“或逻辑”关系。设开关A、B闭合为“1”状态,打开为“0”状态;灯Y亮为“1”状态,灭为“0”状态。当A=1或B=1或A=B=1,灯都会亮。真值表同表6-5所示。

图6-3并联控制电路表6-5或运算真值表下页上页首页表6-5或运算真值表根据表6-5可以得出或运算逻辑表达式为:Y=A+B逻辑符号如图6-4所示。

(a)常用符号(b)国际符号图6-4或运算逻辑符号下页上页首页

(4)“非”运算“非”运算又称求反运算。它所对应的逻辑关系为:一件事情(灯亮)的发生是以其相反的条件为依据。这种逻辑关系为非运算。

下页上页首页用如图6-5灯与开关并联电路来描述“非”逻辑关系。设A闭合为1状态,打开为0状态;灯Y亮为1状态,灯灭为0状态。当A等于1时,灯被旁路,Y=0;而A等于0时,电流流过灯,Y=1。真值表同表6-6所示。

图6-5灯与开关并联电路表6-6或运算真值表下页上页首页表6-6或运算真值表

根据表6-6可以得出非运算逻辑表达式为:逻辑符号如图6-6所示。

(a)常用符号(b)国际符号图6-6非运算逻辑符号下页上页首页2.逻辑代数的基本公式(1)常量之间的关系

因为逻辑变量的取值是0和1,而逻辑代数中只有0和1两个常量,最基本的逻辑运算是与、或、非三种,因而常量之间的关系也只有与、或、非三种。

公式1:0·0=0

公式2:0·1=0

公式3:1·0=0

公式4:1·1=1

公式5:0+0=0

公式6:0+1=1

公式7:1+0=1

公式8:1+1=1

公式9:

公式10:

下页上页首页(2)常量和变量之间的关系

公式11:A·1=A

公式12:A·0=0

公式13:A+1=1

公式14:A+0=A

公式15:

公式16:

公式17:A+A=A

公式18:A·A=A

公式19:

公式20:

公式21:

公式22:

公式23:

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(3)逻辑代数的基本定律0-1律:A·1=AA+0=AA·0=0A+1=1

交换律:A·B=B·AA+B=B+A

结合律:(A·B)·C=A·(B·C)(A+B)+C=A+(B+C)

分配律:A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)

互补律:

重叠律:A·A=AA+A=A

反演律(德·摩根定理):

吸收律:A·(A+B)=AA+A·B=A(A+B)·(A+C)=A+BC

还原律:

需要注意的是,上述基本公式只反映逻辑关系,而不是数量之间的关系,因此,初等代数中的移项规则不能使用。可根据逻辑代数基本运算规则从上述定律中可以得到更多的公式,从而扩充基本定律的使用范围。下页上页首页3.逻辑代数的基本运算规则(1)代入规则在任何逻辑等式中,如果等式两边所有出现某一变量的地方,都代之以一个函数,则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。利用代入规则可以扩展公式和证明恒等式,从而扩大了等式的应用范围。下页上页首页

例6-7

证明:

证:因为

若用Y=B·C根据代入规则,

则有

所以

下页上页首页(2)反演规则

对于任何一个逻辑函数式Y,若将式中所有的“·”换成“+”,“+”换成“·”,0换成1,1换成0,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么所得到的结果为

。这一规则称为反演规则。利用反演规则可以很方便的求出一个逻辑函数的反函数。在使用反演规则时应保持原来的运算顺序,而且不属于单个变量上的反号保持不变。

在使用反演规则求反函数时,应需要注意的问题

注意运算的顺序:先括号,再与,再或;不是一个变量上的反号保持不变。

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例6-8

的反函数。解:根据反演规则

下页上页首页(3)对偶规则对于任何一个逻辑函数式Y,若将式中所有的“·”换成“+”,“+”换成“·”,0换成1,1换成0,就可以得到一个新的逻辑式Y´,则Y和Y΄互为对偶式.如果两个逻辑式相等,那么它们的对偶式也一定相等,这就是对偶规则.利用对偶规则可以证明恒等式。

例6-9求

的对偶式

解:根据对偶规则

下页上页首页4.逻辑代数的复合运算复合逻辑运算是

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