数学学案：例题与探究不等式的实际应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图3—4-1所示）,由于地形限制，长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价.图3-4-1思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x米，则宽为米（0＜x≤16,0＜≤16)，∴12。5≤x≤16.于是总造价Q（x）=400（2x+2·）+248·2·+80×200=800(x+）+16000≥800·+16000=44800。当且仅当x=（x＞0）,即x=18时等号成立,而18［12.5,16］，∴Q（x)＞44800。下面研究Q（x）在[12。5，16］上的单调性.对任意12.5≤x1＜x2≤16，则x2-x1＞0，x1·x2＜162＜324。Q（x2）-Q（x1）=800[(x2—x1）+324（）]=800·＜0。∴Q(x2)＜Q(x1）。∴Q（x）在［12。5,16］上是减函数.∴Q(x）≥Q(16）=45000。答：当污水处理池的长为16米,宽为12。5米时,总造价最低，最低造价为45000元.绿色通道：解答应用题四步法：(1）读题;（2)建模；（3）求解；(4）评价。在解决函数、不等式综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能。因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件。黑色陷阱:如果忽视函数的定义域，就会导致运用均值不等式求最值时,不判断等号能否成立的条件，从而得到最低总造价为44800元.变式训练甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v（km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元.（1)把全程运输成本y(元)表示为v（km/h）的函数,并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解法一：(1)依题意，知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv2·=s(+bv).∴所求函数及其定义域为y=s（+bv），v∈（0，c］.(2）依题意知，s、a、b、v均为正数，∴s（+bv)≥.①当且仅当=bv,即v=时，①式中等号成立.若≤c，则当v=时，有ymin；若＞c，则当v∈(0,c]时，有s（+bv)—s（+bc）=s［(—)+（bv-bc）］=(c—v）(a—bcv）.∵c-v≥0,且a＞bc2,∴a—bcv≥a-bc2＞0。∴s（+bv)≥s(+bc)，当且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，有ymin.综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时,行驶速度应为v=；当＞c时,行驶速度应为v=c。解法二：(1)同解法一。(2）∵函数y=x+(k＞0）,x∈（0,+∞），当x∈（0,）时y单调减小，当x∈（，+∞）时y单调增加，当x=时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=sb(v+),v∈（0,c］。∴当≤c时，则当v=时，y最小，若＞c时，则当v=c时，y最小。结论同上。例2某地区上年度电价为0。8元／kW·h,年用电量为akW·h.本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0。75元／kW·h之间，而用户期望电价为0。4元／kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为ｋ）。该地区电力的成本价为0。3元／kW·h。（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;（2)设ｋ=0。2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％？〔注：收益=实际用电量×（实际电价—成本价）〕思路分析:(1）关键是弄清“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比"，并用式子表示出来。（2）在（1)的基础上解不等式。解：(1）设下调后的电价为x元／kW·h，依题意,知用电量增至+a，电力部门的收益y=（+a)（x-0。3）（0。55≤x≤0。75).（2）依题意，有整理得解此不等式,得0.60≤x≤0.75。所以当电价最低定为0。60元／kW·h时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。变式训练1有一批影碟机(VCD）原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75％销售。某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？思路分析：根据题意，首先要找出两个商场的花费与购买量的函数关系式，然后建立差价与台数的函数，通过解不等式来确定大小。解：设某单位需购买x台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为y，当800-20x≥440,即1≤x≤18时,去甲商场购买共花费（800-2x)x,当x＞18时，花费440x。去乙商场购买共花费600x,x∈N+,∴y=故若买少于10台,去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.变式训练2某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求,准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划方案，需要研究以下问题：（1）若按原计划填湖造地，水面的减少必然导致蓄水能力的下降,为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每亩b元费用外，还需要增加排水设备费用，所需经费与当年所填湖造地面积x(亩)的平方成正比,其比例系数为a，又知每亩地面的年平均收益为c元（其中a、b、c均为常数），若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值.（2）如果以每年1％的速度减少填湖造地的新增面积,并为了保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几？思路分析:收益不小于支出的含义就是收益与支出的差不小于0，因此本题变成一个解不等式问题,当然本题中都是字母给出的量，所以要对结果进行分类讨论。解:（1）收益不少于支出的条件可以表示为cx-（ax2+bx）≥0.所以ax2+（b-c）x≤0，x［ax—（c-b）］≤0.当c-b≤0时，≤x≤0，此时不能填湖造地；当c—b＞0时，0≤x≤,此时所填面积的最大值为亩。（2）设该县的现有水面为m亩，今年填湖造地的面积为x亩，则x+(1-1％）x+（1—1％)2x+…≤,不等式左边是无穷等比数列的和，故有≤,即x≤=0.25%m，所以今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的0.25%。例3如图3—4-2，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a、b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？图3—4-2思路分析：一种方法是建立在函数的思想上，求函数的值域。另一种方法重在思考a+2b与ab的关系,结合均值不等式求解.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即求使y值最小时的a、b的值.根据题设,有4b+2ab+2a=60（a＞0,b＞0)，得b=(0＜a＜30).①于是y=≥.当a+2=时取等号，y达到最小值。这时a=6,a=-10（舍去）。将a=6代入①式,得b=3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二:依题意，知所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60(a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）.∵a+2b≥，∴≤30，当且仅当a=2b时,上式取等号。由a＞0，b＞0,解得0＜ab≤18，即当a=2b时,ab取得最大值，其最大值为18.∴2b2=18。解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。绿色通道：求最值或者取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求.均值不等式也是求最值的重要方法,尤其是出现和与积的形式时，常把所求的量放在不等式中去考察。黑色陷阱:解法一建立函数时忽视函数的定义域。变式训练若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是______________。思路解析:思考a+b与ab的关系,联系均值不等式求解,或建立在函数的思想上，求函数的值域。方法一：令=t（t＞0）,由ab=a+b+3≥，得t2≥2t+3.解得t≥3,即≥3。故ab≥9.方法二：由已知,得ab—b=a+3,b（a-1)=a+3,∴b=(a＞1）。∴ab=a=［（a—1）+1］=a+3+=a-1+4++5≥。当且仅当a—1=时取等号,即a=b=3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是［9，+∞）。答案：［9,+∞)问题探究在均值不等式、不等式的实际应用中，不少问题是以函数f（x）=ax+（a＞0,b＞0)为模型进行讨论的，因此对函数f(x）=ax+（a＞0，b＞0）的性质要熟练掌握。问题如何应用这个函数的性质、均值不等式求最值？导思:研究函数的性质需从定义域、值域、