数学学案：例题与探究不等关系与不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精典题精讲例1若a＞b（ab≠0），试比较与的大小。思路分析：不等式两边同乘以(或除以)一个不等于零的代数式时,要考虑此式的正负.利用分类讨论思想进行讨论，也可以直接作差，比较作差后的式子与0的大小关系,或者考虑函数y=的单调性.解法一：当ab＞0时，＞0,所以a×＞b×＞.当ab＜0时,＜0，所以a×＜b×＜。解法二：-=.因为a＞b,所以b＜ab-a＜0。所以,当ab＞0时,＜0,即-＜0。当ab＜0时，＞0,即—＞0＞。解法三：函数y=在区间（—∞,0)和（0,+∞)都是单调递减的,当a＞b＞0或a＜b＜0时,;当a＞0＞b时，＞。黑色陷阱:本题很容易有这样的误解：一个数越大,则倒数越小，而由以上例题的结论，知这个结论只有在两个数同号的时候才是成立的；在解决这类问题时还要注意,同时乘以一个数(或式子）要考虑所乘的数（或式子）的正负来决定相乘后是否改变符号。变式训练已知a＞b,不等式(1)a2＞b2，(2)＞,（3)＞成立的个数是（）A。0B。1C.2思路解析:严格的按照不等式的性质比较大小,也可以通过举例，进行排除.(1)非负数两边才能平方,原来大的仍大，如a=1，b=—3时,a2＜b2。(2）需考虑的符号,当a＞b＞0时，.(3)-的符号不确定，所以也不能确定与的大小.答案:A例2已知a、b∈R，求证:a4+b4≥a3b+ab3。思路分析：本题可以采用作差法,然后对作差后的式子进行整理,比较与0的大小,由于本题比较复杂,主要是次数较高,所以，首先提取公因式，降次后再进行整理.证明：(a4+b4）—（a3b+ab3）=a3（a-b)+b3（b—a）=（a-b）(a3—b3）=(a-b）2(a2+ab+b2）=(a—b）2[(a+）2+b2].∵(a—b)2≥0，(a+)2+b2≥0,∴(a-b)2［(a+）2+b2］≥0.∴a4+b4≥a3b+ab3.绿色通道：比较法是证明不等式中最基本、最重要的方法,其步骤为：作差（或n次方作差）——变形——确定符号—-得出结论.其中，作差是依据,变形是手段，确定差的符号是目的,至于证题的思路体现了数学中的转化思想。这里，关键的步骤是对差式的变形.变式训练设A=1+2x4,B=2x3+x2，x∈R,则A、B的大小关系是。思路解析：利用作差法比较大小,要注意观察系数的特点进行因式分解.A-B=1+2x4—2x3-x2=2x3（x-1）—（x2-1）=（x-1）（2x3-x-1）=（x-1）［(x3—x）+(x3—1）］=（x-1）2（x2+x+x2+x+1）=(x—1）2(2x2+2x+1）≥0。所以A、B的大小关系是A≥B.答案：A≥B例3（1)如果30＜x＜36，2＜y＜6，求x—2y及的取值范围；(2）若—3＜a＜b＜1,-2＜c＜—1,求（a—b）c2的取值范围.思路分析：在判断某些式子的取值范围时,可灵活运用不等式的性质,如涉及两个不等式的“相减”“相除”时，往往要将其转化为不等式“相加”“相乘”的运算。解:(1)∵2＜y＜6,∴—12＜-2y＜-4.又∵30＜x＜36，∴30-12＜x—2y＜36—4，得18＜x—2y＜32.又∵2＜y＜6，∴＜＜。∴5＜＜18.（2）∵—3＜a＜b＜1,∴-3＜a＜1,—3＜b＜1，a＜b.∴-4＜a—b＜0。又∵-2＜c＜-1，∴1＜c2＜4。∴-16＜（a-b)c2＜0。黑色陷阱：很容易由2＜y＜6,得到4＜2y＜12,从而得出—26＜x—2y＜24。实际上这是错误的,因为y乘以2不改变不等号的方向,而y乘以—2就要改变符号，而此种解法就没有考虑符号的改变,所以得出了错误的结论.变式训练（1)若a＞b＞0,c＜d＜0，求证：。（2)已知≤α＜β≤，求的范围.思路分析:严格按照不等式的性质进行变形，除法要转化成乘法,减法转化成加法。（1)证明:-ac＞—bd,又c＜0,d＜0＞.（2）解：∵≤α＜β≤,∴≤α＜，＜β≤。∴—π＜α+β＜π。∴＜＜。∵≤—β＜，≤α＜，α＜β，∴α-β＜0.∴-π≤α-β＜0.∴≤＜0.例4甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，问甲、乙两人谁先到达教室？思路分析：本题牵涉到物理问题中的速度和路程的相关知识,首先应根据条件，表示出甲、乙两人到达教室的时间表达式，然后作差比较他们所用时间的多少，所用时间少的先到。解:设总路程为s，步行速度为v1,跑步速度为v2.甲到教室所用的时间为t1,则t1=,乙到教室所用时间为t2,则(v1+v2)=s。∴t2=.∴t1-t2=。∵v1＜v2,∴t1＞t2。∴乙先到教室。变式训练某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受半票优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按的原价优惠。"这两车队的原价、车型是一样的，试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.思路分析：根据条件写出两车队收费的函数关系，再作差进行比较,收费少的车队比较优惠，注意对自变量的大小进行讨论.解:设该单位除领队外有x个人，甲、乙两车队的收费总额为y甲和y乙，则y甲=a+ax(a为原每张票价),y乙=（x+1)a，则y甲-y乙=(2-x)，∴x＞2时，甲车队更优惠；x=2时，两车队收费相同；x＜2时，乙车队更优惠。例5已知-4≤a—b≤—1，—1≤4a—b≤5，求9a—b的取值范围.思路分析：注意9a-b与a-b和4a-b的关系，它们都是关于实数a，b的一次式,所以，它们三个之间也具有一次线性关系,因此可以用a—b和4a—b表示9a-b,再根据不等式的性质得出结果。解：设9a—b=m（a-b)+n(4a-b)=(m+4n)a-（m+n)b，令m+4n=9，—(m+n)=-1，解得m=,n=.由-4≤a-b≤—1，得≤（a-b）≤.由-1≤4a-b≤5，得≤(4a-b）≤。以上两式相加，得—1≤9a—b≤20。绿色通道:在整体思想的指导下,采用待定系数法，首先建立待求范围的整体与已知整体的等量关系，然后通过“一次线性”不等关系的运算,求得待求的范围.黑色陷阱：根据条件可以看出a,b不是相互独立的，而是相互制约的，因此不能直接求出a,b的取值范围.如果先求出a,b的范围，再用不等式的性质求9a—b的范围,所求的范围将扩大，主要原因是变形不是等价变形.变式训练已知f(x）=ax2—b，且—4≤f（1）≤—1,—1≤f(2）≤5，试求f(3)的取值范围.思路分析:根据条件把f(3）表示为f(1）和f（2)的关系式，再根据所给f（1）和f（2)的范围及不等式的性质可以得出f(3)的范围。解法一：设f(3)=mf（1)+nf(2），∵f（x)=ax2-b，∴9a—b=m(a—b）+n（4a-b）.比较a、b的系数可得∴f(3）=f(1)+f（2）.又—4≤f（1)≤-1,-1≤f（2）≤5,∴≤f（1）≤,≤f(2）≤。∴—1≤f（3）≤20.解法二：由∴f（3)=3［f（2)—f（1）］+f(1）—f（2）=9a—b=f(2)f（1）.以下同解法一.问题探究问题甲、乙、丙、丁四人利用不等式的性质给出了以下四个不同的不等式：甲:a＞bc-a＜c—b。乙:a＞b+c（a-c)2＞b2。丙:a＞b＞c＞0（a-c)b＞（b-c)b。丁：a＞b＞0,c＜d＜0.你认为他们说的正确吗？请说明理由。导思:寻找前提与结论的联系，由前提出发，正确使用性质看能否得到结论,若能,则结论正确,若