高中数学湘教版（2019）选择性必修第一册 2.7　用坐标方法解决几何问题VIP

2.7用坐标方法解决几何问题新课程标准解读核心素养1.理解坐标法的意义,并会用坐标法和“数形结合”数学思想解决几何问题逻辑推理、直观想象2.通过建立平面直角坐标系,运用坐标法和直线与圆的有关知识,解决一些与几何有关的实际问题数学建模、数学运算01题型突破·析典例⁠题型一用坐标法证明几何问题【例1】

用坐标法证明:若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,则该四边形的对角线互相垂直.证明

如图所示,以AC所在直线为x轴,过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系,设顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y).化简得(a-c)x＝0,因为a-c≠0,所以x＝0,所以D点在y轴上,所以AC⊥BD,所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,则该四边形的对角线互相垂直.因为｜AB｜2＋｜CD｜2＝｜BC｜2＋｜AD｜2,所以a2＋b2＋(x-c)2＋y2＝b2＋c2＋(x-a)2＋y2,通性通法坐标法建立直角坐标系的原则(1)若有两条相互垂直的直线,一般以它们分别为x轴和y轴;(2)充分利用图形的对称性;(3)让尽可能多的点落在坐标轴上,或关于坐标轴对称;(4)关键点的坐标易求得.⁠

如图所示,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2为定值.证明:如图所示,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y),由已知,点A在圆x2＋y2＝m2上,故｜AP｜2＋｜AQ｜2＋｜PQ｜2＝(x＋n)2＋y2＋(x-n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).题型二与圆有关的轨迹问题【例2】

已知点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;解

(1)设线段AP的中点为M(x,y)(x≠2),由中点公式,得点P的坐标为(2x-2,2y).∵点P在圆x2＋y2＝4上,∴(2x-2)2＋(2y)2＝4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2＋y2＝1(x≠2).(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.解

(2)设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,｜PN｜＝｜BN｜.设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2,∴x2＋y2＋(x-1)2＋(y-1)2＝4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2-x-y-1＝0.⁠1.(变设问)在本例条件不变的情况下,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.

2.(变设问)本例条件不变,求BP的中点E的轨迹方程.

通性通法与圆有关的轨迹方程的求法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程;(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.⁠

已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是

⁠.

答案:(x-8)2＋y2＝36(y≠0)题型三利用坐标法解决实际问题角度一:圆的方程的实际应用【例3】

如图为一座圆拱桥的截面图,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为

⁠m.

角度二:直线与圆的方程的实际应用

(1)求圆C的方程;

(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?

通性通法解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知;(2)建系:建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素;(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知;(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.⁠

⁠1.y＝｜x｜的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是(

)D.π

3.设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2＋(y＋3)2＝4表示,村外一小路方程可用x-y＋2＝0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是

⁠.

4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它

⁠(填“会”“不会”)受到台风的影响.

答案:不会02知能演练·扣课标⁠1.如图,圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米,拱高｜CD｜＝4米,则拱桥的直径为(

)A.15米B.13米C.9米D.6.5米

2.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2＋(y-7)2＝4,一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是(

)B.8D.10

3.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,则DE的最短距离为(

)A.6kmD.4km

4.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2＋y2-2x＝0表示,在公园外两点A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台,则舞台面积的最小值为(

)

5.(多选)从点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后,照射到圆C:x2＋y2-4x-4y＋7＝0上,则下列结论正确的是(

)A.若反射光线与圆C相切,则切线方程为3x-4y-3＝0B.若反射光线穿过圆C的圆心,则反射光线方程为x-y＝0

6.设A为圆(x-1)2＋y2＝1上的动点,PA是圆的切线且｜PA｜＝1,则P点的轨迹方程是

⁠.

解析:设P(x,y)是轨迹上任一点,圆(x-1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0),则｜PA｜2＋1＝｜PB｜2,∴(x-1)2＋y2＝2.答案:(x-1)2＋y2＝27.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜,则点P的轨迹所围成的图形的面积为

⁠.

答案:4π8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2＋y2≤5,若将军从点A(3,1)处出发,河岸线所在直线方程为x＋y＝5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为

⁠.

9.如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.

10.△ABD和△BCE是边AB,BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:｜AE｜＝｜CD｜.证明:如图,以B点为坐标原点,取AC所在直线为x轴,建立直角坐标系.设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,

所以｜AE｜＝｜CD｜.⁠

A.6秒B.8秒

C.10秒D.16秒12.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为(

)D.不确定

答案:(-1,1)14.如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(用坐标法求解)解:如图,以O为坐标原点,东西方向为x轴建立平面直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),圆O的方程为x2＋y2＝252.

即3x＋4y-120＝0.设点O到直线AB的距离为d,

所以外籍轮船能被海监船监测到.

⁠15.如图是一公路隧道截面图,下方ABCD是矩形,且AB＝4m,BC＝8m,隧道顶APD是一圆弧,拱高OP＝2m,隧道有两车道EF和FG,每车道宽3.5m,车道两边留有0.5m人行道BE和GC,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6m的间隙,则此隧道允许通行车辆的限高是

⁠m.(精确到0.01m)

解析:建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0,b),半径为r,则其方程为x2＋(y-b)2＝r2.将P(0,2),D(4,0)的坐标代入以上方程,解得b＝-3,r＝5,故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.过点E作AD的垂线交AD于点M,延