数学学案：空间中的垂直关系第二课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第一章1。2.3空间中的垂直关系第二课时1．理解平面与平面垂直的定义．2．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中面面垂直的有关判定定理、性质定理．3．掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能利用以上定理解决空间中的相关垂直性问题．1．平面与平面垂直的定义如果两个________平面的交线与第三个平面________，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线________，就称这两个平面互相垂直．2．平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条________，则两个平面互相垂直．符号语言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a⊂平面α,a⊥平面β））⇒α⊥β.【做一做1－1】对于直线m，n和平面α,β，能得出α⊥β的一个条件是（)．A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n,n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【做一做1－2】在空间四边形ABCD中，若AB＝BC,AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（）．A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED3．平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线______另一个平面．符号语言：eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（α⊥β,a⊂α，α∩β＝b,a⊥b）)⇒a⊥β.【做一做2】设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b(）．A．可能垂直,不可能平行B．可能平行,不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行证明线面垂直、面面垂直的主要方法剖析：(1)证明线面垂直的方法：①利用线面垂直的定义：a与α内的任何直线垂直⇒a⊥α;②利用判定定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（m、n⊂α，m∩n＝A,l⊥m,l⊥n)）⇒l⊥α;③利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④利用面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β；⑤利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.（2）证明面面垂直的方法：①利用定义；②利用判定定理：一面经过另一面的垂线．关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系如下图所示：题型一位置关系的判定【例1】下列命题不正确的是（)．A．若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥βB．若l⊥m,l⊂α，m⊂β，则α⊥βC．若α⊥γ,β∥γ，则α⊥βD．若l∥m，l⊥α，m⊂β,则α⊥β反思：关于位置关系的判断题，如果以选择题的形式出现，通常借助于几何模型利用排除法来解决．题型二利用定义证明面面垂直【例2】如图，在四面体ABCD中，BD＝eq\r(2）a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD．分析：图形中的垂直关系较少，不妨考虑利用定义法证明．反思：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：（1）证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直；（2)证明这两个相交平面与第三个平面的交线垂直;(3）根据定义，这两个平面互相垂直．题型三利用判定定理证明面面垂直【例3】如图所示,已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：证明BC是平面PAC的垂线即可,再利用面面垂直的判定定理解决．反思：解决本题的关键是找出垂线BC，利用圆的有关性质得到∠BCA＝90°.总之，利用面面垂直的判定定理来证明面面垂直的要领是：先从整体上把握空间几何体的结构特征,然后直观观察出一平面的垂线,最后根据定理的要求进行理论证明．题型四面面垂直的性质的应用【例4】如图，四棱锥P－ABCD的侧面PAD是正三角形,且垂直于底面,底面ABCD是矩形，E是PD的中点．求证:平面ACE⊥平面PCD．分析：要证平面ACE⊥平面PCD，只需在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面,即只需在该平面内找一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线即可．反思:要证平面ACE⊥平面PCD,关键是利用平面与平面垂直的性质定理得CD⊥平面PAD，再利用正三角形的性质及直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理．题型五易错辨析【例5】已知在四边形ABCD中，四个角∠ABC，∠BCD,∠CDA，∠DAB都是直角．求证：四边形ABCD是矩形．错解：根据初中所学知识,可知四边形ABCD是矩形．错因分析：上述说明不严谨,忽略了四边形是空间四边形的检验与讨论．【例6】已知直线a不垂直于平面α,如图所示，求证：过a有且只有一个平面与α垂直．错解：记A∈a，过A作b⊥α，a∩b＝A,则可得a,b确定一个平面β，由b⊥α，b⊂β，得α⊥β，这说明过a有且只有一个平面β与α垂直．错因分析：仅证明了命题的存在性，而忽略了唯一性．1给出以下四种说法：①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中正确的个数是（)．A．4B．3C．2D．12下列结论中，正确的是（)．①垂直于同一条直线的两条直线平行;②垂直于同一条直线的两个平面平行;③垂直于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两个平面平行．A．①②③B．①②③④C．②③D．②③④3已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，则下列命题中错误的是(）．A．如果直线a⊂α，那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线B．如果直线a⊂α，那么直线a不可能与平面β平行C．如果直线a⊂α，a⊥l，那么直线a⊥平面βD．平面α内一定存在无数多条直线都垂直于平面β内的所有直线4经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有__________个．5如图,在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1)PA∥平面BDE；(2）平面PAC⊥平面BDE.答案：基础知识·梳理1．相交垂直互相垂直2．垂线【做一做1－1】Ceq\a\vs4\al（\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊥β）)\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,，，\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（⇒m⊥β,m⊂α）））)\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,,，⇒α⊥β.）））【做一做1－2】D如图所示，连接BE，DE，BD。eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（BE⊥AC，DE⊥AC））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,，，\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（⇒AC⊥平面BDE，AC⊂平面ABC）））)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,⇒平面ABC⊥平面BDE.）)3．垂直于【做一做2】B若a∥l，b∥l,则a∥b，但a与b不可能垂直．典型例题·领悟【例1】B借助于长方体模型找出错误的选项．如图所示的长方体，AB⊥B1C1，AB⊂平面AC，B1C1⊂平面A1C1，但是平面AC∥平面A1C1，所以B项不正确．【例2】证明:取BD的中点为E，连接AE,CE，∵CB＝CD＝AB＝AD,∴AE⊥BD，CE⊥BD，则有BD⊥平面AEC。∵AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，BD＝eq\r（2)a,∴△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，AE，CE都是斜边上的中线．∴AE＝CE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2），2）a。又AC＝a，∴AE2＋CE2＝AC2。∴AE⊥CE。又AE,CE分别是平面AEC与平面ABD、平面BCD的交线，∴平面ABD⊥平面BCD.【例3】证明：由于AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC.又由于PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面内,∴PA⊥BC（线面垂直的性质）．∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(线面垂直的判定)．又BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC(面面垂直的判定）．【例4】证明:∵△PAD为正三角形,E为PD的中点，∴AE⊥PD.又∵平面PAD⊥平面AC，平面PAD与平面ABCD交于AD,DC⊥AD，∴CD⊥平面PAD。∴CD⊥AE。∴AE⊥平面PCD.又∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PCD.【例5】正解：(1）当四边形ABCD是平面四边形时，它确实是矩形．(2)若四边形ABCD是空间四边形，可设点C在平面ABD之外，如图所示，设C′是点C在平面ABD内的射影,∵AD⊂平面ABD，CC′⊥平面ABD，CD⊥AD，AD⊥平面CC′D，∴C′D⊥AD.同理C′B⊥AB.eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(CD>C′D,CB>C′B)）CD2＋CB2＞C′D2＋C′B2。①连接BD，在△BCD中，∠BCD＝90°，故CD2＋CB2＝BD2.②在平面四边形ABC′D中，∵∠DAB＝∠ABC′＝∠ADC′＝90°，∴∠BC′D＝90°,∴C′D2＋C′B2＝BD2。③将②③代入①得BD2＞BD2，矛盾，故四边形ABCD不可能是空间四边形，只能是平面四边形,∴四边形ABCD是矩形．【例6】正解：(1)存在性．设A∈a，过A作b⊥α,a∩b＝Aa，b确定一个平面,记作β.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(b⊥α,b⊂β）)α⊥β。（2）唯一性．假设过a不止一个平面垂直于α,可设除β外还有平面γ满足γ⊥α，eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(β⊥α，γ⊥α,β∩γ＝a))⇒a⊥α.这与a不垂直于α矛盾．从而假设不成立，所以只有一个平