数学学案：课堂探究幂函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一幂函数的概念1．幂函数的判断方法（1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R）的函数才是幂函数．（2）如果函数以根式的形式给出，则要注意对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．2．待定系数法求幂函数解析式的方法若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x）＝xα，根据条件求出α。【典型例题1】（1）已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f（x）的解析式为（)A．f（x)＝x2B．f(x）＝x－2C．f(x）＝D．f（x）＝(2）下列函数中是幂函数的为__________．①y＝；②y＝2x2；③y＝；④y＝x2＋x;⑤y＝－x3。解析:(1）设幂函数的解析式为y＝xα,则3＝,∴α＝－2.∴y＝x－2.（2)①③的底数是变量，指数是常数，且系数为1，因此①③是幂函数；②中x2的系数为2，因此不是幂函数；④是由幂函数复合而成的函数，因此不是幂函数；⑤不符合幂函数中xα前的系数为1，因此不是幂函数．答案：（1)B(2)①③探究二比较大小比较幂形式的两个数大小的常用方法:1．若能化为同指数，则用幂函数的单调性．2．若能化为同底数，则用指数函数的单调性．3．若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小．【典型例题2】比较下列各组数的大小：（1）,..（2)(－1。2）3,（－1.25）3.(3）5.25－1,5。26－1，5.26－2。（4)0.53,30.5,log30.5。思路分析:(1）借助函数y＝；(2)借助函数y＝x3；（3）借助函数y＝5.26x和y＝x－1;（4)利用中间值法．解:（1)∵y＝在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1。7，∴<.(2）∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1。25，∴（－1.2)3〉(－1。25）3.(3)∵y＝x－1在（0，＋∞)上是减函数，5.25〈5.26，∴5.25－1〉5.26－1.∵y＝5。26x在R上是增函数，－1〉－2。∴5。26－1>5。26－2.综上，5.25－1〉5。26－1>5.26－2.(4）∵0<0。53〈1，30。5〉1，log30。5〈0,∴log30.5〈0。53<30。5。探究三幂函数的图象画图象时，一般先画第一象限内的图象，再结合函数性质补全图象，幂函数的图象与幂指数间有如下规律:1．指数大于1，在第一象限的图象，类似于y＝x2的图象；2．指数等于1，在第一象限为上升的射线；3．指数大于0小于1，在第一象限的图象，类似于y＝的图象;4．指数等于0，在第一象限为水平的射线；5．指数小于0，在第一象限类似于y＝x－1的图象．【典型例题3】如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()A．n〈0，m>1B．n<0〈m〈1C．m>n〉1D．n〉m>1解析：由幂函数的图象及性质可知，在第一象限内，若幂指数大于零，则函数为增函数；若幂指数小于零，则函数为减函数，故m>0，n<0.又由y＝xm的图象与直线y＝x比较,得0<m〈1。答案:B探究四幂函数性质的综合应用对于与幂函数有关的综合性问题，一般涉及奇偶性与单调性问题，解决此类问题可分两步走：一是利用单调性来弄清指数的正负,二是利用奇偶性来确定幂函数的图象．【典型例题4】已知幂函数f(x）＝xm2－m－2（m∈Z)是偶函数，且在(0,＋∞）上是减函数，求函数f（x)的解析式．思路分析：先利用f（x)在（0，＋∞)上为减函数求出m的范围，再用代入检验的方法来验证是否为偶函数．解：∵f（x)＝xm2－m－2（m∈Z)是偶函数，∴m2－m－2为偶数．又∵f（x)＝xm2－m－2(m∈Z）在(0，＋∞）上是减函数,∴m2－m－2〈0，即－1〈m<2.∵m∈Z,∴m＝0或m＝1。当m＝0时，m2－m－2＝－2,－2为偶数，当m＝1时，m2－m－2＝－2，－2为偶数．∴f（x）的解析式为f(x）＝x－2.点评本题要先充分利用函数为减函数的性质，这正是此问题的切入点,如果先选用偶函数这一性质，将不能准确快速地得出m的值．探究五易错辨析易错点因把函数看成定义域上的减函数而致误【典型例题5】若<，试求a的取值范围．错解：∵函数y＝是减函数，∴a＋1〉3－2a.∴a〉，即a的取值范围是。错因分析：误认为y＝是R上的减函数，实质是y＝在(－∞，0)和(0，＋∞）内均是减函数，而没有整体定义域上为减函数的性质．正解：对于<，可分三种情况讨论．①a＋1和3－2a都在(－∞，0）内，此时方程组无解；②a＋1和3－2a都在（0,＋∞）内，解得〈a<；③若a＋1和