数学学案：课堂探究利用导数判断函数的单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一函数图象的升降与导数的关系要解决函数图象的升降与导数的关系问题，主要从两方面入手：一是观察原函数的图象,重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势；二是观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．【典型例题1】设函数f(x）在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为（)思路分析：根据给出的函数图象分析函数图象的升降情况，确定导数的正负，得出导数图象的情况．解析:观察原函数图象可知,在y轴左侧，函数f(x)图象是上升的,因此对应导数为正，图象在x轴上方，在y轴右侧，函数f(x)的图象是先升、再降、最后上升，故对应导数应为先正、再负、最后为正，图象自左向右依次在x轴上方、下方、再上方，故选D.答案:D探究二求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′（x）＜0,不等式的解集就是函数的单调区间，但要特别注意的是,不能忽视函数的定义域,应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．利用导数求函数单调区间的步骤：（1)求函数定义域；(2）对函数求导；(3）令导函数大于零，解不等式得递增区间；令导函数小于零，解不等式得递减区间．【典型例题2】求下列函数的单调区间．（1)y＝x3－9x2＋24x；(2)f（x)＝x2－lnx.思路分析：利用函数单调性的判定法则，转化为关于导数的不等式求解．解：(1）y′＝（x3－9x2＋24x)′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4），令3(x－2）(x－4)＞0,解得x＞4或x＜2.所以y＝x3－9x2＋24x的递增区间是（4,＋∞）和(－∞,2）．令3(x－2）（x－4)＜0，解得2＜x＜4。所以y＝x3－9x2＋24x的递减区间是（2,4)．（2)函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，因为f′（x)＝2x－eq\f(1,x）＝eq\f（2x2－1,x），所以令f′(x）＞0,则x＞eq\f(\r（2)，2),令f′(x）＜0，则0＜x＜eq\f（\r(2），2)，所以函数f(x）＝x2－lnx的递减区间为eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（0，\f(\r（2）,2））），递增区间为eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2），＋∞)).探究三利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围问题往往转化为不等式恒成立问题，其常用方法有两种：一是f（x）在(a，b)上单调，则f′(x)≥0或f′（x)≤0在（a，b）内恒成立,要注意验证等号是否成立；二是利用集合的包含关系处理，f(x）在(a,b）上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．【典型例题3】已知函数f(x)＝eq\f(2，3)xeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1（x2－3ax－\f（9，2))）（a∈R），若函数f（x)在(1，2）内是增函数，求a的取值范围．思路分析:本题先求导，转化为f′(x）≥0在(1，2)上的恒成立问题．解：因为函数f(x)在（1,2）内是增函数，所以f′(x)＝2x2－4ax－3≥0对于一切x∈（1,2）恒成立，所以a≤eq\f(x,2)－eq\f（3，4x)，x∈（1,2）．令g(x)＝eq\f(x，2)－eq\f(3，4x)，x∈(1，2),g′（x)＝eq\f(1,2）＋eq\f（3，4x2）＞0恒成立，所以g（x)＝eq\f（x，2）－eq\f（3，4x）在(1，2)上是增函数，当x＝1时，g(x)＝－eq\f（1，4)，所以a≤－eq\f（1,4）。探究四易错辨析易错点恒成立问题漏掉等号【典型例题4】已知f(x）＝x＋eq\f(a,x)在[1，＋∞）上是增函数，求a的取值范围．错解：f′(x）＝1－eq\f（a,x2).由题意得1－eq\f（a，x2）＞0在［1,＋∞)上恒成立，即a＜x2在[1，＋∞）上恒成立．因为x2在［1，＋∞）上的最小值为1,所以a＜1，即a的取值范围为（－∞，1)．错因分析：f(x)在［1，＋∞）上是增函数时,导函数f′（x)≥0在［1,＋∞）上恒成立;而错解用了f（x）在［1，＋∞）上是增函数时，f′（x)＞0在[1，＋∞)上恒成立．正解：f′（x）＝1－eq