数学学案：课堂探究函数的表示方法VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一画函数图象图象的画法常见的有两种:描点法、变换作图法．1．描点法的一般步骤是：列表、描点、连线；列表—-先找出一些（有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来；描点——从表中得到一系列的点(x，f(x）)，在坐标平面上描出这些点；连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．2．变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等．3．作函数图象时应特别注意：顶点、端点、图象与x轴的交点等这些特殊点．4．作图时应首先看清函数的定义域．【典型例题1】作出下列函数的图象：（1）y＝－x＋1,x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)；（3）y＝｜1－x|；（4)y＝思路分析：作函数图象,首先明确函数的定义域,其次明确函数图象的形状，体会定义域对图象的控制作用，处理好端点．如，第（4)小题x＝0时的情况．作图时，如第（2)小题，先不受定义域限制作出完整的抛物线，然后再根据定义域截取．函数图象的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线，也可以是一些点、一些线段、一段曲线等．解：(1)定义域为Z，所以图象为离散的点．图象如图(1）所示．（2）y＝2x2－4x－3＝2(x－1）2－5（0≤x＜3)，定义域不是R，因此图象不是完整的抛物线，而是抛物线的一部分．图象如图（2)所示．（3）先根据绝对值的定义去掉绝对值号，再写成分断函数y＝图象如图(3）所示．（4）这个函数的图象由两部分组成．当0≤x≤1时，为抛物线y＝x2的一段；当－1≤x＜0时，为直线y＝x＋1的一段．图象如图（4）所示．探究二求函数解析式1．若已知函数类型求解析式，则可用待定系数法求解．若f（x)是一次函数，可设f(x）＝kx＋b(k≠0），若f(x）是二次函数,可设f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0），然后利用题目中的已知条件，列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数．2．若不清楚函数类型,可采用配凑法或换元法．【典型例题2】(1)已知f＝，求f(x）；（2)已知f（x）为一次函数，且f(f（x)）＝9x＋4,求f（x）．思路分析：(1）利用“换元法”或“配凑法”;(2)利用待定系数法．解：（1)方法一：令＝t，则x＝,且t≠0，∴f（t）＝＝＝，∴f(x)＝（x≠0）．方法二：f＝＝，∴f(x）＝（x≠0)．(2)设f（x)＝ax＋b（a≠0)．f（f(x）)＝af(x）＋b＝a（ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b。由题设知解得或∴f（x）＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.探究三分段函数及其应用求解分段函数问题三注意1．求f（f（a))的值时，应从内到外依次取值,直到求出值为止．2．已知函数值，求自变量的值时,切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围,只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．3．已知f(x），解关于f（x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．【典型例题3】已知f（x)＝若f（x)＞2，求x的取值范围．思路分析：在x≥－2时,由x＋2＞2,解得x＞0后，需与x≥－2求交集,得x＞0；当x＜－2时，由－x－2＞2，得x＜－4，与x＜－2求交集，得x＜－4。然后求x＞0与x＜－4的并集得最后结果．解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)＞2，得x＋2＞2，解得x＞0，故x＞0；当x＜－2时,f(x)＝－x－2,由f（x)＞2,得－x－2＞2，解得x＜－4,故x＜－4.综上可得，x＞0或x＜－4.【典型例题4】已知函数f(x）＝(1)求f(－8)，f，f，f的值；(2）作出函数的简图；(3）求函数的值域．思路分析：给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．（1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．(2)在不同的区间,依次画出函数图象．解：函数的定义域为[－1，0)∪[0，1）∪[1，2］＝［－1,2]．(1)因为－8∉［－1，2］,所以f(－8)无意义．当x∈［－1，0）时，f(x)＝－x，所以f＝－＝。当x∈[0,1）时，f(x）＝x2，所以f＝2＝.当x∈[1,2］时,f（x）＝x，所以f＝。(2）根据题中函数的表达式,在平面直角坐标系中作出的函数图象如图所示．（3）由(2）中画出的图象可知，函数的值域为[0，2]．探究四易错辨析易错点缺乏检验意识而致误【典型例题5】已知f（x）＝若f(a)＝,求a的值．错解：∵f(a)＝∴令|a－1｜－2＝,得a＝或a＝－.再令＝,得a＝±2.综上可知满足f（a)＝的a的值为－，，±2.错因分析：没有对求得的a的值进行验证．正解：∵f（a)＝∴当｜a|≤1时，令|a－1|－2＝，解得a＝或a＝－.又∵｜a|≤1，∴a＝和a＝－均不符合题意，舍去