2024-2025学年高中数学第三章不等式1不等关系跟踪训练含解析北师大版必修5VIP

PAGE第三章不等式§1不等关系[A组学业达标]1．(2024·福州高一检测)下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞－b，则－a＞bC．若a＞b，则a－c＞b－c D．若ac＞bc，则a＞b解析：对于A，c＝0时，不成立，错误；对于B，若a＞－b，则－a＜b，故B错误；对于C，若a＞b，则a－c＞b－c，正确；对于D，若c≤0，不成立，错误；故选C.答案：C2．(2024·潮州高一检测)若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＞g(x)C．f(x)＜g(x)D．f(x)，g(x)的大小与x的取值无关解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，故f(x)＞g(x)，所以B正确．答案：B3．(2024·抚州高一检测)设角α、β满意－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，则α－β的范围是()A．－π＜α－β＜0 B．－π＜α－β＜πC．－eq\f(π,2)＜α－β＜0 D．－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)解析：本题主要考查不等关系与不等式．因为－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2)，故－π＜α－β＜π，因为α＜β，所以α－β＜0，故－π＜α－β＜0.故本题正确答案为A.答案：A4．(2024·皇姑区高一检测)若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则有()A．ab＞ac B．ac＞bcC．bc＞ab D．ab＞bc解析：由a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则a＞0＞c.∴ab＞ac.故A正确．答案：A5．将一根长5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm，若两段绳子长度之差不小于1m，则x所满意的不等关系为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－5≥1，,0＜x＜5)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－2x≥1，,0＜x＜5))C．2x－5≥1或5－2x≥1 D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1，,0＜x＜5))解析：由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m，因为两段绳子的长度之差不小于1m，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－（5－x）|≥1,0＜x＜5，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1.,0＜x＜5.))故选D.答案：D6．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．解析：∵eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,2（1＋x2）)＝eq\f(－（x－1）2,2（1＋x2）)≤0，∴eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).答案：eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)7．若－2＜c＜－1，－1＜a＜b＜1，则(c－a)(a－b)的取值范围为________．解析：∵－2＜c＜－1，－1＜a＜b＜1，∴－3＜c－a＜0，－2＜a－b＜0，∴0＜(c－a)(a－b)＜6.答案：(0，6)8．一辆汽车原来每天行驶xkm，假如这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写成不等式为________；假如它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：(1)原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2200km”，写成不等式为8(x＋19)＞2200.(2)若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为eq\f(8x,x－12)＞9.答案：8(x＋19)＞2200eq\f(8x,x－12)＞99．已知a＞b＞c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.证明：原不等式变形为：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＞eq\f(1,a－c).又∵a＞b＞c，所以a－c＞a－b＞0，∴eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a－c)，又eq\f(1,b－c)＞0，∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＞eq\f(1,a－c)，即eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.10．已知a∈R，a≠1，试比较eq\f(1,1－a)与1＋a的大小．解析：由于eq\f(1,1－a)－(1＋a)＝eq\f(a2,1－a).当a＝0时，eq\f(a2,1－a)＝0，所以eq\f(1,1－a)＝1＋a；当a＜1，且a≠0时，eq\f(a2,1－a)＞0，所以eq\f(1,1－a)＞1＋a；当a＞1时，eq\f(a2,1－a)＜0，所以eq\f(1,1－a)＜1＋a.故当a＝0时，eq\f(1,1－a)＝1＋a；当a＜1，且a≠0时，eq\f(1,1－a)＞1＋a；当a＞1时，eq\f(1,1－a)＜1＋a.[B组实力提升]11．2024年高考招生中某高校对美术生划定录用分数线，专业一的成果x不低于95分，专业二的成果y超过92分，文化课总分z高于384分，用不等式(组)表示就是()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥95,y＞92,y≥384)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥95,y≥92,z＞384))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞95,y＞92,z＞384)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥95,y＞92,z＞384))解析：由题中x不低于95，即x≥95，y超过92即y＞92，z高于384，即z＞384.故选项D正确．答案：D12．(2024·广东高一检测)已知a，b∈(0，1)，记M＝a·b，N＝a＋b－1则M与N的大小关系是()A．M＜N B．M＝NC．M＞N D．不确定解析：a，b∈(0，1)，记M＝a·b，N＝a＋b－1，∴M－N＝a·b－a－b＋1＝(1－a)(1－b)＞0，∴M＞N.所以C选项是正确的．答案：C13．用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长15m，要求菜园的面积不小于275m2，靠墙的一边长为x解析：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为15m，所以0＜x≤15，这时菜园的另一条边长为eq\f(36－x,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18－\f(x,2)))m.因此菜园面积S＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18－\f(x,2)))m2，依题意有S≥275，即xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18－\f(x,2)))≥275，故该题中的不等关系可用不等式组表示为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x≤15,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18－\f(x,2)))≥275))答案：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜x≤15,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(18－\f(x,2)))≥275))14．已知三个不等式：①ab＞0，②eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)，③bc＞ad，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成________个正确命题．解析：由不等式的性质，得eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab＞0,\f(c,a)＞\f(d,b)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＞0,\f(bc－ad,ab)＞0))bc＞ad；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(ab＞0,bc＞ad))eq\f(c,a)＞eq\f(d,b)；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＞\f(d,b),bc＞ad))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(bc－ad,ab)＞0,bc＞ad))ab＞0.答案：315．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．解析：∵－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，将两式相加得，－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2).又α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0，故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.16．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.(2)已知1＜a≤b≤c.证明：logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)因为x＋y＋eq\f(1,xy)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)＋xy))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xy)－xy))＝eq\f(x2y－y,xy)＋eq\f(xy2－x,xy)＋eq\f(1－x2y2,xy)＝eq\f(x2y－y＋xy2－x＋1－x2y2,xy)＝eq\f(（x2y－x）＋（xy2－y）－（x2y2－1）,xy)＝eq\f(x（xy－1）＋y（xy－1）－（xy＋1）（xy－1）,xy)＝eq\f(（xy－1）（x＋y－xy－1）,xy)＝eq\f(（xy－1）（x－1）（1－y）,xy)由于x≥1，y≥1，所以xy≥1，x－1≥0，1－y≤0，所以eq\f(（xy－1）（x－1）（y－1）,xy)≤0，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq