2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时作业13抛物线的简洁几何性质|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．答案：B2．过抛物线x2＝4y的焦点，作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()A．5B．6C．8D．10解析：抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.答案：C3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±2eq\r(2))B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2eq\r(2))解析：设A(x，y)，则y2＝4x，①又eq\o(OA,\s\up13(→))＝(x，y)，eq\o(AF,\s\up13(→))＝(1－x，－y)，所以eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(AF,\s\up13(→))＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.答案：B4．直线y＝x＋b交抛物线y＝eq\f(1,2)x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝eq\f(1,2)x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不满意OA⊥OB，故b＝2.答案：D5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D.eq\f(9,4)解析：易知抛物线中p＝eq\f(3,2)，焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，故直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－eq\f(21,2)x＋eq\f(9,16)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(21,2).由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝eq\f(p,2)·sin30°＝eq\f(3,8)，所以△OAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(9,4).答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为eq\f(5,2).因此，点M到抛物线准线的距离为eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).答案：eq\f(7,2)7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．

解析：如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，因为|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°，所以∠AFx＝60°，连接A1F则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1则F1为AA1的中点，设l于x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，所以抛物线方程为y2＝3x.答案：y2＝3x8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则eq\f(|AF|,|FB|)＝________.解析：由题意可得焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，故直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(p,2)，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－eq\f(\r(3),3)p，xB＝eq\r(3)p，故Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)p，\f(1,6)p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)p，\f(3,2)p))，所以|AF|＝eq\f(2,3)p，|BF|＝2p，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)三、解答题(每小题10分，共20分)9．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛物线上．依据抛物线的性质知A，B关于x轴对称．由题意得A(2,2)在抛物线y2＝2px上，所以p＝1，抛物线的方程为y2＝2x.10．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2.两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①∵y1＋y2＝2，代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3.∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.|实力提升|(20分钟，40分)11．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2,3)解析：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝eq\f(1,2)|FA|，所以|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2eq\r(2))，把B点坐标代入直线方程得k的值为eq\f(2\r(2),3).答案：C12．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，抛物线的焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).不妨设点A在第一象限，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x2＝2py，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2pb,a)，,y＝\f(2pb2,a2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))故Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2))).所以kAF＝eq\f(\f(2pb2,a2)－\f(p,2),\f(2pb,a))＝eq\f(4b2－a2,4ab).因为F为△OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF·(－eq\f(b,a))＝－1，即eq\f(4b2－a2,4ab)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))＝－1，整理得b2＝eq\f(5,4)a2，所以c2＝a2＋b2＝eq\f(9,4)a2，故c＝eq\f(3,2)a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)13．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．解析：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴点A的坐标为(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直线与抛物线相交于A，B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，∴x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2).由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq\f(4,k2)>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.14．点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5.(1)求m与p的值；(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积．解析：(1)由抛物线定