专题2.15+圆的对称性-弧、弦、圆心角 九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）-A4

第1页专题2.15圆的对称性-弧、弦、圆心角关系（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等．②直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴．③平分弦的直径垂直于这条弦．④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等．其中错误命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知△ABC内接于⊙O，若∠AOB=120°，则∠C的度数是()A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．12° B．15° C．18° D．20°5．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，已知的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是，，若与互补，弦，则弦CD的长为（

）A．6 B．8 C． D．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解7．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（）A．18° B．21° C．22.5° D．30°8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，==，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=30°；②∠DOB=2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（

）A．， B．，C．， D．，11．在锐角ABC中，，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（

）A．B．C．D．点M关于AC的对称点一定在ABC的外接圆上12．如图，AB、CD分别是⊙O的直径，连接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，则下列结论错误的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD＝，则∠AOD＝________，∠COD＝_________．18．如图，是的直径，弦连接并延长交于点连接交于点若则的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A、B、C、D均在上，若，，则∠B的度数为______．20．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为______度．21．如图，⊙O的直径AB过的中点A，若∠C＝30°，AB、CD交于点E，连接AC、BD，则＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）①∠CED＝∠BOD；②DM⊥CE；③CM+DM的最小值为4；④设OM为x，则S△OMC＝x．23．在同一个圆中,当圆心角不超过180°时,圆心角越大,所对的弧______;所对的弦__________,所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1，四边形ABCD内接于．求证：．证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴．（依据）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任务：(1)证明过程中的“依据”是______；(2)补全证明过程；(3)如图3，的内接五边形ABCDE的边长都为2，求对角线BD的长．28．如图，在⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为M，F是上的一点，且，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．(1)求证：DE＝DF；(2)若⊙O的半径为8，∠BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题②错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题④错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，∠C=∠AOB=60°；②当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的∠C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出∠COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出∠DOB=∠COB，最后即可得出答案.解：∵∠A=20°，∴∠COB=2∠A=40°，∵CD⊥AB，OC=OD，∴∠DOB=∠COB=40°，∴∠COD=∠DOB+∠COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BAC＝50°，由圆周角定理可求∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，可求∠AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°，∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵点C是弧BD的中点，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°，∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，∵，是的中点，∴∠COE=45°，∵，，∴CE⊥OB，∴∠OCE=∠COE=45°，∴CE=OE=，∴BE=OB－OE=，∵OA=OB，，∴∠ABO=45°，∴∠BDE=∠ABO=45°，∴EB=ED=，∴CD=CE－DE=．故选：D．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD，∵AE为⊙O的直径，则AE=10，∴∠ABE=90°，∴CD=；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解．解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠CAB=90°，∵，∴∠CAB=2∠ABC，∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=30°，∵点H是AG的中点，∠ACB=90°，∴AH=CH=HG，∴∠CAH=∠ACE=30°，∵∠CAF=∠CBF，∴∠CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键．8．B【分析】根据==和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出当M和A重合时∠MDE=60°即可判断③；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断④．解：∵==，点E是点D关于AB的对称点，∴=，∴∠DOB=∠BOE=∠COD=×180°=60°，∴①错误；∠CED=∠COD=×60°=30°=∠DOB，即∠DOB=2∠CED；∴②正确；∵的度数是60°，∴的度数是120°，∴只有当M和A重合时，∠MDE=60°，∵∠CED=30°，∴只有M和A重合时，DM⊥CE，∴③错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM的值最短，等于DF长，连接CD，∵===，并且弧的度数都是60°，∴∠D=×120°=60°，∠CFD=×60°=30°，∴∠FCD=180°-60°-30°=90°，∴DF是⊙O的直径，即DF=AB=10，∴CM+DM的最小值是10，∴④正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OCr＝6（cm），OC⊥AB，∴AC＝CB3（cm），∴AB＝2AC＝6（cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接，，先求解，可得，，再求解可得，，从而可得答案.解：连接，，直径，，，，，，，，直径，，，，，，，所以B符合题意，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴，∴EM=DM，故B符合题意，四边形是的内接四边形，在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，∵M，关于AC对称，∴=∠AMC，∵=90°+∠ABC，∴与∠ABC不一定互补，∴点不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据判断D选项．解：∵AB、CD分别是⊙O的直径，，∴CB⊥BD，故A选项正确，如图，连接，，且∠CDE＝62°，，，，，，，，，故B，C选项正确，，，，，BDDE，故D选项不正确，故选D．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1﹣≤CM＜【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝；由C点在弧DE上，则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME；解：如图，连接OD、OC，∵AB为直径，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分别是、的中点，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∵M是弦DE的中点，∴OM＝DE＝，∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；∴CM≥1﹣，当C点在A点或B点时，CM＝，∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜．【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①②③⑤【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，在圆上，则线段是弦；故③正确；都在圆上，是圆周角而点不在圆上，则不是圆周角故④不正确；是圆心，在圆上是圆心角故⑤正确故正确的有：①②③⑤故答案为：①②③⑤【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=-=，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．解：连接OE，OD，∵=，∴∠DOC=∠EOF，∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠DCO=∠EFO=90°，又∵DO=EO，∴Rt△DOC≌Rt△EOF，∴CO=OF=，∵在Rt△DOC中，OD=，∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=-=，∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．故答案为：x2-x+1=0．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17．

90°

150°或30°【分析】如图，在△AOD中，根据勾股定理的逆定理即可求出∠AOD的度数；连接OC，易得△AOC是等边三角形，从而可得∠AOC＝60°，进一步利用角的和差即可求出∠COD的度数．解：如图，在△AOD中，∵，，∴，∴∠AOD=90°；连接OC，∵OA＝OC＝AC=2，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°．∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝60°+90°＝150°或∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．【分析】根据圆周角定理的推论，得∠DCE=32°，由结合三角形外角的性质，得∠BOC的度数，从而得∠BDC的度数，进而即可求解．解：∵∠DCE和∠DBE是同弧所对的圆周角，∴∠DCE=∠DBE=32°，∵，∴∠BOC=90°+∠DCE=90°+32°=122°，∴∠BDC=∠BOC=×122°=61°，∴=∠DCE+∠BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出∠ODC=∠AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ODA=∠OAD=（180°-∠AOD）=57.5°，求出∠ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，∵∠AOD=68°，AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=65°，∵∠AOD=65°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=（180°-∠AOD）=57.5°，∴∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+65°=122.5°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．解：连接AD．∵，∴∠ADC=∠ADE，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-116°=64°，∴∠CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】根据已知条件得出∠DCA=∠DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：∵⊙O的直径AB过的中点A，∴＝，∴DE＝EC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BED＝∠CEA＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DCA＝∠DBA＝30°，设DE＝EC＝x，∵∠C＝30°，∴AE＝x，∵∠DBA＝30°，∴BE＝x，∴＝＝；故答案为：．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①③【分析】①由，可得∠COD=∠BOD，据此根据圆周角定理即可得结论；②由点M是直径AB上一动点，而CE的位置是确定的，因此DM⊥CE不一定成立，可得结论；③由题意可得点D和点E关于AB对称，因此CM+DM的最小值是在点M和点O重合时取到，即CE的长；④过点C作CN⊥AO于点N，利用解直角三角形可求得CN，利用三角形面积公式求解即可．解：①，，，，故①正确；②点M是直径AB上一动点，而CE确定，DM⊥CE不一定成立，故②错误；③，，∠CED=30°，DE⊥AB，点D和点E关于AB对称，CM+DM的最小值是在点M和点O重合时取到，即CE的长，AB=4，CE=AB=4，故③正确；④连接AC，，∠COA=60°，则△AOC为等边三角形，边长为2，过点C作CN⊥AO于N，则，在△COM中，以OM为底，OM边上的高为CN，，故④错误；综上，①③正确，故答案为：①③．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23．

越长

越长

越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中,当圆心角不超过180°时,圆心角越大,所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.24．27°【分析】根据题意易