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文档简介
河北省鹿泉第一中学2023-2024学年高三数学试题下学期第四次月考试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.2.已知复数满足,则的最大值为()A. B. C. D.63.设双曲线的左右焦点分别为,点.已知动点在双曲线的右支上,且点不共线.若的周长的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.4.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年5.若集合,则=()A. B. C. D.6.甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.7.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A. B. C. D.8.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④9.执行如图所示的程序框图若输入,则输出的的值为()A. B. C. D.10.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()A. B. C. D.111.设分别为的三边的中点,则()A. B. C. D.12.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知全集,集合则_____.14.已知,则展开式的系数为__________.15.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围为_____.16.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目,每人限报其中一项,记事件为“4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”,则的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知是递增的等差数列,,是方程的根.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.19.(12分)已知的内角的对边分别为,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周长是否有最大值?如果有,求出这个最大值,如果没有,请说明理由.20.(12分)设函数()的最小值为.(1)求的值;(2)若,,为正实数,且,证明:.21.(12分)如图,已知四棱锥,平面,底面为矩形,,为的中点,.(1)求线段的长.(2)若为线段上一点,且,求二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐标系中,椭圆:的右焦点为(,为常数),离心率等于0.8,过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点.⑴求椭圆的标准方程;⑵若时,,求实数;⑶试问的值是否与的大小无关,并证明你的结论.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.【详解】解:如图,取中点,连接,,由于正三棱柱,则底面,而底面,所以,由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,所以,且,所以平面,而平面,则,则//,,∴即为异面直线与所成角,设,则,,,则,∴.故选:C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.2、B【解析】
设,,利用复数几何意义计算.【详解】设,由已知,,所以点在单位圆上,而,表示点到的距离,故.故选:B.【点睛】本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.3、A【解析】
依题意可得即可得到,从而求出双曲线的离心率的取值范围;【详解】解:依题意可得如下图象,所以则所以所以所以,即故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于中档题.4、D【解析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.5、C【解析】
求出集合,然后与集合取交集即可.【详解】由题意,,,则,故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了计算能力,属于基础题.6、B【解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选:B.【点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.7、B【解析】
由圆过原点,知中有一点与原点重合,作出图形,由,,得,从而直线倾斜角为,写出点坐标,代入抛物线方程求出参数,可得点坐标,从而得三角形面积.【详解】由题意圆过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为,如图,由于,,∴,∴,,∴点坐标为,代入抛物线方程得,,∴,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点,从而是等腰直角三角形,于是可得点坐标,问题可解,如果仅从方程组角度研究两曲线交点,恐怕难度会大大增加,甚至没法求解.8、D【解析】
求出圆心到直线的距离为:,得出,根据条件得出到直线的距离或时满足条件,即可得出答案.【详解】解:由已知可得:圆:的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离为:,∴,而,与的面积相等,∴或,即到直线的距离或时满足条件,根据点到直线距离可知,①②④满足条件.故选:D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.9、C【解析】
由程序语言依次计算,直到时输出即可【详解】程序的运行过程为当n=2时,时,,此时输出.故选:C【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果,属于基础题10、C【解析】试题分析:设,由题意,显然时不符合题意,故,则,可得:,当且仅当时取等号,故选C.考点:1.抛物线的简单几何性质;2.均值不等式.【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程,均值不等式的灵活运用,属于中档题.解题时一定要注意分析条件,根据条件,利用向量的运算可知,写出直线的斜率,注意均值不等式的使用,特别是要分析等号是否成立,否则易出问题.11、B【解析】
根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解.【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:,故选:B【点睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.12、A【解析】
每个县区至少派一位专家,基本事件总数,甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数,由此能求出甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家基本事件总数:甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数:甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为:本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据补集的定义求解即可.【详解】解:.故答案为.【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.14、【解析】
先根据定积分求出的值,再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为所以的通项公式为当时,当时,故展开式中的系数为故答案为:【点睛】此题考查定积分公式,二项展开式公式等知识点,属于简单题目.15、【解析】
两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解,化简方程在区间上有解,构造函数,求导,求出单调区间,利用函数性质得解.【详解】解:根据题意,若函数与的图象上存在关于轴对称的点,则方程在区间上有解,即方程在区间上有解,设函数,其导数,又由,可得:当时,为减函数,当时,为增函数,故函数有最小值,又由;比较可得:,故函数有最大值,故函数在区间上的值域为;若方程在区间上有解,必有,则有,即的取值范围是;故答案为:;【点睛】本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题,函数零点问题的拓展.由于函数的零点就是方程的根,在研究方程的有关问题时,可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点,结合函数的图象,采用数形结合思想加以解决.16、【解析】
根据条件概率的求法,分别求得,再代入条件概率公式求解.【详解】根据题意得所以故答案为:【点睛】本题主要考查条件概率的求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)方程的两根为,由题意得,在利用等差数列的通项公式即可得出;(2)利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出.【详解】方程x2-5x+6=0的两根为2,3.由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而得a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=++…++,Sn=++…++,两式相减得Sn=+-=+-,所以Sn=2-.考点:等差数列的性质;数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用,解答中方程的两根为,由题意得,即可求解数列的通项公式,进而利用错位相减法求和是解答的关键,着重考查了学生的推理能力与运算能力,属于中档试题.18、(1)见解析;(2).【解析】
(1)要证明,只需证明平面即可;(2)以C为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法求,并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】(1)连结AC、AE,由已知,四边形ABCE为正方形,则①,因为底面,则②,由①②知平面,所以.(2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设,,则,所以,设,则,所以当,即时,取最大值,从而取最小值,即直线与直线所成的角最小,此时,则,因为,,则平面,从而M到平面的距离,所以.【点睛】本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积,考查的内容较多,计算量较大,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.19、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值为3.【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理将角化边,再由余弦定理计算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,则,再根据正弦函数的性质计算可得;【详解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因为,所以.(Ⅱ)当时,的周长有最大值,且最大值为3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因为,所以,所以当即时,取到最大值2,所以的周长有最大值,最大值为3.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函数的性质的应用,属于中档题.20、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)分类讨论,去绝对值求出函数的解析式,根据一次函数的性质,得出的单调性,得出取最小值,即可求的值;(2)由(1)得出,利用“乘1法”,令,化简后利用基本不等式求出的最小值,即可证出.【详解】(1)解:当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取最小值.(2)证明:由(1)可知.要证明:,即证,因为,,为正实数,所以.当且仅当,即,,时取等号,所以.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用,还运用“乘1法”和分类讨论思想,属于中档题.21、(1)的长为4(2)【解析】
(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,根据向量垂直关系计算得到答案.(2)计算平面的法向量为,为平面的一个法向量,再计算向量夹角得到答案.【详解】(1)分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,所以.,因为,所以,即,解得,所以的长为4.(2)因为,所以,又,故.设为平面的法向量,则即取,解得,所以为平面的一个法向量.显然,为平面的一个法向量,则,据图可知,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.22、(1)(2)(3)为定值【解析】试题分析:(1)利用待定系数法可得,椭圆方程为;(2)我们要知道=的条件应
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