专题3-7 抛物线几何性质与最值【13类常考题型】（解析版）-A4

1/48第页专题3-7抛物线几何性质与最值【13类常考题型汇总】总览总览题型解读TOC\o"1-3"\n\h\z\u模块一抛物线的概念与基本性质【题型1】抛物线的焦点弦【题型2】抛物线的焦半径相关计算【题型3】抛物线的轨迹问题【题型4】抛物线的光学性质【题型5】抛物线的实际应用问题【题型6】利用几何性质计算求值（结合相似或三角函数）模块二抛物线中最值问题【题型7】抛物线中涉及焦半径的线段和差最值问题【题型8】抛物线上的点到准线距离的最值【题型9】抛物线上的点到定点距离最小问题【题型10】抛物线上的点到直线距离最小问题【题型11】抛物线上的点到圆上的点距离问题【题型12】弦中点与弦长相关的最值问题【题型13】结合基本不等式求最值题型题型汇编知识梳理与常考题型模块一抛物线的概念与基本性质一、抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)二、抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下三、抛物线的焦点弦1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ为直线AB的倾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p【题型1】抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：|AB|＝x1＋x2＋p过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.【答案】8【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．【答案】eq\f(15,8)【解析】设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线的垂线，垂足分别为A′，Q，B′.由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq\f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y0＋eq\f(1,8)，所以y0＋eq\f(1,8)＝2，则y0＝eq\f(15,8).过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则线段中点的横坐标为．【答案】2【分析】先根据抛物线方程求出的值，再由抛物线的性质可得到答案．【详解】抛物线，∴，设经过点的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为，，利用抛物线定义，AB中点横坐标为过抛物线的焦点作直线，交抛物线于、两点，的中点为，若，则点的横坐标为.【答案】3【分析】先求得抛物线的焦点，当轴时，不满足题意，继而设直线的方程为：，，，，.与抛物线的方程联立化简得，根据弦长公式建立方程，求解可得，从而可求得线段中点的横坐标.【详解】解：由抛物线，得焦点，若轴，则，不符合条件，舍去.设直线的方程为：，，，，.联立，化为，，.，化为，解得，当时，联立，化为，，因此.同理可得：时，.线段中点的横坐标为3.【题型2】抛物线的焦半径相关计算涉及焦半径长度的条件一般转化为到准线距离问题（雅礼中学高二期中）抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则由得，即，则，则，则，解得，即抛物线的方程为．．已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点到原点的距离为求出抛物线方程，再设点坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【详解】因为点到原点的距离为，所以，解得，（负值舍），将点代入抛物线方程y2=2pxp>0，得，所以，所以.

由于抛物线关于轴对称，不妨设，因为，，所以为等腰三角形，，所以，所以，解得或(舍)，所以.（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】求出抛物线焦点、准线，过点作于，结合抛物线定义及图形可得，再设出点即可计算得解.【详解】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为，由，得，于是，设，则，解得，所以的面积.故选：B（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为．【答案】【分析】利用抛物线定义化斜为直，转化已知条件到中，建立关于的方程求解即可.【详解】抛物线，则焦点，准线.过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为.由抛物线定义可知，又，在中，，则有，得，解得，故所求抛物线的方程为.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】根据抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，得到点P(3，±2)，然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.（23-24高二上·云南·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量坐标的线性运算结合可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值.【详解】法一：做QH垂直y轴于H，利用相似计算FQ即可法二：易知抛物线的焦点为F1,0，准线方程为，设点、，因为，即，可得，解得，即点，由抛物线的焦半径公式可得.（23-24高二上·辽宁大连·期末）从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】设Px0,y0，由，列出关系式求出【详解】设Px0,y0，，，因为是正三角形，所以，因为，所以即，又因为，解得或（舍），所以.故选：D.

【题型3】抛物线的轨迹问题若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线【答案】B【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得到到的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，设动圆圆心的坐标为，半径为，则，又动圆与直线相切，即到直线的距离为，所以到直线的距离为，所以到的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹为抛物线，其焦点为，所以动圆圆心的轨迹方程为.已知抛物线的焦点为F，动点A，B都在抛物线C上，设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为________【答案】【详解】设点，，则，又是抛物线上任意一点，，即若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．【答案】【详解】将化为，动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线，该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右，设，所以，解得，所以抛物线方程为若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是．【答案】【详解】双曲线的左焦点为F（－2，0），动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为F，准线为x＝2的抛物线，其方程为．【题型4】抛物线的光学性质探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y【答案】C解析：如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝eq\f(45,2)，所以所求抛物线方程为y2＝eq\f(45,2)x.虽然选项中没有y2＝eq\f(45,2)x，但C中的2p＝eq\f(45,2)符合题意（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（

）A． B． C．1m D．【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为y2=2pxp>0，代入点求出，进而可得答案【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上，设抛物线的标准方程为y2由已知得在抛物线上，所以，得，其顶点到焦点的距离等于.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则．【答案】【解析】如图，由题意可知轴，，将代入中得，即,又，则，故的方程为，联立，可得，解得，或（此时C与B关于x轴对称，不合题意），则，故，故答案为：.（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得.【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，直线方程为：，即，由，消去得，解得或，由，得，于是，，而，所以的周长为.故选：D

（23-24高二上·山东聊城·期末）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点．已知抛物线，一束平行于x轴的光线，从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件设出直线的方程为，联立直线和抛物线方程并消元，得到，由抛物线的焦半径公式可求得线段AB的长.【详解】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，因为，所以令中，则，即，所以直线的方程为：，即，将直线的方程代入中，得，所以，所以.（23-24高二上·广东肇庆·期末）抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线（）的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上点M反射后，其反射光线过点，且，则△FMN的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定性质，结合几何图形及抛物线的定义求出值，再利用三角形面积公式计算即得.【详解】由抛物线的对称轴为轴，得轴，设抛物线的准线与轴交于点，反向延长交抛物线的准线于点，则，由抛物线的定义得，由，得，因此为等边三角形，在直角中，，，于是，从而，所以的面积为.故选：A根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则.【答案】【解析】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为，因为经过抛物线焦点，所以方程为，整理得，联立，得，，所以，又，所以，，所以.抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则，．

【答案】【解析】由抛物线的光学性质知平分，又，所以，所以，由得，设准线交轴于点，则，且，且，所以，所以．【题型5】抛物线的实际应用问题（23-24高二上·广东·期末）如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（

）

A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用几何意义求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的方程为，则，即，所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3.省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为米【答案】【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解．【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且，则根据题意可知图中坐标为，所以，可得，所以抛物线方程为，令，代入方程，解得，可得到水面两点坐标分别为所以水面的宽度为米．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解.【详解】解：

如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则，设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：，∴抛物线方程为，∵行车道总宽度，∴将代入抛物线方程，解得：，∴车辆通过隧道的限制高度为石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用点的纵坐标求解.【详解】以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，则拱桥所在抛物线如图，

设抛物线的标准方程为，由题意知，点在抛物线上，代入抛物线方程可得，解得，所以抛物线方程为，由题意，当水面下降0.9m时，点在抛物线上，代入抛物线方程可得，解得，所以水面的宽度为.如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上，所以，，可得，所以，抛物线的方程为，当水面上升后，即当时，，可得，因此，当水面上升后，桥洞内水面宽为.为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（

）A．2m B．3m C．2.5m D．1.5m【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求得，再将点代入抛物线方程中，求出，即可求得的高度．【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为，因为点，所以，解得，所以抛物线方程为，点在抛物线上，所以，解得，所以，所以管柱的高度为．（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设抛物线为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标.【详解】由题意，设抛物线为且，显然点在抛物线上，所以，则，故焦点的坐标为.图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为.【答案】【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，，，对应的坐标为，代入抛物线，解得答案.【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，，设，水面下降2m后，水面宽8m，对应的坐标为，则，解得，故拱顶点O离水面l的距离为.（23-24高二上·广东广州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.5米后，水面宽米．【答案】【分析】先建立直角坐标系，将点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，，代入，得，故水面宽为．一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度米．【答案】3.84.【分析】建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点的坐标，即可求出支柱的长度.【详解】建立如图所示的直角坐标系,使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：.因为桥的跨度米，拱高米，所以,代入标准方程得：，解得：，所以抛物线的标准方程为把点的横坐标-2代入,得，解得：，支柱的长度为(米).即支柱的长度为3.84(米).（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过米时，才能使货船通过拱桥．【答案】【分析】以抛物线顶点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程后结合题意计算即可得.【详解】以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系，则O0,0，由，拱顶距水面8米，故，设该抛物线方程为，有，解得，即，由，令，则，即，，故不超过米时，才能使货船通过拱桥.【题型6】利用几何性质计算求值（结合相似或三角函数）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则.【答案】3【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，垂足分别为，，则.根据抛物线定义知，，设，因为，所以，∴.设，所以，所以在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过的直线l与C交于A，B两点．若的面积等于的面积的2倍，则．【答案】【分析】根据题意，过做垂直准线于点，过做垂直准线于点，由面积关系可得为中点，从而得到结果.【详解】由题意可得如图所示图形，过做垂直准线于点，过做垂直准线于点，由抛物线的定义可知，，，因为抛物线C：，则，设的面积为，则的面积也为，的面积为，所以，即，即为中点，所以.（23-24高二上·江西·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设(a≠0)，根据条件得出直线NP的方程为，从而得到，再利用抛物线定义即可求出结果.【详解】由题意有，设(a≠0)，则，直线OM的斜率为，易得直线NP的方程为,令，得，即，由抛物线的定义易得，所以．

已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则【答案】4【分析】先求出准线方程为，根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形中由平行线得比例线段，从而可得，即，从而可得．【详解】易知焦点F的坐标为，准线方程为，如图，作于，于，，可知线段BM平行于AF和DN，因为，，，所以，又由定义知，所以.

已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则．【答案】4【分析】做准线于点，轴于点可得，，再由抛物线定义可得答案.【详解】如图，做准线于点，轴于点，所以，因为，所以，所以，解得.

已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过焦点F作斜率为的直线分别交抛物线C和准线l于点P，Q，若点P在第一象限，则.【答案】4【分析】过作与准线垂直，垂足为，设准线与轴交点为，根据抛物线的定义，结合三角形的性质求解即可.【详解】过作与准线垂直，垂足为，设准线与轴交点为，设，则.由直线PQ斜率为，则直线PQ倾斜角为，有，又由三角形的性质可得，，即，所以，，即.

（23-24高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，满足（为坐标原点），，垂足为，若，则．【答案】【分析】利用抛物线定义，将已知条件转化到中，求得，即的高，进而求得面积.【详解】由已知，则轴，过作轴，垂足为，过作，垂足为，则，四边形为平行四边形，所以，且中以为底边的高即为，在中，由抛物线的定义知，又，则，则.故答案为：.焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为．【答案】【分析】根据在抛物线上，代入解得值，从而得到坐标，在根据，得到是线段垂直平分线与线段垂直平分线的交点，求出两条垂直平分线方程，进而求出坐标.【详解】解：焦点为的抛物线上有一点，则，解得，所以抛物线方程为，则焦点，，因为，所以是线段垂直平分线与线段垂直平分线的交点.线段垂直平分线方程为，因为点与点的中点坐标为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线斜率，所以线段的垂直平分线方程为，则，解得，所以坐标为模块二抛物线中最值问题【题型7】抛物线中涉及焦半径的线段和差最值问题涉及焦半径或到准线距离的线段和差最值问题时，往往要把焦半径和到准线的距离进行互换来求最值（23-24高二上·山西太原·期末）设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，设点到准线的距离为，则，如图所示：

当三点共线时，取得最小值已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．[答案]9[解析]抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示．根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.所以.已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（

）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【详解】，故，记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.

【题型8】抛物线上的点到准线距离的最值（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，确定点与抛物线的位置关系，再借助抛物线定义求解即得.【详解】抛物线中，当时，，则点在抛物线外，抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接，则，于是，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为.（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为．【答案】【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点F的距离PF，再根据三角形三边关系将的最大值表示为【详解】由抛物线的定义知，，所以所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值.故答案为：已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为.【答案】【分析】利用抛物线的定义将距离和最小值转化为点到直线的距离求解即可.【详解】直线为抛物线的准线，为抛物线的焦点，

过点作于，作于，过作于，由抛物线的定义可得，，当三点共线时等号成立，又，即动点到直线和的距离之和的最小值为.（江西省南昌市第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是【答案】3【分析】求出焦点F0,1，准线，作出辅助线，设动点直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到.【详解】由题意可得：拋物线的焦点F0,1，准线，设动点直线的距离分别为，点到直线的距离为，则，可得，当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，即时，等号成立，动点到直线直线的距离之和的最小值是3.

已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；

点到直线的距离为，到准线的距离为，由抛物线的定义知：，所以点到直线和准线的距离之和为，且点到直线的距离为，所以的最小值为.（23-24高二上·河南商丘·期末）已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是．【答案】【分析】根据抛物线定义可得点到直线的距离等于PF，结合结论两点之间线段最短，垂线段最短求结论.【详解】抛物线的焦点的坐标为2,0，准线方程为，由抛物线定义可得点到直线的距离等于PF，过点作直线的垂线，垂足为，所以点到直线与到直线的距离之和等于，由两点之间线段最短可得，过作直线的垂线，垂足为，，所以，当且仅当三点共线时等号成立．故答案为：.

已知点是抛物线上的动点，则的最小值为.【答案】【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线上的动点到直线和轴的距离之和的最小值，作出图形，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，由，得，所以，如图所示则动点到轴的距离为所以，当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)，所以到直线的距离为，所以，所以.所以的最小值为.【题型9】抛物线上的点到定点距离最小问题设点，用两点距离公式，再代入抛物线解析式消元得到二次函数模型已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．【答案】eq\f(\r(7),2)解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－22＋x)＝eq\r(x2－3x＋4)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以当x＝eq\f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(7),2)（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出PQ，再由二次函数的最值，即可得到结果.【详解】依题意，是抛物线上的点，设Px0,则，对于函数，当时，，所以的最小值是，即PQ的最小值为.已知抛物线上的点到定点的最小距离为2，则.【答案】【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式建立关系，再借助二次函数求出最小值即可得解.【详解】依题意，设，于是，则当时，，所以.已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为，距离＝，【答案】；【详解】设抛物线上任一点P的坐标为，则，则，因为，且在此区间上随着x的增大而增大，所以当x＝0时，取得最小值，最小值为，则的最小值为.故距离点A最近的点P的坐标为，距离是已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为.【答案】【详解】解：已知点在抛物线上，且为焦点，由定义知，，抛物线.设，由题意知，则，当时，取得最小值8，则的最小值为.已知抛物线上距离点最近的点恰好是其顶点，则的取值范围是.【答案】【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据二次函数的性质求解即可.【详解】设为抛物线上任意一点，则，因为，所以对称轴，又由于，且时，最小，所以，所以.【题型10】抛物线上的点到直线距离最小问题法一：利用点到直线距离公式，再里头抛物线方程进行代换，得到二次函数模型法二：利用切线来得到求最值（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线平行的直线的方程为，∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，设切点，，所以，，，，点，直线的方程为，两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为.已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．【答案】eq\f(5\r(2),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】：设点P(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(|x0－y0＋3|,\r(2))＝eq\f(|y\o\al(2,0)－2y0＋6|,2\r(2))＝eq\f(|y0－12＋5|,2\r(2))，当y0＝1时，dmin＝eq\f(5,2\r(2))＝eq\f(5\r(2),4)，此时x0＝eq\f(1,2)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，如图，点P为抛物线C上的动点，且位于直线AB的下方，则△ABP面积的最大值为.【答案】【分析】利用过点的切线与直线平行时，的面积最大求出点，然后利用弦长公式求即可.【详解】当抛物线过点的切线与直线平行时，的面积最大，设点，由得：，，所以切线的斜率：，解得：，所以，所以，点到直线的距离，由x-2y+2=0x2=4y，消去，得：设，，则，，所以，所以的面积的最大值为：.（23-24高二下·江苏盐城·期中）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为.【答案】【分析】设，利用点到直线距离公式表示出点P到直线距离，根据函数最值即可求解.【详解】点P在曲线上，设，则点P到直线l的距离为，当时，.已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的最值可求得点到直线的距离的最小值.【详解】设点的坐标为，则点到直线的距离为，当且仅当时，取最小值.所以，点到直线的距离的最小值是.（23-24高二上·安徽六安·期末）抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设点坐标，然后利用点到直线距离求解即可.【详解】因为所求点在抛物线上，所以设所求点为：，所以点到直线距离为：，当且仅当时，有最小值，此时抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为.【答案】2【分析】设，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距离即可．【详解】设，则点到直线的距离为,当，即当时，抛物线上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为.【题型11】抛物线上的点到圆上的点距离问题先求出到圆心的距离最值，再加减半径即可（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若P，Q分别为抛物线C：与圆M：上的两个动点，则的最小值为．【答案】/【分析】设，，由两点的距离公式求出，由二次函数的性质求出的最大值，的最小值为，即可得出答案.【详解】设，则，圆M：的圆心为，，当时等号成立，所以的最小值为.设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论．【详解】如下图，设，则，，当且仅