2023年中考数学压轴题：专题27以相似为载体的几何综合问题（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题27以相似为载体的几何综合问题

典例剖析“

21.（2022・四川内江•中考真题）如图，在矩形A8CO中，A8=6,BC=4,点M、N分别在

AB、AO上，且MNLWC,点七为C。的中点，连接/法交MC于点F.

（I）当/为BE的中点时，求证：AM=CE；

⑵若蔡=2,求既勺值;

⑶若MN//BE,求怒的值.

【答案】（1）见解析

（2焉

⑶5

【分析】（1）根据矩形的性质，证明ABM/空得BM=CE,再利用点E为CO的中

点，即可证明结论；

（2）利用△8W户凡得芸=器=：,从而求出8M的长，再利用△AMWS/XBMC,得

黑=罂，求出4N的长，可得答案；

BMBC

⑶首先利用同角的余角相等得乙CBF=4CM8,则tan/CBF=tan/CM8,得益=羔，

可得3M的长，由（2）同理可得答案.

（1）

证明：•・•尸为8E的中点，

:・BF=EF,

•・•四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,AB=CD

JZBMF=/ECF,

丁/BFM=/EFC,

，丛BMFQ丛ECF(AAS),

：.BM=CE,

•・•点E为CO的中点，

•••CE=#D,

9：AB=CD,

:・BM=CE=-AB,

2

=BM,

，AM=CE；

(2)

*/NBMF=/ECF,NBFM=NEFC,

:ABMFSAECF,

.BFBM1

..—=-----=

EFCE2

VCE=3,

ABM=",

2

9

：.AM=-,

2

•:CM上MN,

・•・NCMN=90°,

：.NAMN+N8MC=90°,

,/N4MN+NANM=90°,

・•・4ANM=/BMC,

NA=NM8C,

:.AANMs丛BMC,

,ANAM

BMBC

....27

..AN=一

16

2737

:,DN=AD-AN=4--=—

1616

27

•四_豆_4

一竺一37

16

(3)

VMN//BE,

:・/BFC=/CMN,

：.ZFBC+ZBCM=90°,

N8CM+N8MC=90°,

:・/CBF=/CMB、

，tanZCBF=tanNCM8,

.CE_BC

**BC-BMf

■.•3一=~4~"，

4BM

・・・8M=g，

：.AM=AB-BM=6--=-

33t

由⑵同理得，黑=翌，

BMBC

.ANI

3

解得：4V=g,

:・DN=AD-AN=4-

99

8

.ANa2

••而=交=,

9

【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三

角形的判定与性质，三角函数等知识，求出8M的长是解决（2）和（3）的关键.

22.（2022.贵州铜仁.中考真题）如图，在四边形48CD中，对角线力C与8。相交于点O,记^COD

的面积为Si，A/lOB的面现为S?.

（1）问题解决：如图①，若ABHCD,求证：*=线

S2OAOB

（2）探索推广：如图②，若4B与CO不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

（3）拓展应用：如图③，在0A上取一点E,使0£=0C,过点£作EGG）交00于点R点

“为力8的中点，。，交E尸于点G,且0G=2GH,若詈/求如宜.

【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）-

54

【分析】（1）如图所示，过点。作AE_LAC于£过点8作8凡L4C于R求出OE=OZ）・

sinzDOE,RF=ORsin/BOF,然后根据三角形面积公式求解即可：

(2)同⑴求解即可；

(3)如图所示，过点A作/M||EF交03于M,取BM中点、N,连接HN,先证明△OEF^AOCD,

得到OD=OF,证明△OEFs^OAM,得到竺=竺=三，设0E=0C=5m,OF=0D=5n,

OMOA6

则。力=6m,OM=6n,证明△OGFS/XOHM推出。〃=,0尸=等，BN=MN=ON-

OM=*,则08=0N+BN=9a由(2)结论求解即可.

【详解】解：(1)如图所示，过点。作AE_LAC于E,过点B作8以LAC于广，

：,DE=OD-sinzDOE,BF=OB-sin^BOF,

••・SAOCD=SI=：OC-DE=-OC-OD-sinzDOE,

SAAOB=S2=^OA-BF=^OA-OB•sin^BOF,

•••ZDOE=ZBOF,

AsinzDOF=sinZ-BOF；

(2)(1)中的结论成立，理由如下：

如图所示，过点。作AE_4C于E,过点B作4c于尸,

：,DE=OD-sinzDOE,BF=OF-sinzFOF,

1・SAOCD=S]=；OC.DE=；OC,ODsinzDOF,

S^AOB=S2=^OA-BF=^OAOB-sin^BOF,

,/ZDOE=ZBOF,

•'•sin乙OOE=sinzFOF；

.S]_扣OOD-Sin/OOE_OCOD

-

**s2^OAOBsin^BOF~OAQB'

(3)如图所示，过点A作4M||E/交08于M,取8M中点N,连接

,：EF\\CD,

・•・ZODC=ZOFE,ZOCD=ZOEF,

又・：OE=OC,

:.AOEF4AOCD(AAS),

：.OD=OF,

,：EF\\AMf

：.XOEFSK)AM,

设0£=OC=5m»OF=OD=5n»贝lj。?!=6m,OM=6n,

•••”是AB的中点，N是BM的中点,

・・.”N是△ABM的中位线，

：.HN\\AM\\EF,

：.XOGFs[\OHN,

.OGOF

••—=—,

OHON

•：0G=2GH,

2

：.OG=-OH,

3

.OGOF2

••==,

OHON3

：.0N=-OF=—,BN=MN=ON-OM=—,

222

：.0B=ON+BN=9n,

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判

定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键.

23.（2022•内蒙古包头•中考真题）如图，在平行四边形48。。中，AC是一条对角线，且的=

AC=5,BC=6,E,F是4。边上两点，点尸在点E的右侧，AE=DF,连接CE,CE的延长

线与84的延长线相交于点G.

图1图2

(1)如图1,M是边上一点，连接AM,MF,MF与CE相交于点N.

①若4E=g,求4G的长；

②在满足①的条件下，若EN=NC,求证：AM1BC；

(2)如图2,连接G/，，是GF上一点，连接EH.若乙EHG=cEFG+乙CEF,且HF=2GH,

求E尸的长.

【答案】(1)②证明见解析

(2)2

【分析】(1)①解：根据平行四边形4BCD的性质可证△AGE〜得到怒=器，再根

DCDE

据48=AC=5,BC=6,4F=|,结合平行四边形的性质求出DE的长，代入比例式即可

求出AG的长；

②先根据力SA证明△ENFwzxCNM可得Er=CM,再根据4E=54?=。尸求出£F=3,

进一步证明8M=MC,最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论.

(2)如图，连接。尸，先根据SAS证明AAEC三△D/7C,再结合NEHG=NE尸G+NCEF,说

明EHIIC凡利用平行线分线段成比例定理可得案=%接着证明AAGE〜△DCE,可得到

喘=J,设AE=x,则DE=2%,根据AD=AE+DE=6构建方程求出工,最后利用EF=AD-

力£一0户可得结论.

(1)

①解：如图，

二•四边形/9C。是平行四边形，ABAC-5,BC=6,

：.AB||CD,AD||BC,DC=AB=5,AD=BC=6,

J.Z.GAE=乙CDE,/-AGE=乙DCE,

△AGE〜△DCE,

.AG_AE

**DC~DE'

：,AG-DE=DC-AE,

'：AE=l，

2

：,DE=AD-AE=6--=-

22f

93

：.-AG=5x±,

22

3

・MG的长为今

J

②证明：・・ND||BC,

:•乙EFN=乙CMN,

PEN=NC,

在AEN尸和aCNM中,

乙EFN=乙CMN

EN=CN

乙ENF=乙CNM

:,〉ENF三XCNM(ASA),

：,EF=CM,

・NEAE=DF,

,=32

：.DF=-,

2

：,EF=AD-AE-DF=3,

：.CM=3,

,:BC=6,

；.BM=BC-CM=3,

:,BM=MC,

9：AB=AC,

：.AMLBC.

(2)

如图，连接。凡

\'AB=AC,AB=DC,

：.AC=DC,

：.Z.CAD=Z.CDA,

*：AE=DF,

在AAEC和△DFC中，

AC=DC

Z-CAD=Z-CDA

AE=DF

•MAEC三ADFC(SAS),

：.CE=CF,

：.Z.CFE=Z.CEF

■:乙EHG=^EFG+乙CEF,

・"EHG=乙EFG+乙CEF=乙EFG+乙CFE=乙CFG,

:・EH||CF,

.GH_GE

HF~EC'

•:HF=2GH,

,GE1

••=一,

EC2

*：AB||CD,

：.Z.GAE=Z.CDE,Z.AGE=/-DCE,

**•△AGE5&DCE>

...-A-E=-GE

DECE

.AE1

••

DE2

:,DE=2AE,

设AE=x,则。E=2x,

*：AD=6,

.*.AD=AE+DE=x+2x=6,

..x=2,

即AE=2,

：.DF=2,

：.EF=AD-AE-DF=2.

・・・EF的长为2.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性

质，等腰三角形的三线合一，平行线的判定及性质，平行线分线段成比例定理等知识.灵活

运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键.

24.(2022•江苏泰州•中考真题)己知：△ABC中，D为边上的一点.

⑴如图①，过点。作交AC边于点E,若A8=5,BD=9,DC=6,求。E的长；

⑵在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点凡使N。用(保留作图痕迹，不

要求写作法)

⑶如图③，点尸在4c边上，连接8F、DF,若NDFA=NA,△的面积等于・川以

以尸。为半径作。尸，试判断直线BC与。产的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)2

(2)图见详解

(3)直线KC与◎"相切，理由见详解

【分析】⑴由题意易得累=：则有2=4然后根据相似三角形的性质与判定可进行求

3D3Co5

解；

(2)作DT//AC交A8于点T,作N77)辰NATD,射线DF交AC于点F,则点F即为所求；

(3)作BA〃C/交尸Q的延长线于点R,连接CR,证明四边形48RF是等腰梯形，推出A8二网,

由CF//BR,推出S«F8=S^FR=-CD=^FR-CD,推出CQ_LD凡然后问题可求解.

(1)

解：,:DE"AB、

△CDECBAt

,DE_CD

**AB~CBf

*：AB=5,BD=9,DC=6,

・DE6

*-6+9*

IDE=2；

(2)

解：作。4c交AB于点7,作N77)F=NA7Z),射线。/交4c于点R则点尸即为所求；

如图所示：点尸即为所求，

解：直线8。与。尸相切，理由如下：

作3/?〃CE交口）的延长线于点R,连接CR,如图,

ZZ9M=ZA,

••・四边形A8R厂是等腰梯形，

：.AB=FR,

•:丛FBC的面积等于gCD•AB,

:.S^CFB=S^CFR=耳48,CD=-FR,CD,

ACD1DF,

是。尸的半径，

，直线BC与。尸相切.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练

掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键.

25.（2022•湖南岳阳•中考真题）如图，△48。和42BE的顶点B重合，〃8c=乙DBE=90。，

/-BAC=^BDE=30°,BC=3,BE=2.

图1图2图3

(1)特例发现：如图1,当点0,E分别在4B,8c上时，可以得出结论：,直线40

与直线CE的位置关系是；

(2)探究证明：如图2,将图1中的△08E绕点B顺时针旋转，使点。恰好落在线段4G匕连

接EC,(I)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用:如图3,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转a(19。VaV60°),连接4D、EC,

它们的延长线交于点尸，当=时，求tan(60。一。)的值.

【答案】(1)75,垂直

⑵成立，理由见解析

⑶笥

【分析】(1)解直角三角形求出EC,AD,可得结论；

(2)结论不变，证明△4B0〜ZiCBE,推出老=段=百，(ADB=2BEC,可得结论；

ECBC

(3)如图3中，过点8作歹_LAC于点J,设BD交AK于点K,过点K作KT1AC于点K.求出见,

JK,可得结论.

(I)

解：在R£△力8c中，乙8=90°,BC=3,LA=30°,

：.AB=y/3BC=3场,

在RtaBDE中，Z.BDE=30°,BE=2,

:.BD=WBE=2®

：,EC=1,AD=V3,

；嘿=6,此时4D，EC,

故答案为：V3,垂直；

(2)

结论成立.

理由：*：£.ABC=LDBE=90°,

：.Z.ABD=Z.CBE,

*：AB=y/3BC,BD=^BE,

.ACDB

••=~~,

BCEB

:.△ABD—△CBE,

**-77=77=VS*lADB=々BEC,

ECBC

^.ADB+Z.CDB=180°,

:,乙CDB+乙BEC=180°,

工乙DBE+乙DCE=180°,

•：Z.DBE=90°,

：./.DCE=90°,

：.AD1EC；

⑶

如图3中，过点B作6_L,4CF点/,设8。交4K于点K,过点K作KF_L4C于点K.

图3

••2/1/8=90。，^BAC=30°,

：.£AB]=60°,

"KBJ=60°-a.

'：AB=3痘,

：.BJ=-AB=—,AJ=>/3BJ=-,

222

当OF=BEH寸，四边形BETO是矩形，

•••△408=90。，AD=y/AB2-BD2=J(3小尸一(2次产二后,

设KT=m,则4T=V5m,4K=2m,

•:乙KTB=/.ADB=90°,

AD

・・・匕加=而而’

•mV15

••=f—，

BT2^3

•・.BT二等m,

/.y/3m+等m=3^3,

.•.A”K=r2m=-90---1-2->-/1-5

.,,.,990-12V1524V15-81

..KzI=Al-AlK7=----------=--------

JJ21122

・・.tan（6。。-a）=>注吗

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.

满分训练.

一、解答题

1.(2022•江苏镇江・中考真题)已知，点E、F、G、，分别在正方形48CD的边AB、BC、CD、

力。上.

(I)如图I,当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；

(2)如图2,已知=CF=CG,当4E、CF的大小有关系时，四边形是

矩形；

⑶如图3,AE=DG,EG、54相交于点。，OF:OF=4:5,已知正方形/1BCD的边长为16,

尸”长为20,当AOE，的面积取最大值时，判断四边形即G”是怎样的四边形？证明你的结

论.

【答案】(1)见解析

(2)AE=CF

⑶平行四边形，证明见解析

【分析】(1)利用平行四边形的性质证得N8E尸=N4//E,根据角角边证明BFE.

(2)当AE=CF,证得ZkAEH三△尸CG,△EBF是等腰直角三角形，/HEF=NEFG内伊,

即可证得四边形是矩形.

(3)利用正方形的性质证得4EG0为平行四边形，过点H作”M18C,垂足为点M,交EG于

点N,由平行线分线段成比例，设0E=4x,0F=5x,HN=h,则可表示出HN,从而把

△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值,则可得OE=OG,OF=OH,

即可证得平行四边形.

(1)

•・•四边形力BCD为正方形，

・••乙4=Z,B=90°,

：./.AEH+^LAHE=90°.

•.•四边形"GH为正方形，

:・EH=EF,Z.HEF=90\

：.Z-AEH+/-BEF=90°,

"BEF=Z-AHE.

在AAE，和aBFE中，

•・•△4=28=90。，乙AHE=^BEF,EH=FE,

：.^AEH三1BFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE+BE=AB^

(2)

AE=C/；证明如下:

•・•四边形ABC。为正方形，

：.Z.A=Z.B=90°,AB=BC=AD=CD,

'：AE=AH,CF=CG,AE=CF,

：.AH=CG,

：.△AEH=^FCG,

:,EH=FG.

*：AE=CF,

：.AB~AE=BC-CF,BPBE=BF,

•••△EBF是等腰直角三角形，

・•・/BEF=NBFE=45°,

\'AE=AH,CF=CG,

:./AEH=/CFG=45。,

：.NHEF=NEFG=90。,

：.EH//FG,

，四边形EFG”是矩形.

(3)

•・•四边形/BCD为正方形，

：.AB\\CD.

*：AE=DGfAEWDG,

・•・四边形AEGD为平行四边形.

：.AD\\EG.

：.EG\\BC.

过点H作HM_L8C,垂足为点M,交EG于点N,

.UN_HO

•・HM-HF，

•：0E:OF=4:5,

设0E=4x,OF=5x,HN=h,则2=叱江，

1620

.".h=4(4—x).

:・S=1•OF•W/V=1-4x-4(4-x)=-8(x-2)2+32.

・•・当戈=2时，△OEH的面积最大，

：.OE-4x-8一！EG-OG,OF-5x-10--HF-OH,

22

・•・四边形"GH是平行四边形.

【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段

成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综

合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用.

2.（2022•山东东营•中考真题）△A8C和△ADF均为等边三角形，点£、。分别从点A,8同

时出发，以相同的速度沿48、BC运动，运动到点3、C停止.

备用图

⑴如图1,当点E、。分别与点A、8重合时，请判断:线段CD、EF的数量关系是,

位置关系是____________;

(2)如图2,当点E、。不与点A,B重合时，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给予

证明：若不成立，请说明理由；

⑶当点。运动到什么位置时，四边形CEFO的面积是△A8C面积的一半，请直接写出答案;

此时，四边形8DE户是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

【答案】(DC。=EF,CD//EF

(2)CD=EF,CD//EF,成立，理由见解析

(3)点。运动到的中点时，团BOEF是菱形，证明见解析

【分析】(1)根据△。和A/DF均为等边三角形,得至I」AF=AD,AB=BC,N"Q=NA8C=60。,

根据E、D分别与点A、B重合，得到AB=AD,EF=AF,CD=BC,NFAD=NFAB,推出CD=EF,

CD//EF,

(2)连接/汜根据N必D=NB4C=60。，推出N/^B=ND4C,根据AB=AC,推出

△AFBQ4ADC,得至IJN4BF=NACO=60。，BF=CD,根据AE=BD,推出BE=CD,得至ljBF=BE,

推出正是等边三角形，得至ZFEB=60°,推出C£>=ERCD//EF；

(3)过点E作EG_L8C于点G,设ZkABC的边长为a,AD=h,根据48=8C,BD=CD=\BC=

)，BD=AE,推出根据A8=AC,推出AD_L8C,得至ljEG〃A。，推出

〉EBGSBABD,推出黑=笠=：,得到EG=UD=%根据CD,CD//EF,推出四

边形CEFO是平行四边形，推出SCEFO=CD-EG=^a^h=^^ah=齐-时根据EF=BD,

EF//BD,推出四边形8QE”是平行四边形，根据3F=斯，推出团80EF是菱形.

(1)

•:△48。和4力。尸均为等边三角形，

：.AF=AD,AB=BC,ZFAD=ZABC=60°,

当点石、。分别与点48重合时，AB=AD,EF=AF,CD=BC,NFAD=NFAB,

：,CD=EF,CD//EFx

故答案为：CD=EF,CD//EF；

(2)

CD=EF,CD//EF,成立.

证明：

连接BF,

丁ZFAD=ZBAC=60°f

：.NFAD-NBAD=NBAC-/BAD,

即NRB=ND4C,

VAF=AD,AB二AC,

哈△AOC(SAS),

AZABF=ZACD=60°rBF=CD,

\'AE=BD,

：,BE=CD,

:・BF=BE,

•••△8尸E是等边三角形，

:.BF=EF,ZFEB=60°,

:・CD=EF,BC〃EF,

即CD〃EF、

：.CD=EF,CD//EF；

(3)

如图，当点。运动到AC的中点时，四边形CEFD的面积是△力8C面积的一半，此时，四边

形BDEF是菱形.

证明：

过点E作EG_LKC于点G,设AAAC的边长为AD=h.

*：AB=BC,BD=CD=扣C=土，BD=AE,

：.AE=BE=-AB,

2

*：AB=AC,

：.ADLBC,

C.EG//AD,

:・AEBGS&ABD,

•.•EG—BE―1,

ADAB2

：.EG=^AD=

由（2）知，CD=EF,CD//EF,

・•・四边形CEFQ是平行四边形，

•••S四边形CEFD=C。，EG=*八=4•=^S-BC，

此时，EF=BD,EF//BD,

・•・四边形BO石尸是平行四边形，

■:BF二EF,

・••团8DEF是菱形.

【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的

判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角

形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和

性质，菱形的判定.

3.（2022•辽宁鞍山•中考真题）如图,在AjBC中,AB=AC,3比42=120。，点。在直线AC

上，连接8D,将DE绕点。逆时针旋转120。，得到线段DE,连接BE,CE.

（2）当点。在线段AC上（点。不与点4C重合）时，求啜的值；

AD

（3）过点力作4NIIDE交B。于点N,若AD=2CD,请直接写出g的值.

Cc

【答案】（1）证明见解析；

⑵百

【分析】(I)作于”，可得BC=2BH,进而得出结论；

(2)证明△/W3QS/XC8E,进而得出结果；

(3)当点。在线段AC上时，作BP_LAC,交CA的延长线于尸，作AGJ_8。于G,设AB

=AC=3a,则AO=2a,解直角三角形8OF,求得8。的氏，根据△D4GsZ\OB/求得AQ,

进而求得AN,进•步得出结果；当点。在AC的延长线二时，设A3=AC=2a,则4)=4〃，

同样方法求得结果.

(1)

证明：如图1，

图1

作AH_L8c十H,

*：AB=ABf

：.ZBA//=ZC4//=-Z2BAC=-2xl20°=60°,BC=2BH,

:・BH考AB,

：,BC=2BH=>/3AB；

(2)

解：*：AB=AC,

由(i)得，北=VI

D

同理可得，

NQ3£=30。，—=V3,

工/ABC-NDBC=/DBE-/DBC,

/.NABD=/CBE,

AABDSACBE,

(3)

：如图2,

当点。在线段AC上时，

作B凡LAC,交C4的延长线于凡作AGJ_BZ）于G,

设A8=4C=3a,则4。=2。，

由（1）得，CE=V3AD=2V3a,

在maABF中，ZBAF=\SO°-ZBAC=60°,AB=3a,

AF=3a・cos60°=-a>BF=3tz*sin600=—a,

22

Q7

在R/ZkBO尸中，DF=AD-\-AF=2a+-a=-a,

22

BD=JB『+D『=J律of+《of=ga,

VZ/\GD=ZF=90%4ADG=NBDF,

：,ADAGs△DBF,

.AG_AD

••，

BFBD

・4G_2a

,,早@—同£

.3凡

・•AAGr=-7=a,

V19

〈ANIIQE,

，ZAND=ZBDE=120°,

・•・NANG=60°,

....AG3626m

..AN=------=-i=a=-------a,

sin60°g百19

・竺__^_a_V57

'*CE-275a-~19f

如图3,

当点。在AC的延长线上时,

设人B=4C=2a,则AO=4”,

由（1）得，

CE=V3AD=4岛，

作BRJLCA,交CA的延长线于R,作AQ_L8D于Q,

同理可得，

AR=a,BR=y/3a,

:・BD=J（6a?+（5Q）2=?用Q,

,AQ__4a

**V3a-2\[7a

:,AQ=^a,

....27324

••4N=^Q・石=石原

•AN为V21

••-=--=-------9

CE4\Ga21

综上所述：黑的值为粤或等.

CCAz/JL

【点睛】本题j考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解宜角三角形等知识,

解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力.

4.（2022♦浙江衢州•中考真题）如图,在菱形A8CQ中,AB=5,8。为对角线.点£是边AB

延长线上的任意一点，连结OE交8c于点F,BG平分乙CBE交DE于点、G.

备用图1备用图2

（I）求证：Z-DBG=90°.

(2)若80=6,DG=2GE.

①求菱形/BC。的面积.

②求tan，BDE的值.

(3)若=当乙。48的大小发生变化时(0。。口48Vl80。)，在4E上找一点7,使GT为

定值，说明理由并求出ET的值.

【答案】(1)见解析

⑵①24,可

(3)£T=F，理由见解析

【分析】(1)由菱形的性质可证得NC8O=N48O=gNA8C,由BG平分/C8E交DE于点G,

得到NCBG=NE8G=：NCBE,进一步即可得到答案；

(2)①连接AC交8。于点。心△QOC中，OC=7CD2-ODy'-3?=4,求得AC=8,

由菱形的面积公式可得答案；②由“GMC,得到器=罂=；,DH—HG,QG—2QH,又由

DG=2GE,得至ljEG=Q4=”G,则丝二二，再证明△COHsaAE”，CH=-AC=~,OH=

EH233

OC-CT=4-1=p利用正切的定义得到答案；

(3)过点G作G71I8C,交AE于点、T,△BGE^/XAHE,得AB=8E=5,则EG=GH,再

证仆DOHS&DBG,得DH=GH=EG,由乙EGTs^EDA得生=-=GT=-,为定值，

ADEA33

即可得到E7的值.

(1)

证明：•・•四边形4BCO是菱形，

:・BC=DC,ABWCD,

/./BDC=/CBD,ZBDC=/ABD,

/.4CBD=ZABD=-ZABC,

2

•・・BG平分/CBE交DE于点G,

ZCBG=ZEBG=-ZCBE,

J2

：•/CBD+/CBG=W(NA8C+NC8E)=-xl80°=90°,

22

・•・NO8G=90。；

(2)

解：①如图1,连接AC交8。于点O,

D

图1

•・•四边形ABC。是菱形，BO=6,

,\OD=-BD=3,ACA.BD,

2

・・・NOOC=90。，

在RdOOC中，OC=\/CD2-OD2=V52-32=4,

・・・AC=2OC=8,

'S菱形ABCD=JCxBD=-x8x6=24,

即菱形A8CD的面积是24.

图2

•・•四边形ABC。是菱形，

：.AClBDf

•/N。8G=90。

:.BG上BD,

•MGIIAC,

.DHDO1

,,丽二访二

:.DH=HG,DG=2DH,

•:DG=2GE,

:・EG=DH=HG,

.DH1

*'EH-2，

VABIICD,

/.ZDCH=EAH,ZCDH=ZAEH,

•'△COHS/XAEH,

.CHDH1

••—―,

AHEH2

，tan/BOE=^=士

OD9

(3)

如图3,过点G作G7118c交AE于点。此时ET=£.

理由如下：由题（1）可知，当的大小发生变化时，始终有/3GIIAC,

：,4BGEs丛AHE,

.EG_BE

・・布—布’

•：AB=BE=5,

:・EG=GH,

同理可得，△DOH^ADBG,

,DH_DO

**GW-

•:BO=DO,

:・DH=GH=EG,

VG71IBC,

：.GT\\AD,

:・XEGTs4EDA,

,,GT—_EG-ET―1

**AD-ED~EA_31

f：AD=AB=5,

/.GT=1,为定值，

此时£T=UE=*（人8+BE）=—.

333

【点睛】此题主要考兖了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数

等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

5.（2022•山东枣庄•中考真即）已知△A8C中，N4C'8=9（）。，AC'=8C'=4cm,点夕从点A

出发，沿A8方向以每秒&cm的速度向终点8运动，同时动点。从点B出发沿8c方向以

每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为/秒.

⑴如图①，若PQ_LBC,求/的值;

（2）如图②，将4〃QC沿6c翻折至△PQC,当，为何值时，四边形QPCP'为菱形？

【答案】（1）当，=2时，PQLBC

（2）当，的值为g时，四边形QPC产为菱形

【分析】（1）根据勾股定理求出48,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

（2）作P01BC于D,PELAC^E,证明出AA8C为直角三角形，进一步得出A4PE和"8。

为等腰直角三角形，再证明四边形PECD为矩形，利用勾股定理在收△「（?£1、RtAPDQ中,

结合四边形QPCP'为菱形，建立等式进行求解.

【详解】（1）解：（1）如图①，

VZACB=90°,AC=BC=4cm,

AB=y/AC24-BC2—V42+42=472(cm),

由题意得,AP=y/2tcm,BQ=tcmt

则BP=(4或-V2z)cm,

*：PQLBC,

・・・NPQB=90。，

：,ZPQB=ZACB,

：.PQ\\ACf

乙BPQ=Z-BAC

T/BQP=乙BCA'

BPQ〜匕BAC,

.BP_BQ

••"，

BABC

.4鱼一、喙_t

_472一Z'

解得：f=2,

，当£=2时,PQLBC,

(2)解：作PD_LBC于。，PEJL/1C于E,如图,

AP=x/2t,BQ=tcm,(0<t<4)

zC=90°,AC=BC=4cm,

AABC为直角三角形，

:.Z.A=Z.B=45°,

A4PE和APBD为等腰直角三角形，

/.PE=AE=—AP=tern,BD=PD,

2

CE=AC-AE=(4—t)cm,

•••四边形PEC。为矩形，

:.PD=EC=(4—t)cm.

••・BD=(4—t)cm,

•••QD=BD-BQ=(4—2t)cm,

在RtAPCE中，PC2=PE2+CE2=t2+(4-t)2,

在Rt△POQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)24-(4-2t)2,

•・•四边形QPCP'为菱形,

:.PQ=PC,

22

At+(4-t)=(4-£)24-(4-2t7，

•••ti=Pt2=4(舍去).

.•"的值为:.

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂

直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

6.(2022•江苏南通•中考真题)如图,矩形23CD中,48=4,20=3,点E在折线BCD上运

动，将4E绕点A顺时针旋转得到AF,旋转角等于28/1。，连接CF.

(备用图)

⑴当点正在BC上时，作尸M1/C,垂足为M,求证/M=4B；

(2)当力E=3或时，求CF的长；

(3)连接D几点E从点B运动到点。的过程中，试探究。产的最小值.

【答案】(1)见详解

⑵g或g

(3)1

【分析】(1)证明即可得证.

(2)分情况讨论，当点E在8c上时，借助△力8E三△AM凡在Rt△CMF中求解；当点E

在CQ上时，过点E作EG_LA8于点G,FH上AC于点H,借助△AGEAH尸并利用勾股

定理求解即可.

(3)分别讨论当点E在BC和CO上时，点”所在位置不同，。尸的最小值也不同，综合比

较取最小即可.

(1)

如图所示，

由题意可知，/-AMF=Z5=90\^BAC=Z.EAF,

•••Z.BAE=Z.MAF,

由旋转性质知：AE=AF,

在△48E和/中，

乙B=Z.AMF

{Z,BAE=Z.MAF,

AE=AF

ABE=△AMF,

.-.AM=AB.

B

D

(2)

当点石在BC上时，

在RtaABE中，AB=4,AE=3\/2,

则BE=y/AE2-AB2=&,

在Rt△力BC中，AB=4,BC=3,

则AC=7AB2+8c2=5,

由(1)可得，MF=BE=显，

在RtACM产中，MF=0CM=AC-AM=5-4=1,

则CT=y/MF2+CM2=5

当点石在。。上时，如图，

过点石作EG_LA8于点G,"/_LAC于点〃，

同（1）可得△AGE三△4夕凡

FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2,

由勾股定理得CF=V32+22=V13：

故。尸的长为火或万.

（3）

如图I所示，当点E在BC边上时，过点。作CH1FM于点H,

由（1）知，乙AMF=90°,

故点尸在射线例〃上运动，且点尸与点〃重合时，。”的值最小.

在ACM/与△S4中，

/.CM]=/.ADC

=Z/1CD,

：,Rt△CMJ〜Rt△CDA,

CM_MJ_CJ

**CD~AD~ACf

即.•一=巴=幺，

435

=£0=京

DJ=CD-CJ=4-合；

在△CM/与△川〃中，

=乙DHJ

=LDJH'

•••RtACMJ〜RtADHJ,

CM_CJ

"DH~Dj'

即京=

DH=2,

故DF的最小值去

如图2所示，当点E在线段CZ）上时，将线段A。绕点4顺时针旋转乙B4C的度数，得到线

段AR,连接/R,过点。作DQ1AR,DK上FR,

由题意可知，LDAE=Z.RAF,

在△AR尸与△AOE中，

AD=AR

{LDAE=^RAF,

AE=AF

ADE=△ARF,

Z.ARF=/.ADE=90°,

故点尸在R”上运动，当点尸与点K重合时，。产的值最小；

由于DQ1AR,DK1.FR,LARF=90°,

故四边形。QRK是矩形；

DK=QR,

AQ=AD-cosZ-BAC=3x|4=y12,

vAR=AD=3,

DK=QR=AR-AQ=3-=1，

故此时。尸的最小值为I；

由于《V?，故。尸的最小值为；

图2

【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股

定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用.

7.（2022・山东前泽・中考真题）如图I,在△48C中，=45。,4。8C于点在。人

上取点E,使DE=OC,连接8E、CE.

图1图2图3

⑴直接写出CE与的位置关系；

（2）如图2,将^BED绕点D旋转,得到△BED（点B,。分别与点B,£对应），连接C0、力8',

在ABED旋转的过程中CE'与"9的位置关系与（I）中的CE与AB的位置关系是否一致?请

说明理由；

⑶如图3,当ABED绕点D顺时针旋转30。时，射线CdAD.A夕分别交于点G、F,若CG=

FG,DC=V3,求的长.

【答案】（1）CEJ_A从理由见解析

（2）一致，理由见解析

（3）573

【分析】⑴由等腰直角三角形的性质可得/ABC=ND4B=45。，/DCE二/DEC=/AEH=45°,

可得结论；

（2）通过证明△40夕三△CO。，可得匕DAB'=tDCE',由余角的性质可得结论：

（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得84D,即可求解.

【详解】（1）如图，延长CE交AB于"

AZADC=ZADB=90°,ZABC=ZDAB=45°,

•:DE=CD,

,NDCE=NDEC=/AEH=45。,

/.ZBHC=ZBAD+ZAEH=90°,

：.CE±AB；

（2）在△BED旋转的过程中CE'与力夕的位置关系与（1）中的CE1与4B的位置关系是一致

的，理由如下：

如图2,延长CE'交48'于“，

图2

由旋转可得：CD=DE\BrD=AD,

*：/AQC=/AQ8=90。，

：.Z.CDE'=^ADB'f

,,CD_AD_

•DE7-DB7-’

•••△40夕〜△CD口，

•••LDAB'=乙DCE',

VzDCFz+ZDGC=90o,^DGC=ZAGH,

：,ZDAB'+ZAGH=90%

・•・N4〃C=90°,

•••CE'14)；

(3)如图3,过点。作0"_1力8'于点H,

图3

,/丛BED绕点D顺时针旋转30°,

・•・乙BDB'=30°,BD'=BD=AD,

•••Z.ADB1=120。,4048'=Z.AB'D=30°,

vDHLAB1,AD=B'D,

:・AD=2DH,AH=6DH=B，H,

：.AB'=y[3AD,

由（2）可知：4ADB'fCDE',

•••z.DABr=乙DCE'=30°,

VADIBC,CD=W，

：.DG=\,CG=2DG=2,

：.CG=FG=2,

•••乙DAB'=30。,DH1AB'f

/.AG=2GF=4,

：.AD=AG+DG=4+\=5,

・・・AB'=V3AD=5V3.

【点睛】本题是三角形综合题，考杳了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，

相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键.

8.（2022•辽宁丹东•中考真题）已知矩形4BCQ,点E为直线上的一个动点（点E不与

点8重合），连接AE,以AE为一边构造矩形AE尸G（A.E,F,G按逆时针方向排列），连

接。G.

⑴如图1,当我=票=1时，请直接写出线段班;与线段QG的数量关系与位置关系；

⑵如图2,当*=第=2时，请猜想线段8E与线段QG的数量关系与位置关系，并说明理

由；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接8G,EG,分别取线段8G,EG的中点M,N,连接MN,

MD,ND,若AB=VS,NAEB=45。，请直接写出△MND的面积.

【答案】⑴BE=DG,BE1DG

(2)BE=^DG,BE±DG,理由见解析

(3)SdMNG=2

4

【分析】(1)证明△朋Egz^DAG,进一步得出结论；

(2)证明84ES/XD4G,进一步得出结论；

(3)解斜三角形求得砥=3,根据⑵器=2可得QG=6,从而得出三角形BEG

DC

的面积，可证得△MNOSZXMNG,△MNG与△AEG的面积比等于I：4,进而求得结果.

(1)

解：由题意得：四边形ABC。和四边形4EFG是正方形，

：.AB=AD,AE=AG,/84Q=NE4G=90°,

J/BAD-/DAE=/EAG-ZDAE,

：,ZBAE=ZDAG,

：./^BAE^/\DAG(SAS),

：・BE=DG,/AB—/ADG,

/.NAOG+NAO8=NABE+NADB=90。,

・•・NBDG=90°,

：,BELDG,

(2)

BE=：DG,BE上DG,理由如下：

由(1)得：ZBAE=ZDAG,

..把=竺=2

*A