考点22 菱形及其综合（原卷版）

考点22菱形及其综合菱形作为特殊平行四边形中的一个，在中考数学中的重要性不用多说，而且因为其性质的特殊性，菱形也常和其他几何考点结合出题。菱形的考察类型比较多样，其中选择、填空题常考察菱形的基本性质，综合题中也常单独或者结合出题等方式以压轴题出现，难度也较大。所以考生在这块知识点的复习上，除了熟悉菱形的常见性质和判定外，还需特别注意其应用以及牵涉到的思想方法。菱形的性质菱形的判定菱形与其他几何图形的结合考向一：菱形的性质菱形的性质菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角菱形既是轴对称图形又是中心对称图形菱形的面积等于对角线乘积的一半1．如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点B的坐标为（4，m），点D的坐标为（n，2），则m+n的值为（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣62．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°3．如图，菱形ABCD中，E是边AB的中点，F是边AD上一点，连接CE，EF．若AE＝3，EF＝2AF＝4，则CE的值为（）A．4 B．5 C．6 D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝16，AC＝12，E是BC的中点，连接OE，则OE的长为．5．如图，在由相同的菱形组成的网格中，∠ABC＝60°，小菱形的顶点称为格点，已知点A，B，C，D，E都在格点上，连接BD，BE，tan∠EBD的值为．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以点D为圆心，适当长为半径作弧，交BA所在直线于点M、N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接DP交BA延长线于点E，连接OE，若AB＝，OE＝，则DE的长为．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝10，AC＝12．（1）求BD的长；（2）求sin∠ABC的值．8．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：BF＝DE；（2）分别延长BE、AD交于点G，若∠A＝45°，AB＝10，求线段DG的长．考向二：菱形的判定菱形的判定有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线平分一组对角的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．对角线垂直 B．两对角线相等 C．两对线互相平分 D．两对角线互相垂直平分2．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（）A．OE＝OF B．AE＝CF C．EF⊥AC D．EF＝AC3．如图由12根完全相同的小棒拼接而成（图中所有的锐角与钝角互补），请你再添4根与前面完全相同的小棒，使拼接后的图形恰好有5个菱形，不同的添法共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种4．如图，在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABF沿着BE方向平移到Rt△DEC的位置，此时点E恰为边BF的中点，若AE＝2，则四边形AEFD的面积为．5．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是．（填序号）①EG＝EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④FB平分∠EFG；⑤四边形BEFG是菱形．6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线于H，连接CH与DH．（1）求证：△BCE≌△HOE；（2）当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．8．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求∠FAE的度数；（2）求证：四边形CDEF为菱形．

考向三：菱形与几何图形的结合菱形与面积菱形的面积等于对角线乘积的一半，延伸至其他四边形——对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半菱形与等腰三角形菱形的任一条对角线将菱形分成两个等腰三角形菱形与等边三角形当菱形中有一个60°角或者120°角时，连结较短的对角线，可以将菱形分成2个等边三角形菱形与直角三角形菱形的两条对角线可以将菱形分成4个全等的直角三角形，在中点问题中，常和中位线、直角三角形斜边上的中线等性质结合考察1．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（）A．20 B．24 C．40 D．482．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝．3．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．164．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM＝MN＝ND．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，CD＝2OB，E为CD延长线上一点，使得DE＝CD，连结BE，分别交AC、AD于点F、G，连结OG，AE，则下列结论：①∠ABC＝120°；②；③四边形ODEG与四边形OBAG的面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的结论个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形．（2）若DC＝2，BD＝，求四边形AEBD的面积．1．（2022•河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC2．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2022•贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是（）A．40° B．60° C．80° D．100°4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为cm．5．（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形6．（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）7．（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于．8．（2022•鄂尔多斯）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）A． B． C． D．39．（2022•甘肃）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A． B．2 C．3 D．410．（2022•哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为．11．（2022•贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论错误的是（）A．DF＝CE B．∠BGC＝120° C．AF2＝EG•EC D．AG的最小值为12．（2022•德州）如图，线段AB，CD端点的坐标分别为A（﹣1，2），B（3，﹣1），C（3，2），D（﹣1，5），且AB∥CD，将CD平移至第一象限内，得到C′D′（C′，D′均在格点上）．若四边形ABC′D′是菱形，则所有满足条件的点D′的坐标为．13．（2022•鞍山）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为．14．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（）A．4 B．4 C．8 D．815．（2022•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长．16．（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．17．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．1．（2022•乐山）已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为cm2．2．（2022•株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（）A．OB＝CE B．△ACE是直角三角形 C．BC＝AE D．BE＝CE3．（2022•自贡）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（）A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）4．（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（）A．4 B．2 C．2 D．5．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．6 C．12 D．306．（2022•绵阳）如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为（2，3），则图象最低点E的坐标为（）A．（，2） B．（，） C．（，） D．（，2）7．（2022•湖北）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O＝60°，则tan∠ABC＝（）A． B． C． D．8．（2022•呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（）A．3 B．+1 C．2+1 D．2+9．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cosB＝，则FG的长是（）A．3 B． C． D．10．（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是°．11．（2022•达州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为．12．（2022•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝80°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF＝，则BD的长为（结果保留根号）．13．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．14．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为．15．（2022•辽宁）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是．16．（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证：AE＝EF．17．（2022•青海）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．（1）求证：△DCE≌△BCE；（2）求证：∠AFD＝∠EBC．18．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．1．（2022•定西二模）▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD2．（2023•未央区校级三模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（）A．48 B．40 C．24 D．203．（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（）A．6 B． C． D．4．（2023•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（）A．3 B． C．2 D．5．（2023•榆林一模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（）A． B． C． D．16．（2022•枣阳市模拟）如图，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EC，CD，若AB＝BC，那么在以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2022•丛台区校级模拟）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，B、C、G三点在同一条直线上，且∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．8．（2022•丰泽区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝AB，将△ABO沿着BD方向平移BO的长度得到△EOD，连接EC，则cos∠CEO的值为（）A． B． C． D．9．（2022•上海模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，平行四边形BCDE的顶点E在边AB上，连接CE、AD．添加一个条件，可以使四边形ADCE成为菱形的是（）A．CE⊥AB B．CD⊥AD C．CD＝CE D．AC＝DE10．（2023•南海区校级模拟）如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是．11．（2023•雁塔区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接