北师大版九年级上册数学第三次月考试题带答案

北师大版九年级上册数学第三次月考试卷一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cmC．4cm，2cm，1cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm3．如图，反比例函数y=的图象经过点M，则此反比例函数的解析式为（）A．y=- B．y= C．y=- D．y=4．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（）A．5个 B．15个 C．20个 D．35个5．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3cm，BC＝5cm，则矩形EFGH的周长是()A．16cmB．12cmC．24cmD．36cm6．一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（）A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定7．已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°9．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，于点E，连接OE，若，则的度数是（）A．20° B．30° C．50° D．70°10．若是反比例函数，则必须满足（）A．k≠3 B．k≠0 C．k≠3或k≠0 D．k≠3且k≠0二、填空题11．方程的根是_____．12．如图，，平分，为上一点，交于点，于，，则_____.13．如图，在正方形中，，点分别在、上，，相交于.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为______.14．如图，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是.若反比例函数的图象经过点，则此反比例函数表达式中的为_____.15．如图，在矩形中，，为中点，连接.动点从点出发沿边向点运动，动点从点出发沿边向点运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，设运动时间为（秒）.则_____时，为直角三角形16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是形；②当△ABC满足条件时，四边形AFBD是正方形．三、解答题17．先化简，再求值：，其中满足方程.18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．19．小时要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，在上，支点在滑杆上，支杆，求的长度（结果保留根号）.20．暑假到了，即将迎来手机市场的销售旺季．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）40002500售价（元/部）43003000该商场计划投入15.5万元资金，全部用于购进两种手机若干部，期望全部销售后可获毛利润不低于2万元．（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）（1）若商场要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案购进甲乙两种手机？（2）通过市场调研，该商场决定在甲种手机购进最多的方案上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．21．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点与原点重合，、分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点，，反比例函数的图象经过点，．（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出当时，的取值范围；（3）若点在轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．22．（1）学校“圆周率”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在中，点在线段上，，求的长.经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题（如图2）.请回答：_______，______；（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长及四边形的面积.23．如图，在中，，，，，求的长．24．如图，在中，，于点，且，点分别从点向向匀速运动，速度均为;且运动过程中始终保持，直线交于点、交于点、交于点.连接，设运动时间为.（1）当_____时，四边形是平行四边形.（2）连接，，设的面积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值;若不存在，说明理由；（4）连接，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，请直接写出此时的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可得出该方程没有实数根．【详解】解：，，，，一元二次方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．2．A【解析】根据成比例线段的概念解答即可．【详解】根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有A中，1×40＝2×20，四条线段成比例．故选A．【点睛】本题考查了成比例线段的概念．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3．C【解析】试题分析：由图象可知：图象过（-1，2）点，代入得：k=-2，∴y=-．故选C．考点：待定系数法求反比例函数解析式．4．A【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意得：=0.75，解得：x=5，经检验：x=5是分式方程的解，故袋中白球有5个．故选A．【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．5．C【解析】【分析】根据题意求出矩形ABCD的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比求出周长之比，计算即可．【详解】∵AB=3cm，BC=5cm，∴矩形ABCD的周长=2×（3+5）=16cm，∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，∴矩形EFGH的周长为24cm，故选：C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方是解题的关键．6．B【解析】【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是3和7，有三角形的三边关系，3为底，7为腰，可以求出三角形的周长．【详解】解：（x﹣3）（x﹣7）＝0∴x1＝3，x2＝7．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是7，底边是3，周长为：7+7+3＝17．故选：B．【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．7．D【分析】利用待定系数法求出的值即可判断．【详解】点、、都在反比例函数的图象上，，，，，故选：．【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8．A【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故选A．【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．A【分析】根据菱形的基本性质得出∠ABD=∠CDB=20°，然后进一步得出∠EAC的度数，最后根据直角三角形斜边中线性质得出OA=OE，从而进一步得出答案即可.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，AB=BC，AO=OC，∵，∴∠ABD=∠ABC=∠CDB=20°，∴∠OCD=70°，∵AE⊥DC，∴∠EAC+∠OCD=90°，∴∠EAC=20°，∵在Rt△AEC中，AO=OC，∴OE=OA，∴∠OEA=∠EAC=20°.所以答案为A选项.【点睛】本题主要考查了菱形与直角三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.10．D【分析】让比例系数k（k-3）≠0列式求值即可．【详解】∵y＝是反比例函数，∴k（k-3）≠0，∴k≠0且k-3≠0，解得k≠3且k≠0，故选D．【点睛】此题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式y＝（k≠0）；用到的知识点为：两数相乘的结果不为0，两数均不为0．11．，．【解析】方程变形得：x2+2x=0，即x（x+2）=0，可得x=0或x+2=0，解得：x1=0，x2=﹣2．故答案是：x1=0，x2=﹣2.12．【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC=15°，根据平行线的性质可得∠DPO=∠AOP，从而可得PD=OD，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．【详解】解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，又∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=PD=2cm，∵OC为角平分线且PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE=PF，∴PE=PF=2cm．

故答案为2cm．【点睛】此题主要考查：（1）含30°度的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．此题难易程度适中，是一道很典型的题目．13．【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为24，空白部分的面积为12，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【详解】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为∴空白部分的面积为36-24=12，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为，∠CBE=∠DCF，∵∠DCF+∠BCG=90°，∴∠CBG+∠BCG=90°，即∠BGC=90°，设BG=a，CG=b，则，又∵a2+b2=62，∴a2+2ab+b2=36+24=60，即（a+b）2=60，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．14．【分析】作AH⊥x轴于H，如图，利用一次函数图象上点的坐标特征，设A（t，t），利用菱形面积公式得到OC=，则可表示出B（t+，t），然后利用反比例函数函数图象上点的坐标特征可计算出k的值．【详解】解：作AH⊥x轴于H，如图，设A（t，t），由题意，菱形OABC的面积是，∴t•OC=，∴OC=，∴菱形OABC中,OA=OC=∴根据勾股定理:,解得:又∵四边形OABC为菱形，∴AB=，AB∥x轴，∴B（t+，t），而B（t+，t）在反比例函数函数的图象上，∴k=（t+）•t=+1．故答案为：+1．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了菱形的性质．15．或【分析】△CMN是直角三角形时，有三种情况，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°，然后进行分类讨论求出t的值．【详解】解：过点N作OA的垂线，交OA于点F，交CH于点E，如图1，∵B点是CH的中点，∴BH=CH=OA=6，∵AH=OC=8，∴由勾股定理可求：AB=10，∵AN=t，∴BN=10-t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴，∴，∴EN=∴FN=8-EN=，当∠CMN=90°，由勾股定理可求：AF=，∵OM=t，∴AM=12-t，∴MF=AM-AF=12-t-=12-，∵∠OCM+∠CMO=90°，∠CMO+∠FMN=90°，∴∠OCM=∠FMN，∵∠O=∠NFM=90°，∴△COM∽△MFN，∴，∴，∴t=，当∠MNC=90°，FN=∴EN=∵MF=12-∴CE=OF=OM+MF=12-∵∠MNF+∠CNE=90°，∠ECN+∠CNE=90°，∴∠MNF=∠ECN，∵∠CEN=∠NFM=90°，∴△CEN∽△NFM，∴，∴，

∴，

∵0＜t＜5，∴；当∠NCM=90°，

由题意知：此情况不存在，

综上所述，△CMN为直角三角形时，t=或.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性．16．（1）证明见解析；（2）①矩形；②⊿ABC是等腰直角三角形．【解析】试题分析：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．（1）要证明四边形AFBD是平行四边形一组对边平行且相等；（2）①矩形的对角线相等，②正方形对角线相等且垂直．试题解析：（1）∵AF∥BC∴∠AFE=∠ECD，∠FAE=∠CDE又∵E是AD的中点∴AE=DE∴⊿AEF≌⊿DEC∴AF=DC又∵D是BC的中点∴DB=DC∴AF=DB又∵AF∥BC∴四边形AFBD是平行四边形（2）①矩形；②⊿ABC是等腰直角三角形．考点：1．全等三角形的判定；2．平行四边形的判定；3．矩形和正方形的判定．17．，原式.【分析】先将分式中的分子分母中能进行因式分解的进行因式分解，然后按照分式混合运算法则进行计算，最后整体代入求值.【详解】解：∵满足方程.∴∴原式=1.【点睛】本题考查分式的混合运算，分子分母中能进行因式分解的先进行因式分解是解题关键.18．（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）【详解】分析：（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．详解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°，故答案为200、81°；（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，补全图形如下：由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，故答案为微信；（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=．点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．【分析】过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；【详解】过作于，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．20．（1）要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排进货方案是：甲种手机购20部，乙种手机购30部；（2）甲种手机减少5部，毛利润最大为为24500元.【解析】分析：（1）设甲种手机购进x部，则乙种手机购进部，根据总利润不低于2万元建立不等式求出其解即可；

（2）设甲种手机减少m部，毛利润为y元，先求出m的取值范围，根据利润=售价-进价建立函数解析式即可．详解：(1)设甲种手机购进x部，由题意，得解得：∵两种手机数量都为整数，∴x的最大值为20.∴乙种手机应该购进(155000−4000×20)÷2500=30部，∴要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案是：甲种手机购20部，乙种手机购30部。(2)设甲种手机减少m部，毛利润为y元，由题意，得解得：y=300(20−m)+500(30+2m)，y=700m+21000.∴k=700>0，∴y随m的增大而增大，∴m=5时，最大利润为24500元.点睛：本题考查了一次函数解析式得运用，解答时构造一次函数的解析式是解题的关键.21．（1）；（2）或；（3）点的坐标是或．【分析】（1）由，将代入求出，得出的坐标，把的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；（2）根据图象即可求得；（3）将代入求出，得出的坐标，求出四边形的面积，求出的值，即可求出的坐标．【详解】（1），，四边形是矩形，，将代入得：，，把的坐标代入得：，反比例函数的解析式是；（2）当时，的取值范围是或；（3）把代入得：，即，，由题意得：，，，点的坐标是或．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，解题关键在于应用性质进行计算．22．（1），10；（2），.【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=10，此题得解；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=10，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解；四边形ABCD的面积等于△ABC和△ADC的面积之和，利用以求的数据求解即可.【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴．又∵AO=8，∴OD=AO=2，∴AD=AO+OD=10．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=10．故答案为：，10．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴∵BO：OD=1：4，∴．∵AO=8，∴EO=2，∴AE=10．∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC，又∵∴AB=2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即102+BE2=（2BE）2，解得：BE=，∴AB=AC=，AD=．在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，

∴CD=．=.【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．23．【分析】根据相似三角形的性质得到∠CDB=∠ABC=90°，求得∠ADB=90°，由于∠A=∠A，推出△ABC∽△ADB，得到比例式，代入数据即可得到结论．【详解】解：∵△ABC∽△BDC，

∴∠CDB=∠ABC=90°，

∴∠ADB=90°，

∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△ADB，∴，即：【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（1）2.5；（2）；（3）；（4）存在，【分析】（1）假设PQCM为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得到AP=AM，列出关于t的方程，求出方程的解得到满足题意t的值；（2）根据PQ∥AC可得△PBQ∽△