第10讲 三角形与全等三角形（压轴题组）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第10讲三角形与全等三角形（压轴题组）1．（2021·江西赣州·九年级期中）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，连接GC，HB．（1）证明：△AHB≌△AGC（2）如图2，连接HG和GF，其中HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？2．（2021·北京市第三十一中学九年级期中）四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．G为DF的中点，连接EG，CG，EC．（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针方向旋转至图2所示位置，在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图1中的△BEF，绕点B顺时针旋转（0°＜＜90°），若BE＝1，AB＝，当E，F，D三点共线时，求DF的长．3．（2021·湖北青山·九年级期中）已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜120），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为．

4．（2021·福建安溪·九年级期中）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．（1）如图1，若n＝1，则DEDF；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）连接EF．①如图2，沿着直线EF折叠，使得点A落在边BC上的D点，求的值（含n的式子表示）；②如图3，EFBC，且，求出n的值．5．（2021·陕西莲湖·九年级期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．问题提出（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是，CE与CB的位置关系是．（2）如图2，当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．问题解决（3）如图3，连湖公园有一块观赏园林区，其形状是一个边长为20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，对角线BD是一条花间小径，现计划在BD延长线上（包括D点）取点P，以AP为边长修建一个等边△APE的娱乐区，放置各类运动娱乐设施，从娱乐区顶点E再修一条直直的小路BE，为了让游客们更轻松愉快地游玩，园区还计划在BE中点处设置一个直饮水点F，求饮水点F到C点的最短距离．6．（2021·陕西·交大附中分校九年级期中）问题研究，如图，在等腰△ABC中，，点、为底边上的两个动点（不与、重合），且．（1）请在图中找出一个与相似的三角形，这个三角形是__________；

（2）若，分别过点、作、的垂线，垂足分别为、，且、的反向延长线交于点，若，求四边形的面积；

问题解决（3）如图所示，有一个矩形仓库，其中米，米，现计划在仓库的内部的、两处分别安装监控摄像头，其中点在边上，点在边上．设计要求且，则的长应为多少米？

7．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝kx＋3分别交x轴、y轴于点A、B，∠BAO＝45°．（1）求直线AB的解析式；（2）点C在x轴负半轴上，连接CB，过点B作BC的垂线交x轴于点P，设点P的横坐标为t，△BAP的面积为S，求S与t之间的函数解析式，（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，延长BC至Q，使BQ＝BP，过点Q作x轴的垂线交x轴于点D，点E为线段CQ的中点，过点E作BQ的垂线交BD的延长线与点F，若EF＝，求Q点坐标．8．（2021·河南·金明中小学九年级期中）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接，，设旋转角为（）．（1）如图1，与的数量关系是___________，与的位置关系是___________；（2）如图2，（1）中和的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．（3）如图3，当点D在线段上时，___________．（4）当旋转角__________时，的面积最大．9．（2021·北京·景山学校九年级期中）在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系为，∠BCE与∠A的数量关系为．（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．10．（2021·山西·九年级期中）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰直角三角形，如图1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC摆在一起，其中直角顶点A重合，延长CA至点F，满足AF=AC，然后连接DF、BE．实践猜想：（1）图1中的BE与DF的数量关系为：，位置关系为：．猜想证明：（2）当△A