2023年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义专题18 直线与方程【艺体生专供-选择填空抢分专题】2024年高考高频考

【艺体生专供一选择填空抢分专题】备战2023年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）

专题18直线与方程

一、考向解读

考向：高考中直线与方程一般不直接考查，而是结合解析几何中圆锥曲线的内容考查，

基础考点是直线的切斜角、斜率、方程和位置关系，以及相关的距离公式等。

考点：直线的斜率，直线的方程、直线平行和垂直

导师建议：掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系，了解直线的斜截式、点斜式和一般式

方程！

二、知识点汇总

1.直线的斜率

（I）二条直线倾斜角。（其中。工90。）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字

母k表示，即Z=tana.

（2）八21sA（4（x，y）、鸟（W，%））.

X2~X\

2.直线的五种方程

（I）点斜式丁-弘=以工-玉）（直线/过点6（玉,凹），且斜率为左）.

（2）斜截式丁二丘+63为直线/在y轴上的截距）.

（3）一般式Ar+B），+C=0（其中A、B不同时为0）.

y-V.X-X.

（4）两点式----=-----（丁产％）（6区，凹）、鸟（七，%）（工产七））.

%一,工2一X

（5）截距式2+；=1（々、。分别为直线的横、纵截距，久匕工0）

ab

3.两条直线的平行和垂直

(1)若4:y='x+4,12:y=#/+62

①1111120kl=GM=。或4、4斜率都不存在，40生；

(2)/j1/2<=>k、k?=-1.

（2）若/|:AX+8［），+G=0,4：A2x+B2y+C2=0,

fA8,—A，4=0

①,、；

'-14。2-4。尸0或。自一。28户0

②卬2OA4+M&=0；

5.点到直线的距离

.|Axn+By（}+C\

d=}2L（点。（。，）'。），直线/：AY+8），+C=°）.

yJA~+B~

【常用结论】

1.两点间距离公式

点A（N，y）到点8（々，%）的距离d为的距离d为d=而荔百m

2.两平行线间的距离公式

两平行直线4：加+8.v+G=0,《：平+By+C?=0间的距离d为d=客"

3.设4：Ax+外+£=。，/2：V+B2y+C2=O（A2,层，&工0）是两条直线，则有:

⑴今瞪十04和4平行;

C

为B22

（2）44+勺与=0=4和垂直.

三、题型专项训练

目录一览

①直线的倾斜角和斜率

②直线的方程

③直线的平行

④直线的垂直

⑤与直线相关的距离公式

高考题及模拟题精选

题型精练，巩固基础

①直线的倾斜角和斜率

1.已知点时倒,6）,点N（l,26）,则直线的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.135。

【答案】B

【分析】先由"（0,6）,即,2网求斜率，再求倾斜角.

（详解】设直线MN的斜率为七则女="；二£_=G.令直线MN的倾斜角为。，则tane=G,0W，＜%,

_n

6=5.

故选：B

2.若直线/经过坐标原点和（3,-3）,则它的倾斜角是（）

A.-45°B.45°C.135°D.45。或135。

【答案】C

【分析】求出直线/的斜率，进而可求得该直线的倾斜角.

【详解】由题意可知，直线/的斜率为=

设直线/的倾斜角为凡则0。4。4180°,显然"90。，所以tan9=-1,得0=135。.

故选：C.

3.已知经过两点（〃?,-2）和（3,2间的直线的倾斜角为手，则〃?的值为（）

A.—B.—C.—5D.—1

33

【答案】C

【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，根据过两点的斜率公式列式求解.

【详解】因为直线的倾斜角为与，所以该直线的斜率为tan==-l.

44

所以迫士盘=一解得〃7=-5.

故选:C.

4.如图,已知直线444的斜率分别为4，占山，则（）

C.&<&<尤D.仁<%<々2

【答案】D

【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】解：设直线444的倾斜角分别为四，%，%，

由题图知，直线4的倾斜角四为钝角，.•・仁<。.又直线44的倾斜角见。3均为锐角，且%>%，

0<ky<k2r<%<k2.

故选：D.

5.设x,y为实数，已知直线的斜率4=2,且A（3,5）,8（x,7）,C（Ty）是这条直线上的三个点，则x+y=

（）

A.4B.3C.-1D.1

【答案】D

【分析】由已知A（3,5）,网为7）,。（-1,），）是斜率攵=2直线上的三个点,进而结合斜率公式，由鲍=晨=2,

得到关于x,），的方程，解方程即可得答案.

【详解】因为A（3,5）,8（乂7）,C（-l,y）是斜率A=2直线上的三个点，

则心=加=2,所以上|=上二=2,解得x=4,>'=-3.贝!x+）=l.

x-3-1-3

故选：D.

6.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图

是间中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个针的间距

|平浦（/=1,2,…，9）均为3.8m,拉索下端相邻两个针的间距|4九|（/=1,2,…，9）均为15m.最

短拉索的针A，满足|OR|=60m,|（M|=80,则最长拉索所在直线的斜率约为（）（结果保留两位

有效数字)

•■

•三

•：

•餐

•：

：

当

。

小

小

桥

O面O

A.±0.47B.±0.45C.±0.44D.±0.42

【答案】C

【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出点A。，儿的坐标，再利用斜率坐标公式及对称性求解作答.

【详解】依题意，以直线4。用。为x轴，直线《％为y轴建立平面直角坐标系，如图，

显然|OA°|=80+9xl5=215(m),\OPW|=60+9x3.8=94.2(m),因此点儿)(215,0),%(0,94.2),

942-0

直线/片的斜率为--f。-0.44,由对称性得直线为岛的斜率为0.44,

U—215

所以最长拉索所在直线的斜率约为±0.44.

故选：C

②直线的方程

7.直线)，=Gx+l的倾斜角为()

A.60B.-60C.30D.-30

【答案】A

【分析】利用直线斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】解：设直线y=6r+l的帧斜角为。，因为直线丫=6'+1的斜率为G，

所以tana=G，又04avl80,所以a=60,故选：A

8.倾斜角为135°,在)，轴上的截距为-1的直线方程是()

A.x-=0B.x-y-1=0C.x+y-1=0D.x+y+1=0

【答案】D

【分析】先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是-1,用斜截式写出直线方程.

【详解】,・•直线倾斜角是135。，・••直线的斜率等于-1,

•・•在y轴上的截距是・1,由直线方程的斜截式得：y=-lxx-1,即y=・x・L

故选：D.

9.直线/：X-2)，+3=0的斜率和在式轴上的截距分别为()

A.g,3B.»-3C.——»3D.——>—3

【答案】B

【分析】由x-2y+3=0可得y=据此可得答案.

【详解】x-2.y+3=0o)，=[+。，则直线斜率为9

22乙

又令产0,则：+1=0nX=-3,故直线在x轴上的截距分别为-3・

故选：B

10.经过点尸(-1,0)且倾斜角为60。的直线的方程是()

A.-75A-y-1=0B.\/3A->1+6—0

C.x/3x-y-x/3=OD.x-百），+1=0

【答案】B

【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；

【详解】由倾斜角为60。知，直线的斜率攵=6,因此，其直线方程为)，-0=6(I+1),即百x-y+石=()

故选：B

11.过点(2,1)和(1,2)直线方程是()

A.y=-x+3B.y=-x+lC.y=x-\D.y=x-3

【答案】A

【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可得解.

【详解】因为直线过点(2,1)和(1,2),

，一1

所以我=「7=-1,所以直线方程为y—2=—lx(x—l),即),=-x+3.

1—2

故选：A.

12.把直线y=2x绕原点逆时针旋转;，再向左平移1个单位，所得的直线方程是()

【答案】B

【分析】由旋转角度求旋转后的直线方程，再由平移方向和距离求平移后的方程.

【详解】直线y=2x绕原点逆时针旋转直线仍然过原点，斜率变为-；，直线方程为

再向左平移1个单位，所得的直线方程为)，=-；(、+1),即y=-9-；.

故选：B

13.已知直线1-2)，+，=0经过点(2「1),则该直线在丁轴上的截距为()

A.；B.——C.2D.—2

【答案】D

【分析】将点(2,-1)代入方程得出/,进而由x=0得出所求截距.

【详解】因为直线工-2)，+/=()经过点(2,-1),所以2+2+E0,解得/=

所以直线方程为X-2)，-4=0,令X=0,得产-2.

故选：D

14.直线限+)，+2=0的倾斜角及在,，轴上的截距分别是()

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

【答案】C

【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.

【详解】直线\/ir+y+2=0化成斜截式y=-2,

可知直线的斜率火=-6,故倾斜角为120。，直线在y轴上的截距为-2,

故选：C

15.直线(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0恒过定点()

A.(-1,3)B.(3.-1)C.(3,1)D.(1,3)

【答案】C

【分析】根据直线系方程求解即可.

【详解】将(2，〃+1)%+(〃？+1)),—7〃？-4=。化为(2工+),-7)〃？+(工+),—4)=0,

联立|2x+.v:7"1,得即直线(2〃?+l)x+(5+1)尸75-4=0过定点(3,1).

x+y-4=o[)'=1

故选：C

16.设直线at+力+c=0(/"0)的倾斜角为。，且sina+cosa=0,则4,〃满足的关系为()

A.a+b=\B.a-b=\C.a+b=0D.a-b=0

【答案】D

【分析】由直线方程可得斜率，得至hana=-£,结合同角三角函数关系可知=-1,由此可整理得到结

bb

果.

【详解】由"+勿+c=0（力工0）得:.=曰¥，.•.tana=_Q,

bbb

又sina+cosa=0,/.tana=-l,即一处二-1,整理可得：a-b=0.

h

故选：D.

③直线的平行

17.直线2i+ay+4=0与直线（〃-1»+），+2=（）平行，则。的值为（）

A.a=（）B.a=—\C.a=2D.a=-1或a=2

【答案】B

【分析】两直线平行或重合，4与-44=（）,解方程并验证是否重合即可.

【详解】直线2x+a），+4=0与直线（a-l）x+y+2=0平行或重合时，

得2x1—。（。―1）=0,解得。=7或々=2,当。=2时，两直线重合，不成立，所以。=一1.

故选：B.

18.已知直线4：2x+@_3=（）与&：W_l）x+），+l=0,若“〃2,则”=（）

A.2B.1C.2或-1D.-2或1

【答案】C

【分析】由两直线平行的等价条件，即可得到本题答案.

2a-3

【详解】因为/他，所以‘7=♦工一，解得。=2或〃=-1.

a-\11

故选：C

【点睹】本题主要考查利用两直线平行的等价条件求值.

19.已知直线4s+2），=0与直线4：x+（a+l）），+4=O平行，则实数〃的值为（）

2

A.-2B.-C.1D.-2或1

【答案】D

【分析】由两直线平行的条件直接列式求解，注意检验是否重合.

【详解】由。3+1）-2=0,解得“=—2或。=1,经过验证满足题意.

故选：D.

20.已知直线[：*+2y-2=0与直线，2：5%+G〃+3)y-5=0,若I1〃4，则加二()

A.-5B.2C.2或-5D.5

【答案】A

【分析】解方程〃K，〃+3)-2X5=0,再检验即得解.

【详解】解：若KO>n(m+3)-2x5=nr+3m-10=(m-2)(m+5)=0,

所以〃?=2或切=-5.当〃?=2时，《4重合，不符合题意，所以舍去；当用=-5时，符合题意.

故选：A

21.“直线2x+a-v-3=0与直线ax+2y+5=0相互平行”是“。=2”的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先通过直线平行的判断公式求出心再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】因为直线23+少-3=。与直线or+2)，+5=0相互平行，

则2x2=axa,解得。=±2,又当。=±2时，两直线均不重合，故。=±2,

所以“直线2x+ay-3=。与直线曲+2)，+5=。相互平行”是“〃=2”的必要不充分条件.

故选：C.

22.已知直线4：(3+m)x+4y=5-3冽,[:2x+(5+m)y=8,则“m=一7”是“《〃f’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】根据两直线平行可求得实数机的值，进而判断可得出结论.

【详解】若"小，贝！|(〃2+3)(，〃+5)=8,即〃?2+8〃?+7=0,解得〃?=-1或-7.

当/〃=-1时，直线4的方程可化为x+2)，=4,直线4的方程可化为x+2y=4,两直线重合，不合乎题意;

当〃?=-7时，直线4的方程可化为2x-2y+13=0,直线乙的方程可化为“-丁-4=0,

此时，两直线平行，合乎题意.因此，“小=-7”是“/J%”的充分必要条件.

故选：C.

④直线的垂直?

23.已知直线I：(3a+2)x+(o-l).y-2=。和4：(〃一l)x+y+l=O互相垂直，则〃的值为()

A.1B.-1C.§土回D.1或-1

2

【答案】D

【分析】利用直线垂直的公式计算即可.

【详解】直线4：(3a+2)x+(a-l)y-2=。和4：(a-l)x+y+l=O互相垂直，

(3〃+2)(a-l)+(a-1)=0,解得々=1或。=一］.

故选：D.

24.“，〃=；”是“直线(〃7+1)X+2〃D：+3=()与直线(加一l)x+(〃?+l)y-l=0垂直”的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】若直线(m+l)x+2g，+3=0与直线(加-1口+(〃?+1))，-1=0相互垂直，

贝+(所1)+2〃?(，〃+1)=0,即(加+1)(3所1)=0,解得切=一1或帆=g,

则“,〃=是“直线(切+l)x+2m)，+3=0与直线(〃I)x+(川+1))，-1=()相互垂直”的充分不必要条件，

故选：B.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系求出〃，的值是

解决本题的关键，属于中档题.

25.“〃=一2”是“直线(。-1■+(片-1)〉+1=0与直线依-2)，-1=0垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用直线一般式的垂直公式列方程求出。，再根据充分性和必要性的概念得答案.

【详解】若直线(。-1)1+(/-1”+1=0与直线⑪-2)，-1=0垂直，

解得a—l或0一-2,又a—l时，直线(al)xI(/1))，"=。不存在，所以〃一一2,

故是“直线（。-1）%+（〃2-1）），+1=0与直线以-2），-1=0垂直”的充要条件，

故选：C.

26.已知直线/的倾斜角为,，直线4经过点A（3,2）和B（«T）,且直线/与《垂直，”的值为（）

A.1B.6C.0或6D.0

【答案】D

【分析】求出直线/与4的斜率，利用两个斜率乘积等于T即可求解.

【详解】因为直线/的倾斜角为手，所以直线/的斜率为tan^=-l,且/与4垂直，

所以直线4斜率存在，

由经过点4（3,2）和8（“-1）,所以直线，斜率为土所以"=],解得：。=0,

。-3a-3

故选：D

27.直线2m一+\，-2=0与直线工-（/-3）），+2=0互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数〃的值为

（）

A.1B.3C.—1D.-3

【答案】C

【分析】根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.

【详解】由直线2公+y-2=0与直线」-（。2-3»+2=0互相垂直,

可得2。-（/-3）=0,解得〃=T或3,

当。=3时，联立6x+V—2=0,解得交点坐标为（S10，914）,不合题意；

x-o,y+2=03737

-2x4-y-2=062

当〃=-1时，联立0,解得交点坐标为（-士-令，合乎题意，故实数a的值为-1,

x+2y+2=055

故选:C

⑤与直线相关的距离公式

28.坐标原点。到直线/：x+y+l=。的距离是（）

A.V2B.2C.；D.—

22

【答案】D

【分析】使用点到直线的距离公式求解.

【详解】o到直线|：“』i=o的距离K）：°十|L坐.

Vl*2+I22

故选：D

29.若点P(3/)到直线，:3x+4y+2=。的距离为()

A.2B.3C.-D.4

2

【答案】B

【分析】直接使用点到直线的距离公式即可.

【详解】由点到直线的距离公式可得d=2凄?=3,

故选：B.

30.若点P(L1)到直线X8s6+ysin&=2的距离为4则d的最大值为()

A.2+V2B.2C.2-V2D.2+2直

【答案】A

【分析】由点到直线距离公式求出距离d,由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函

数性质、绝对值的定义得最大值.

【详解】由题意“=母隼丝g=&sin@+f)-2,易知sin(e+g)=-l时，4a=夜+2.

Vcos26>+sin26>44

故选：A.

31.已知直线/：)，=左(工-2)+2,当攵变化时，点网-1,2)到直线/的距离的取值范围是()

A.[0,2)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)

【答案】D

【分析】确定线/：y=k(x-2)+2过定点A(2,2),且不与X轴垂直，数形结合，即可求得答案.

【详解】由题意知直线/：y=%(."2)+2过定点4(2,2),且不与％轴垂直，

当直线/：)=&"-2)+2经过点尸(—1,2)时，，点P(—1,2)到直线/的距离最小为0,

当过点A(2,2)的直线垂直于*轴时，点P(-1,2)到该直线的距离最大，最大值为3,如图示:

由于/:），=k（x-2）+2的斜率存在，故点6-1,2）到直线/的距富小于3,

即点玫-1,2）到直线/的距离的取值范围是［0,3）,

故选：D.

32.已知直线4"->+1=0和直线/2"-）-3=0,贝必与《之间的距离是（）

A.V213.乎C.2D.2&

【答案】A

【分析】利用平行线间的距离公式计算即可

【详解】由平行线间的距离公式得d==&

故选：A

33.直线4：x—2y—3=O与右：—3x+6y—1=0之间的£巨离为（）

A.拽B.拽C.坡D.6

5315

【答案】B

【分析】先判断4与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.

_3_1

【详解】由-3x+6y-l=0可得x-2.v+|=o,即《与平行，故3与/,之间的距离为3—2、.

#^273

故选：B.

34.已知直线3x+，〃），-3=O与6x+4y+l=0互相平行，则它们之间的距离是（）

A.4B.迤C.也D.巫

132626

【答案】D

【分析】取直线3x+殁-3=0上的定点（1,0）,再计算到6x+4），+l=。的距离即可.

【详解】取直线3x+缈-3=0上的定点（1,0）,则3x+即-3=0到j6x+4y+1=0的距离即（1,0）到

6""+」）的距离为公弊裂77713

452~26

故选：D

35.直线/：x+2）」l=0关于点（1,-1）对称的直线厂的方程为（）

A.2x-y-5=0B.x+2y-3=0C.x+2y+3=0D.2x-y-\=0

【答案】C

【分析】根据直线关于直线外一点（1,-1）的对称直线互相平行可知其斜率，再取/上一点求其关于点（1,-1）的

对称点，即可求出r的方程.

【详解】由题意得，〃/,故设/:x+2y+c=0（cw-l）,

在1上取点41,0）,则点41,0）关于点（1,-1）的对称点是4（1.-2）,所以1+2x（—2）十。=0,即c=3,

故直线「的方程为x+2y+3=0.

故选：C

36.直线/：叙+3），-2=。关于点A（l,l）对称的直线方程为（）

A.4%+3），­4=0B.4x4-3y-12=0

C.4x-3），-4=0D.4x-3y—12=0

【答案】B

【分析】首先设对称直线上任意一点P（x,y）,得到P（x），）关于4（1,1）对称点为（2-乂2-），），再代入直线/

即可得到答案。

【详解】设直线/：4x+3y-2=。关于点A（l,l）对称的直线上任意一点「（看），），

则P（x,y）关于A（l,l）对称点为（2f2-y）,

又因为（2-芭2-），）在41+3打2=0上，所以4（2-力+3（2-丁）-2=0,即4x+3y-12=0。

故选：B

37.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有

趣的数学问题——“将军饮马''问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营,

怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为3（-2,0）,若将军从山脚下的点

A（1,O）处出发，河岸线所在直线的方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总路程为（）

A.V27B.5C.y/\5D.x/29

【答案】D

【分析】设8（-2,0）关于x+），=3的对称点为“），），列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮

马”的最短总路程.

【详解】由8（-2,0）关于x+,，=3的对称点为（x,y）,

x-2y-

~r+2=3[x=3

所以，可得.〈，即对称点为35),又4(1,0)

上=11)'=5

lx+2

所以“将军饮马”的最短总路程为7(3-1)*2+52=V29.

故选：D

⑥多选题与填空题

二、多选题

38.已知Bvl,直线/的方程为才-例-1=0,则直线/的倾斜角可能为()

cC兀-兀c6兀

A.0B.-C.—D.—

727

【答案】CD

【分析】对8分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.

【详解】当8<0时，则直线的斜率为k=焉<。，所以直线的倾斜角可能为华，

当B=0时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为

当0<3<1时，则直线的斜率为4=得>1,所以直线的倾斜角范围为艇卜不可能为。和?

故选：CD.

39.已知直线/经过点。,2)和(2,3),则下列说法正确的是()

A.直线/在两坐标轴上的截距相等

B.直线/的斜率为1

C.原点到直线/的距离为立

2

D.直线/的一个方向向量为〃=

【答案】BC

【分析】由直线/经过的两点坐标，可以求出直线的斜率、直线的方程，利用直线的方程判断选项的正误.

【详解】直线，经过点(1,2)和(2,3),所以直线的斜率2=兴=1,故B正确；

2-I

易得直线的方程为y-2=lx(..l),即x-y+l=(),

令工=0,得y=l,即纵截距为1,令y=0,得4-1,即横截距为-1,故A错误;

原点到直线/的距离d=4==更，故c正确；

V1+12

]_

因为，=-1*1,所以〃='；，；）不是直线/的一个方向向量，故D错误；

-2

故选：BC.

40.下列说法正确的是（）

A.点斜式y-y,=Nx"）可以表示任何直线

B.已知直线/过点*2,3）,且在X,），轴上截距相等，则直线/的方程为X+），-5=0.

C.直线1-2尸4=。与直线2%+＞，+1=0相互垂直.

D.直线丁=4x-2在），轴上的截距为一2

【答案】CD

【分析】根据直线点斜式方程适用的条件即可判断A；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断B；

根据两直线垂直的公式即可判断C；根据直线的斜截式方程即可判断D.

【详解】对于A,点斜式乂=女（厂F）表示斜率存在的直线，故A错误；

对于B,若直线过原点，则勺=；,所以直线方程为），=；公

若直线不过原点，设直线方程为5+?=1（〃工1），将点*2,3）代入解得々=5,

所以直线方程为f-5=0,综上，直线I的方程为f-5=0或）=京，故B错误；

对于C,因为lx2+（-2）xl=0,

所以直线x-2y-4=0与直线2x+y+l=0相互垂直，故C正确；

对于D,直线y=4x-2在y轴上的截距为—2,故D正确.

故选：CD.

41.已知直线小〃a-y+l=0（〃?eR）,小2x-y+3=0,则不列结论正确的是（）

A.直线4过定点（。,1）B.当时，〃!=.g

c.当《〃/2时，〃?=—2D.当4〃4时，两直线人，〃之间的距离为咚

【答案】AB

【分析】不管，〃为何值，当x=0时，y=i,即可判断A；根据两直线垂直的判定即可求得利的值，从而可

判断B；根据两直线平行的判定即可求得用的值，从而可判断C；结合C选项可得两直线的方程，再根据

两直线平行的距离公式即可判断D.

【详解】不管，"为何值，当x=o时，y=i,所以直线4过定点(0,1),故A正确;

当4J.4时，有6x2+(-l)x(T)=0,得，〃=彳，故B正确；

当时,有:二［工?，得，〃=2,故C错误；

2—13

结合C选项知当4〃/?时，m=2,所以直线4：2x-y+l=0,/2：2x-y+3=0,

|3-1|2x/5

所以两平行线间的距离为“一

"2+(一)=5故D错误.

故选：AB.

42.已知直线乙：4x+3y-2=0,/2：(/77+2)x+(/n-l)y-5/n-l=0(〃?eR),则()

直线过定点

A.4(2,3)B.当〃7=10时，/1//12

C.当m=-1时，D.当4〃，2时，两直线4，4之间的距离为3

【答案】ABD

【分析】将直线变形为m(x+y-5)+2x-y-1=0,即可求解定点坐标，进而可判断A,根据两直线垂直和

平行满足的系数关系即可代入加值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.

【详解】A：+2)x+(/?z-1)y-5tn-1=()(/nGR)变形为—5)+2x-y-l=0,

由二.一二；则一；‘因此直线4过定点(2,3)，故A正确；

2x-y-l=0,(y=3,

当〃z=I0时，/,：4x+3y-2=0,/2：12.r+9y-51=0,

所以5=9工1?故两直线平行，故B正确；

14JJ1

当〃?=-1时，/|：4x+3y—2=0,Z2：x-2y+4=0,

因为4xl+3x(-2)工0,故两直线不垂直，故C错误；

当4〃4时,则满足字="=笆二，解得帆二10,此时i：4x+3y-2=0,l2：12x+9y-51=0,

43—2

即4/+3)，-17=。，则两直线间的距离为卜；一(—“：=3,故D正确.

“2+3?

故选：ABD.

43.下述四个结论F确的是()

A.过点8（1,6）与圆/+丁=4相切的直线方程为x+Gy—4=0

B.直线x-y+々=0与圆+y，=1相交的充分不必要条件是k=l

C.直线以+），+1=。表示过点（0,-1）的所有直线

D.过点＞1（1,1）且在坐标轴上截距相等的直线方程是x+y-2=O

【答案】AB

【分析】A选项设过点以1,6）与圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即可，选

项B利用充分不必要条件进行判断即可，选项C利用反例即可验证，选项D分截距为0,或不为0的情况讨

论求出即可.

【详解】对于选项A,设过点8（1，百）与圆/+）,2=4相切的直线方程为：

y-\/3=k(x-\)=>kx-y+y/3-k=0,

由题设得：怛刃=2,即然2+2GA+l=O,解得出=—立，

VTTF3

所以过点8（1,6）与圆/+=4相切的直线方程为％+6），-4=0,故A正确,

则号W1=-夜<k<yf2

选项B,若直线大一＞+左=。与圆/+丁=1相交,

所以k=l是直线x-），+左=。与圆d+）,2=］相交的充分不必要条件，故B正确,

选项C,点（0,-1）在y轴上，但是无论“取何值，直线办+），+1=。不能表示方轴上的直线，故c不正确,

选项D,若截距为。时，设直线方程为y=云,

将点A（l，l）代入y=U得：&=1,所以方程为：x-y=0t

若截距不为。时，设在坐标轴上的截距为加，

则设直线方程为：-+2=1,将点A（l,l）代入得：。=2,

aa

所以所求方程为：工+丁-2=0.故选项口不正确，

故选：AB.

44.已知直线/："—2y—44+1=0,则下列表述正确的是（）

A.当k=2时，直线的倾斜角为45

B.当实数k变化时，直线/恒过点（4,；）

C.当直线/与直线x+2y-4=U平行时，则两条直线的距离为1

D.直线/与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4

【答案】ABD

【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；

B选项，将直线方程整理为左（工-4）+1-2），=0,由此可得直线所过定点；

C选项，由题可得力=-1,后由平行直线距离公式可判断选项；

（1-4^^（1、

D选项，分别令Hy=0,可得直线与y轴，X轴交点为0,—；—,4--,0.

I2JIk

\1一4〃’1A

则围成三角形面积为4--,后由基本不等式可判断选项.

22、k）

【详解】A选项，当攵=2时，直线方程为2工-2），-7=（）,可得直线斜率为1,则倾斜角为45,故A正确;

B选项，由题可得左"-4）+1-25=0,则直线过定点（4,：）,故B正确；

C选项，因直线/与直线x+2y-4=0平行，则:=Q=攵=7,则直线方程为：r-2y+5=0,

一8%+2工8

即工+2y-5=0.贝!]/与直线x+2y—4=0之间的距离为

H+5石

J--------L=当，故C错误;

V12+225

[1-4k）1

D选项'分别令X‘尸°,可得直线与），轴'、轴交点为。，了’4-工

匕竺>0

2

又交点在两坐标轴正半轴，贝U=%<0.故围成三角形面积为

4——>0

不旨4-：=2+（4）+号2+2卜）•弓=4,当且仅当

-4^=」，即左=-!时取等号.即面积最小值为4,故D正确.

-4k4

故选：ABD.

三、填空题

45.若直线x+股-1=。的倾斜角为45。，则实数〃的值为.

【答案】-1

【分析】根据倾斜角与斜率的知识求得正确答案.

【详解】直线的倾斜角为45。，所以直线的斜率为1,则」

a

故答案为：-1

46.已知两直线4：（3+a）x+4y=5-3a与Zj：2x+（5+〃）y=8平行，则。=.

【答案】-7

【分析】判断。=-5不合题意，再根据两直线平行可得斜率相等，列出关于a的等式，求得答案.

【详解】当。=-5时，4：(3+a)x+4y=5—3々为4：r+2y=10,

，2：2x+(5+a))，=8为4/=4,两直线不平行;

故5时，两直线4:(3+。)工+4丁=5-3。与/2：2工+(5+。力=8平行

可得一¥=-4，解得。=7或。=々，

45+。

当〃=一1时，/1:(3+a)x+4y=5-3。即/):x+2y=4,

4：2x+(5+a))，=8即4：x+2y=4,两直线重合，不合题意,

故。=-7,

故答案为：-7

47.过点?(11)且与直线版-)，-1=0垂直的直线方程.

【答案】x+3y-4=()

【分析】根据题意设出和已知直线垂直的方程为x+3)，+c=0,代入点的坐标可求出％即可得到所求直线

方程.

【详解】与直线3x-y-1=0垂直的直线方程可设为x+3y+c=0,

因为点(1,1)在所求直线上，贝IJl+3+c=0,所以c=T,所以所求直线为x+3y-4=0.

故答案为：x+3y-4=0.

48.已知直线乙：3x+4»，+2=0,%：3x+4y+5=0,则乙与。之间的距离为,

【答案】|3

【分析】由两平行线间的距离公式即可求得.

|2-3「3

【详解】由题意可知4与4平行，由平行间的距离公式可得4=

73^5

3

故答案为：-

49.直线/'与直线x+3y+l=0关于点例(2/)对称，则直线〃的方程为.

【答案】x+3y-ll=。

【分析】由题意可知，直线/'应与直线x+3y+l=。平行，可设直线方程为x+3)，+m=0("?#l),由于两条

至直线关于〃点对称，可通过计算点加分别到两条直线的距离，通过距离相等，即可求解出〃7,完成方程

的求解.

【详解】解：由题意可设直线/'的方程为x+3），+m=0（〃yl）,

悟+3+川|2+3+1|

解得/"=_]1或〃?=1（舍去），

4+32712+32，

故直线/'的方程为x+3y-ll=o.

故答案为：x+3y-ll=0.

50.直线依7-八2=0经过的定点坐标是

【答案】（1,2）

【分析】将直线方程化为点斜式方程判断即可.

【详解】解：将——+2=0化为点斜式方程得3，-2=心-1）,

所以，直线"-）-4+2=0经过的定点坐标为（1,2）

故答案为：0,2）

四、高考真题及模拟题精选

一、单选题

1.（2021.全国•高考真题）点（3,0）到双曲线，-卷=1的一条渐近线的距离为（

)

BD

A.I-I0I-I

【答案】A

【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：--^=0,即标±4），=0,