新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第12讲 指数函数（原卷版）

第12讲指数函数【基础知识网络图】指数与指数函数指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与性质指数的概念【基础知识全通关】一、指数与指数幂的运算1．根式（1）SKIPIF1<0次方根的概念与性质SKIPIF1<0次方根概念一般地，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.性质①当SKIPIF1<0是奇数时，正数的SKIPIF1<0次方根是一个正数，负数的SKIPIF1<0次方根是一个负数.这时，SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根用符号SKIPIF1<0表示.②当SKIPIF1<0是偶数时，正数SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数SKIPIF1<0的正的SKIPIF1<0次方根用符号SKIPIF1<0表示，负的SKIPIF1<0次方根用符号SKIPIF1<0表示.正的SKIPIF1<0次方根与负的SKIPIF1<0次方根可以合并写成SKIPIF1<0.负数没有偶次方根.③0的任何次方根都为0，记作SKIPIF1<0.（2）根式的概念与性质根式概念式子SKIPIF1<0叫做根式，这里SKIPIF1<0叫做根指数，SKIPIF1<0叫做被开方数.性质①SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0.③当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0.【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂（1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是SKIPIF1<0.于是，在条件SKIPIF1<0下，根式都可以写成分数指数幂的形式.②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数SKIPIF1<0，均有下面的运算性质：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.（3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数.一般地，无理数指数幂SKIPIF1<0是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.二、指数函数的图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数SKIPIF1<0叫做指数函数，其中SKIPIF1<0是自变量，函数的定义域是SKIPIF1<0.【注】指数函数SKIPIF1<0的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.2．指数函数SKIPIF1<0的图象与性质SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象定义域SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0奇偶性非奇非偶函数对称性函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称过定点过定点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调性在SKIPIF1<0上是减函数在SKIPIF1<0上是增函数函数值的变化情况当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0底数对图象的影响指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b.①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明；底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如SKIPIF1<0的函数的定义域就是SKIPIF1<0的定义域．求形如SKIPIF1<0的函数的值域，应先求出SKIPIF1<0的值域，再由单调性求出SKIPIF1<0的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．求形如SKIPIF1<0的函数的值域，要先求出SKIPIF1<0的值域，再结合SKIPIF1<0的性质确定出SKIPIF1<0的值域．(2)判断复合函数SKIPIF1<0的单调性令u=f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的单调性相同，那么复合后的函数SKIPIF1<0在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数SKIPIF1<0在[m，n]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子SKIPIF1<0与f(−x)的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．提示c>d>1>a>b>0.【考点研习一点通】考点01指数运算、化简、求值1.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值。2.计算下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.3．计算：SKIPIF1<0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))0＋eq\r(4,3－π4)＋SKIPIF1<0＝______.4．计算：SKIPIF1<0＝________.(a>0，b>0)5．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝________.6．已知SKIPIF1<0则a，b，c的大小关系是________．考点02指数函数的图象及应用7.(多选)已知实数a，b满足等式2021a＝2022b，下列等式可以成立的是()A．a＝b＝0 B．a<b<0C．0<a<b D．0<b<a8.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．9.(2022·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()10.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0考点03指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小11.若2x－2y<3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<012.[高考改编题]若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0 B．a－b≥0C．a－b≤0 D．a＋b≥0命题点2解简单的指数方程或不等式13.(1)若SKIPIF1<0，则函数y＝2x的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞)14.已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______．命题点3指数函数性质的综合应用15.(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．(2)不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________．【考点易错】易错01根式、指数幂的化简与求值【典例1】镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学【典例2】计算：21【变式1】1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－2.计算：×0＋×－＝________.易错02：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知x+x−1=3【典例4】设，求的值．【变式3】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）易错03：指数函数的图象

【典例5】如图，①②③④中不属于函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个是（）A．① B．② C．③ D．④【典例6】函数y＝ax－SKIPIF1<0(a>0，且a≠1)的图象可能是（）A． B．C． D．易错04：指数函数的性质及其应用【典例7】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例8】（2021·北京高三其他模拟）已知函数SKIPIF1<0则不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例9】函数的值域是_________.【典例10】已知函数的图像经过点，（1）求值；（2）求函数的值域；【巩固提升】1．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()3.已知函数SKIPIF1<0的定义域和值域都是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____________.4.下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.15．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]6．与函数y＝(a－1)x2－2x－1在同一个坐标系内的图象可能是()7.已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2cD．2a＋2c<28.函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－x2的值域为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．(0,2]9.设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010.已知函数SKIPIF1<0，则fx是A．奇函数，且在R上是增函数B．偶函数，且在0,+∞上是增函数C．奇函数，且在R上是减函数D．偶函数，且在0,+∞上是减函数11.若函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012.函数SKIPIF1<0的值域为________．13．已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图象过定点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为_______.14．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=__________.15．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1