731离散型随机变量的均值（精练）

7.3.1离散型随机变量的均值（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元【答案】B【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）故选：B2．（2022秋·北京顺义·高二统考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3【答案】D【详解】解：依题意可得，解得，所以；故选：D3．（2022秋·北京大兴·高二统考期末）已知离散型随机变量的期望，则等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】解：因为，所以.故选：C.4．（2022·高二课时练习）若离散型随机变量的分布列如下表，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由期望的计算公式，可得．故选：D5．（2022·高二课时练习）为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】记抽到自己准备的书的学生人数为X，则X的可能取值为0，1，2，4，；；；，则．故选：B．6．（2022秋·陕西咸阳·高二校考期末）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为，故，又，故，解得，当且仅当，即时等号成立.故选：B.7．（2022春·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】X的所有可能取值为1,2,3，，，，由，解得或，又因为，所以.故选：A.8．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,,,因为,所以故选：D二、多选题9．（2022秋·河北承德·高二校联考阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表所示．若，则（

）X01PmnA． B． C． D．【答案】AC【详解】依题意得，解得，，，故选：AC．10．（2022·高二单元测试）为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在某市中小学中随机抽取了10所学校，这10所学校中了解这个项目的人数如图所示.若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（

）A．X的取值范围为 B．C． D．【答案】BC【详解】由题意知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，故X的取值范围为，故A错误；由此可得,故B，C正确；又，故，故D不正确，故选：BC三、填空题11．（2022春·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）马老师从课外资料上抄录了一个随机变量的分布列如下表：请小牛同学计算随机变量的数学期望尽管“”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能判定这两个“”处的数值相同，据此，小牛同学给出了正确答案．即______．【答案】【详解】设，则，.故答案为：.12．（2022·全国·高三专题练习）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其平均每月参与马拉松训练的天数进行统计，得到下表：平均每月参与马拉松训练的天数x人数105040依据上表，用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取3人，记抽取的3人中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为Y，则___________.【答案】65##1.2【详解】用分层随机抽样的方法从这100人中抽取10人，其中“平均每月参与马拉松训练的天数不少于20”的人数为，随机变量Y的取值范围为，，，，，所以.故答案为：四、解答题13．（2022春·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.(1)分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)；.(2)分布列见解析，.【详解】（1）设“3轮获胜”为事件，“5轮获胜”为事件，3轮：白黑黑：，黑白黑：，所以，先摸球者3轮获胜的概率为若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白：，白黑白白：，白白黑白：，白白白黑：，所以，先摸球者5轮获胜的概率为（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为.X的所有可能取值为：0､1､2､3，，，，，所以X的分布列为：X0123P则.14．（2022·河南开封·统考一模）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为．(1)求的值；(2)记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为，求的分布列与期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【详解】（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为，所以，解得．（2）设表示事件“甲在两轮中猜对个成语”，表示事件“乙在两轮中猜对个成语”，根据独立性假定，得，，，，，，的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．15．（2022春·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）某校为丰富同学课余生活，活跃校园气氛，促进年级之间的友好关系，决定在高二､高三之间进行知识抢答赛，比赛规则如下：每个年级选出3名同学参加比赛，第一场比赛从两个年级的3名同学中各出1人进行抢答，失败者淘汰，失败者所在年级的第二名同学上场，以此类推，直至一方年级的3名同学全部淘汰，比赛结束.已知每个年级的3名同学之间已经排定好比赛顺序，且每个同学在每场比赛中胜利或失败的概率均为.(1)求比赛结束时刚比赛完第四场的概率；(2)已知其中一个年级的同学甲排在第二个上场，求甲所参加的比赛场数的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）打完第四局结束,则赢的一方只能输一局且只能为前三局设比赛结束时刚比赛完第四场为事件（2）设甲参加的比赛场数为,可能的取值为.当时,当时,当时,当时,的分布列为则随机变量的分布列为：X0123P则数学期望为．B能力提升16．（2022春·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知某种零件成箱包装，件一箱.为了保障零件的质量，每箱零件在交付用户之前，需对零件的安全指标进行检验，如检出不合格品，则需要更换为合格品.检验时，先从这箱零件中任取几件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验，设每件零件是不合格品的概率都为，且各件零件是否为不合格品相互独立.(1)若从这箱零件中任取件作检验，求件零件中恰有件不合格品的概率.(2)现对一箱零件检验了件，结果恰有件不合格品，设每件零件的检验费用为（）元，考虑到每件零件的成本费，不超过，如果有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用.现以检验费用与赔偿费用的和的期望值为决策依据，工厂将不对这箱余下的所有产品作检验，试求出的所有可能取值.【答案】(1)0.243(2)【详解】（1）由题意，件零件中恰有件不合格品的概率：.（2）令表示余下的90件产品中的不合格品数，依题意知，，，若对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为元，，解得，又由，，故的所有取值集合为.17．（2022春·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）某班级50名学生的考试成绩分数X分布在区间内，设考试分数X的分布频率是且，考试成绩采用“5分制”，规定分数在的成绩记为1分，分数在的成绩记为2分，分数在的成绩记为3分，分数在的成绩记为4分，分数在的成绩记为5分．现从这50名学生中采用分层抽样的方法，从成绩为1分、2分、3分的学生中随机抽出6人，再从这6人中随机抽取3人，记者人的乘积之和为（将频率视为概率）．(1)求b的值，并估计该班的考试平均分数；(2)求；(3)求的分布列与数学期望.【答案】(1)；(2)(3)分布列见解析；期望为7【详解】（1）解：因为，所以，所以；考试分数在，，，，，，，，，内的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.3，0.1，销售量的平均数为（分；（2）解：成绩为1分的频率为，成绩为2分的频率为，成绩为3分的频率为，所以成绩为1分的学生抽取人，成绩为2分的学生抽取人，成绩为3分的学生抽取人，；（3）解：由（2）知，的可取值为：5，6，7，8，9，，，，，，所以的分布列为：56789所以.C综合素养18．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为．(1)证明：在的概率分布中，最大．(2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明．【答案】(1)证明见解析(2)应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小，证明见解析【详解】（1）由已知