专题71三角函数的概念同角三角函数的基本关系诱导公式

专题07三角函数1.三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式【高考真题】1．（2021·全国=1\*ROMANI卷）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．2．（2020·全国=1\*ROMANI卷理数）已知，且，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.3．（2020·全国=2\*ROMANII卷理数）若α为第四象限角，则（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.方法二：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D.4．（2019·全国=1\*ROMANI卷文数）tan255°=（

）A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+【答案】D【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．【基础知识】1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2.任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．由三角函数的定义知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).4．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限5．常见特殊角的三角函数值n0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°02πsin01010cos1010101100★★★(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【题型方法】一、定义法求三角函数值1．已知角终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为角终边经过点，且，所以，所以，且，解得，所以故选：B.2．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由角的终边经过点，即，所以.故选：D.3．已知角的终边经过点，则____________【答案】【详解】由任意角三角函数定义，故答案为：二、利用三角函数符号判断角所在象限1．且，则角是（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【详解】由，可得为第二或第四象限角；由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角．∴取交集可得，是第四象限角．故选：D．2．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第二象限角；故选：B3．如果点位于第四象限，那么角所在象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】点位于第四象限，2sinθ>0sinθ⋅cosθ<0，即，故选：B．三、商数关系和平方关系法求三角函数值（知一求二）1．已知，则_________．【答案】【详解】由题意得，所以，所以因为，所以，所以，又，解得，所以.故答案为：2．已知为第四象限角，，则___________.【答案】【分析】先对两边平方化简求出，再化简，再由为第四象限角，判断，从而可求得结果。【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为为第四象限角，所以，，所以；故：，故答案为：3．已知，则sinαcosα的值为_____．【答案】【详解】，两边平方得：，即，解得：.故答案为：四、齐次式法求值1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，即，..故选：C2．若，则________.【答案】【详解】因为，所以；故答案为：3．已知函数.(1)化简；(2)若，求下列表达式的值：①；②.【详解】(1)因为，所以；(2)由，得①②五、诱导公式1．（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】,故选:D2．（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A3．若，则______．【答案】【详解】，所以.故答案为：.六、整体代换法诱导公式化简求值（凑角法）1．若，其中，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，∴，又，∴，.故选：C.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题，则，即，所以．故选：B3．已知sin，则（）A． B． C． D．±【答案】C【详解】∵sin，∴.故选：C.【高考必刷】1．若是角终边上的一点，且，则实数的值为________．【答案】【详解】根据三角函数的终边上点的定义，，所以，即且，所以故答案为：2．已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则=______【答案】5【详解】由条件可知，，所以，解得：，所以，.故答案为：53．若的终边过点，则的值为______.【答案】【详解】由题意得：故答案为：4．已知点是第三象限的点，则的终边位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限．故选：D．5．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】由点在第四象限，可知，则角的终边在第二象限.故选：B6．已知角的终边经过点，则角可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】角的终边经过点，是第三象限角，且，，则．故选：C7．如果点位于第一象限，那么角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】由题,因为点位于第一象限，所以，，所以在第一象限,故选：A8．角为第一或第四象限角的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】若角为第一象限角，则，若角为第四象限角，则，所以若角为第一或第四象限角，则；若，则或，所以角为第一或第四象限角.故选：C.9．设是第三象限角，且，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【详解】因为，所以，，若为奇数，可设，则，此时为第四象限角；若为偶数，可设，则，此时为第二象限角.因为，则，故为第二象限角.故选：B.10．若点的坐标为，则点在（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【详解】，，故点在第三象限.故选：C11．若，则终边可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【详解】因为，若，则终边在第二象限；若，则终边在第四象限；故选：BD.12．已知，，则下列结论正确的是（

）A．的终边在第二象限 B．C． D．【答案】ACD【详解】由，得，所以，所以D正确，因为，所以，所以所以A正确，由和，解得，所以B错误，由，得，所以C正确，故选：ACD13．如果，那么角所在的象限是______.【答案】第二或第四象限【详解】因为，则，即，所以，所以，即；解得，或，；所以角在第二或第四象限.故答案为：第二或第四象限.14．点位于第________象限．【答案】四【详解】因为，所以与的终边相同，是第三象限角，所以，所以点P位于第四象限．故答案为：四15．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，等式两边同时平方，得，即，所以，所以.故选：C16．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得，即，等式两边同时平方，得，所以.故选：B.17．若2sin2θ＋3cos2θ＝3，则cosθ＝（

）A．1 B．－1 C．±1 D．0【答案】C【详解】由题意知，，因为，所以，得，此时，，所以.故选：C18．已知角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，因为，所以且，所以，即，所以，所以，所以；故选：A19．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，即，由可得，故选：D20．已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，又，解得：.故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误.故选：B21．若，则可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】因为，所以，则，即，解得或.故选：AD.22．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】原式故选：D23．已知向量，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，即.故选：A.24．若，则（

）A． B．3 C． D．3【答案】A【详解】.故选：A25．已知满足，那么______【答案】1【详解】．故答案为：126．若，则_______【答案】【详解】，两边同时除以，则，解得：，所以.故答案为：.27．已知，且(1)求的值；(2)求的值.【详解】(1)由，得，又，则为第三象限角，所以，

所以.(2)原式.28．已知，且满足，求：的值【答案】【详解】因为，整理可得，解得或．

因为，所以．

则．29．已知.(1)化简.(2)已知，求的值.【详解】(1)；(2)∵，∴.30．（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】.故选：B31．的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A.32．已知，则___________.【答案】【详解】因为，则.故答案为：.33．设，则___________.【答案】【详解】又，则故答案为：34．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点．(1)求的值．(2)已知，求的值．【详解】(1)依题意，原式．(2)因为是第一象限角，且终边过点，所以，，所以，，因为，且，所以，所以．35．已知(1)求的值；(2)若，求及的值．【详解】(1)，所以．(2)因为，所以，.36．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因，则.故选：A37．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】故选：D38．若，则___