专题61数列的概念与简单表示2022年高考数学一轮复习（新高考浙江）（讲）

2022年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）第六章数列与数学归纳法专题6.1数列的概念与简单表示（讲）【考试要求】了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).【高考预测】1．利用an与Sn的关系求通项,递推数列求通项.2．数列的周期性、单调性及最值.3．关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，多与函（导）数、等差数列、等比数列、数列的求和、不等式等综合考查.4.复习中要特别注意:(1)构造特殊数列求通项；(2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值.【知识与素养】知识点一．数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N＋递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数，使摆动数列的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.5.数列的前项和和通项的关系：.【典例1】（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．【详解】因为，所以，．由，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以，即．故选：A．【总结提升】Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．知识点二．数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．数列的性质主要指：1.数列的单调性递增数列、递减数列或是常数列；2.数列的周期性.【典例2】（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列中，，，设其前n项和为，则下列命题正确的是（）A． B．C． D．若，则【答案】D【解析】依题意可得，设，即可判断A，利用特殊值法判断B、C，由，可得递增，根据即可证明D；【详解】解：由得，设，则，故A错．取，知B错，时，数列不满足，知C错．对于D，由，知递增，所以，知D正确；故选：D【总结提升】解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．(3)结合相应函数的图象直观判断． 【重点难点突破】考点一：由数列的前几项求数列的通项公式【典例3】（2021·海南高二期末）已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.【答案】(或其他合理)【解析】由四项找出共同的规律，可得通项公式【详解】解：，，，，故.故答案为：【规律方法】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.【变式探究】若数列的前4项分别是12,A．(-1)n-1nB．(-1)nn【答案】C【解析】由数列的前4项分别是12, -13,  14, -15故选：C．【总结提升】根据数列的前几项求其通项公式，一般通项公式不唯一，我们常常取其形式上较简便的一个即可．解答时，主要靠观察、分析、比较、归纳、联想、转化等方法．观察时特别注意：①各项的符号特征；②分式的分子、分母特征；③相邻项的变化规律(绝对值的增减)．处理方法常用的有：①化异为同(统一分子、或分母的结构形式)；②拆项；③用(－1)n等表示符号规律；④与特殊数列(自然数、偶数、奇数、自然数的平方，2n等)的联系．考点二：由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项【典例4】（2021·浙江高二期末）已知等比数列前项和满足（），数列是递增的，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等比数列前项和满足，分别求出前3项，利用等比数列中，求出，再根据数列是递增的，且，利用中求出实数的取值范围【详解】解：因为等比数列前项和满足（），所以，，，因为等比数列中，所以，解得或（舍去），所以，因为数列是递增的，所以，所以，因为，所以，故选：C【典例5】（2018·全国高考真题（理））记Sn为数列an的前n项和，若Sn【答案】-63【解析】根据Sn=2a两式相减得an+1=2a当n=1时，S1=a所以数列an是以1为首项，以2为公比所以S6=-(1-【规律方法】1.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．2.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．【变式探究】1.（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】D【解析】由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.【详解】当时，；由，当时，，两式相减，可得，解得，当时，也符合该式，故．所以由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，故选：D．2.（2019·山西高考模拟（文））记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】当时，，解得；当时，，，两式相减可得，，故，设，故，即，故.故数列是以为首项，为公比的等比数列，故，故.故答案为：考点三：由递推公式推导通项公式【典例6】（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴，又∵;;;;;,故选：A.【典例7】（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项.（2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求.【详解】（1）由题设可得又，，故，即，即所以为等差数列，故.（2）设的前项和为，则，因为，所以.【规律方法】1.基本方法是归纳法；2.递推公式推导通项公式方法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法：（其中均为常数，）.（或其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.【变式探究】1.（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）已知数列满足，，则的值为___________，的值为___________.【答案】【解析】令，求出，再令求出，从而可求出的值，由可得，然后利用累乘法可得，得，从而可求出的值【详解】解：令，则，，令，则，所以，所以，因为，所以，即，当时，有，，因为，所以，所以，所以，故答案为：，2．（2017·全国高考真题（文））设数列an满足a（1）求an（2）求数列an2n+1的前【答案】（1）22n-1；（2）【解析】（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）an＝2．∴an=2当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴an=2（2）an∴数列{an2n+1}的前n项和=(1-1考点四：数列的通项及性质的应用【典例8】（2019·浙江高考真题）设，数列中，，,则（）A．当 B．当C．当 D．当【答案】A【解析】对于B，令0，得λ，取，∴，∴当b时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，an＝2＜10，∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴，…，10，∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，，an+1﹣an＞0，{an}递增，当n≥4时，an1，∴，∴（）6，∴a1010．故A正确．故选：A．【典例9】（2021·全国高三其他模拟（理））对于有如下4个数列：（1）；（2）（3）（4）．其中满足条件的个数为（）A． B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依题意对各个数列一一判断，即可得解；【详解】解：对于（1），所以，显然均不成立，故（1）错误；对于（2），易知其为递增数列，又，，，故均成立，故（2）正确；对于（3），当为奇数和为偶数时，均为递增，故成立，而为奇数，为偶数，显然所以也成立，故（3）正确；对于（4），，，，当为奇数时，，为递增数列，当为偶数时，也为递增数列，所以成立，又，，所以，所以，故（4）也成立；故选：C【典例10】（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（）A． B．C．当为偶数时， D．当为奇数时，【答案】B【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项．【详解】解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则数列的通项公式为：，所以，，当为偶数时，，当为奇数时，．故选：B．【规律方法】1.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到数列的最小项．3.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.【变式探究】1.（2021·湖南长沙市·长郡中学高三二模）若集合至少含有两个元素（实数），且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“成功集合”，已知集合，则的子集中共有__________个“成功集合”．【答案】49【解析】设集合的子集中有个成功集合，则，，当时得递推关系，进而根据递推关系得.【详解】设集合的子集中有个成功集合，则，．对于时，可将满足要求的子集分为两类：一类是含有的子集，去掉后剩下小于的单元素子集或满足要求的子集，前者有个，后者有个；另一类是不含的子集，即满足要求的子集，有个．于是，．从而根据递推关系得：，，，，，．故答案为：2.（2021·全国高三其他模拟（理））在数列中，，，，则的值为______．【答案】1【解析】根据其递推公式求得相邻奇数项的乘积为1，相邻偶数项的乘积为1，进而得到数列具有周期性，即可求解．【详解】解：，，从而，即数列是以4为周期的数列，又由，，得，即，，得，，，故答案为：1．3．（2021·河南南阳市·高二其他模拟（理））毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它