指数与指数函数-2025年高考数学一轮复习（原卷版+解析版）

专题06指数与指数函数5题型分类

彩题如工总

题型1：指数运算及指数方程、指数不等式

题型5：指数函数中的恒成立问题

题型2：求指数函数的定义域、值域

专题06指数与指数函数5

题型分类

题型4：指数函数单调性及应用

题型3：指数函数图象及其应用

彩先祗宝库

1、指数及指数运算

（1）根式的定义：

一般地，如果无"="，那么尤叫做。的"次方根，其中（〃>1,〃wN*）,记为标，〃称为根指数，。称为根

底数.

（2）根式的性质：

当”为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当”为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

（3）指数的概念：指数是嘉运算屋（a/0）中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，累

运算表示指数个底数相乘.

（4）有理数指数累的分类

〃个

①正整数指数幕a，，="K^…*）；②零指数累。。=1（。*°）；

③负整数指数哥或"=5（"片°，"eN*）；④0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数事没有意义.

（5）有理数指数幕的性质

①a"'a"=a"+"（a>0,m,〃e。）；②（。"'）"=>0,m,〃e。）；

③=a'"〃"（o>0,b>0,机eQ）；④9=/g>o，m,neQ）.

2、指数函数

y=ax

0<tz<la>l

图象

-^1~1%

~o\~1»x

①定义域R,值域（。，+8）

②0。=1,即时x=o,y=l,图象都经过（0，1）点

③罐="，即x=l时，y等于底数a

性质

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤％<0时，ax>1;x>0时，0<优<1xvO时，0<优<1；%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

彩傩甄祕籍

（一）

指数运算及指数方程、指数不等式

利用指数的运算性质解题.对于形如〃3=6,afM>b,一。<6的形式常用"化同底"转化，再利用指数函

数单调性解决；或用“取对数"的方法求解.形如+3优+。=0或8优+C厘）（0）的形式，可借助换

元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型1：指数运算及指数方程、指数不等式

（耳+3

1-1.（2024高三下•湖南•阶段练习）—=（）

A.9B.-C.3D.—

99

12（2024高一•全国•单元测试）下列结论中，正确的是（）

A.设。>0,则存於B.若“8=2,则加=±蚯

C.若a+/=3,则媪+/£±百D.*2一吟&=2一乃

_05J_3

1-3.（2024高一上,山西晋城•期中）+向西+Q3（）

A.兀B.2+兀C.4—JrD.6—71

1-4.（2024•江西）已知函数/（x）=f""0'（a回R）,若“/（-1））=1,则。=（）

[2-x,x<0

11

A.-B.-C.1D.2

42

（2Xr>0

1-5.（2024・陕西榆林•一模）己知函数〃尤）=八，若/⑴=0,则实数。=（）

[尤+1,%40

A.-3B.-1C.1D.3

（二）

指数函数的图像及性质

1.函数图象的辨识可从以下方面入手：

⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

⑵从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

⑶从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

⑷从函数的特征点，排除不合要求的图象.

2.解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到

解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型2:求指数函数的定义域、值域

2-1.（2024高一上•河南平顶山•阶段练习）函数〃尤）=7?=1+"-2）°的定义域为

2-2.（2024高一上•河南平顶山•阶段练习）函数〃尤）=9'-4x3*+9的值域为.

2-3.（2024高一上•浙江杭州•期中）己知f（x）=斤工二I的定义域为R，则实数a的取值范围是.

24（2024•宁夏银川•二模）已知函数〃力=4'-2.-1,xe[0,3],则其值域为.

2",x<m

2-5.（2024高一上•上海闵行•期末）已知函数>=228的值域为（-8,2"],则实数加的取值范

——x+—,x>m

I33

围是.

题型3:指数函数图象及其应用

3-1.（2024高一上•广东梅州•期中）函数,=优一1+4（6/>0,且的图象过定点P,则点尸的坐标是（）

A.（1,5）B.（1,4）C.（0,4）D.（4,0）

3-2.（2024高一上•山东淄博•期末）函数〃x）="-2+i（其中。>0,a=i）的图象恒过的定点是（）

A.（2,1）B.（2,2）C.（1,1）D.（1,2）

3-3.（2024高一•全国•专题练习）如图所示，函数、=|2，-2|的图象是（）

3-4.（2024•山东）已知函数y=/（x）是偶函数，当xw（0,+8）时，y=ax（0<a<1）,则该函数在（-8,0）上的

图像大致是（）

3-7.（2024高一・广东河源•期中）若直线y=2a与函数、=--1|（稣0,"1）的图象有两个公共点，则。的取

值范围是.

题型4:指数函数单调性及应用

4-1.（2024•江苏）不等式丁』<4的解集为.

4-2.（2024高一•上海・专题练习）不等式2,3-3<5的解集为.

4-3.（2024高三•全国•专题练习）函数y=—2*0+1的单调递增区间为

44（2024高二下•宁夏银川・期末）若函数则该函数在（-8,+8）上是

A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值

C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值

4-5.（2024•全国）已知函数"x）=e32.记三,b=f%,c=f、，则（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

x+1,x<0,

4-6.(2024•全国)设函数f(x)=则满足，（x）+/（x-；）>l的X的取值范围是

2X,x>0,

4-7.（2024•江西景德镇•模拟预测）已知“力是定义在R上的偶函数，且当xNO时，f（%）=e\则满足

f（x+l）^/2（x）的龙的取值范围是.

彩僻题秘籍（二）

指数函数中的恒成立问题

已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

题型5：指数函数中的恒成立问题

5-1.（2024高一上•浙江•期中）若xe[-l,+8）,不等式4*-巾2*+1>0恒成立，则实数加的取值范围是

5-2.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=2",尤eR,若不等式尸⑴+了⑴>0在R上恒成立，

则实数m的取值范围是.

5-3.（2024高三上•上海松江•期中）已知不等式4，-G2，+2>0,对于ae（-oo,3]恒成立，则实数x的取值

范围是.

5-4.（2024高一上•上海宝山•阶段练习）设〃x）=三二，当xeR时，+mr）+〃l）>0恒成立，则

实数m的取值范围是.

炼习与梭升

一、单选题

1.（2024高三上•陕西西安•期中）若y=（"-3a+3）/是指数函数，则有（）

A.a=l或2B.a=l

C.a=2D.〃>0且

2.（2024高三・山东•学业考试）函数y=（a-2）2/是指数函数，则（）

A.。=1或a=3B.a=lC.a=3D.〃>0且awl

3.（2024高三・全国•专题练习）当x>0时，函数〃尤）=（4-1丫的值总大于1,则实数。的取值范围是（）

A.l<|a|<2B.|a|<lC.|“|>6D.|。|<亚

4.（2024高一上,福建福州•阶段练习）函数/（x）=J1—2"的定义域是（）

A.（-oo,0]B.0+8）C.（-oo,0）D.（-8,+8）

♦x<]

5.（2024•甘肃兰州•模拟预测）已知函数/（%）=x-1'的值域为R,则实数〃的取值范围是（）

2X-a,x>l

A.（-oo,0）B.（0,+oo）C.（-oo,l]D.[l,+oo）

6.（2024高三上•湖北武汉•开学考试）设函数〃尤）=3，+6,函数的图像经过第一、三、四象限，则

8。）=/伍）-/。-1）的取值范围为（）

A.[o,|）B,1闻C.[闻D.（0,|

7.（2024•江西）已知实数。，6满足等式,下列五个关系式:

①。<6<a；②。<6<0；③0<。<6；@b<a<0；⑤。=6.

其中不可能成立的关系式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2024•北京）下列函数中，在区间（。,+8）上单调递增的是（）

A./（x）=-ln.xB./（x）=±

2

C./«=--D./（X）=3M

9.（2024・天津）a=1.0105,&=1.0106,c=0.6°5,则。也。的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

232

10.（2024•安徽）设a=（|：,b=CJ,c=（|：,则a,b,c的大小关系是（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

IL（2024高二下•安徽宣城•阶段练习）定义在R上的函数/*）的图象关于直线x=l对称，且当X21时,

/(x)=3x-l,有()

12.（2024海南・模拟预测）不等式/-1>2+6+尤-/的解集为（）

A.(―1,2)o(2,+oo)B.(-00,-1)u(3,+oo)

C.(YO,1)U(2,+OO)D.(-oo,-l)U(2,+oo)

2rr<0

13.（2024•全国）设函数〃x）=’]，则满足〃x+l）</（2x）的x的取值范围是

I1,X>U

A.B.（0,+co）C.（-1,0）D.（fo,0）

14.（2024•全国）设函数/（力=2*°）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（一叫一2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+刃）

15.（2024•北京）已知函数”劝二二7,则对任意实数X,有（）

1+2

A./（-x）+/（%）=0B./（-x）-/W=O

C./（-x）+/（%）=lD./（一无）-/（x）=g

16.（2024•北京西城・三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）

A./(x)=tanvB./(x)=|x|C.4x)=2*D./(x)=x2

17.(2024高一•全国•课后作业)函数/(刈=优(。>0,。片1)对于任意的实数x、>都有()

A./(盯)=f(x)/(y)B./(%+y)=/(x)/(y)

C./(xy)=/W+/(y)D./(x+j)=/(%)+/(j)

18.（2024高一上•浙江温州,期中）函数〃%）=岳》的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的

是（）

C.0<a<l,〃>0D.0<々<11<。

19.(2024高一上•北京西城•期中)若函数y=a'+>-1(。>0,。片1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有

()

A.Ovavl且Z?>0B.a>l且Z?>0

C.Ova<l且Z?<0D.a>l^b<0

20.(2024高一上•全国•课后作业)若指数函数y=6/在［6,2］上的最大值与最小值的和为6,则。=()

A.2或-3B.-3

1

C.2D.—

2

21.(2024•陕西西安•一模)已知实数服6满足2a+2"<28+2J则八b的大小关系为()

A.a>bB.a=bC.a<bD.不能确定

22.(2024•陕西)下了函数中，满足"〃了+、)=/(耳/()0"的单调递增函数是()

A.f(x)=x3B./(x)=3"

C/(x)=x3D.f(x)=

人一421

23.(2024•全国)已知a=23,6=33,c=25§，贝汁

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

24.(2024高一上•云南楚雄•阶段练习)若函数/(力、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足人力一g(x)

=ex,则有()

A./(2)</(3)<g(0)B.g(0)</(3)<f(2)

C./(2)<g(0)</(3)D.g(O)<f(2)«3)

25.(2024高一上・吉林•)函数〃》)=优(优-3--1)(4>0,且。#1)在区间［0,+功上单调递增，则实数。

的取值范围是（）

A.]o,gB.与,1C.（1,百]D,|',+c0^

26.（2024•河南平顶山•模拟预测）甲、乙两人解关于尤的方程2，+力2-，+。=0,甲写错了常数b,得到的根

17

为x=-2或x=log2：,乙写错了常数c,得到的根为x=0或x=l,则原方程的根是（）

A.尤=-2或x=logz3B.尤=-1或x=l

C.尤=0或无=2D.行-1或尤=2

27.（2024高三上•黑龙江哈尔滨•期中）若关于x的方程9*+3川-根+1=0有解，则实数小的取值范围是（）

A.（L+8）B.-C.（―℃,3]D.（1,3]

28.（2024•上海长宁•一模）函数〃x）=（e"-6丫的大致图像如图，则实数a,b的取值只可能是（）

A.a>0,b>lB.a>0,0<b<l

C.a<0,b>lD.a<0,0<b<l

29.（2024高一上•湖北省直辖县级单位•阶段练习）已知函数/（%）=，-4+1（。>0且awl）的图象恒过定

19

点A,若点A的坐标满足关于x,y的方程如+利=4（加>0,〃>0）,则一+-的最小值为（）

mn

A.8B.24C.4D.6

30.（2024•全国•模拟预测）已知函数"司=不二+京27+1+」：？，则不等式“2x+3）>/（d）的解集为

乙十乙T"T*Jx,1

A.(-2,l)u(l,^>)B.(-1,1)U(3，H

C.1-；,ju(3,+s)D.(-3,l)U(3,+«)

31.(2024•全国)已知9"=10,。=10"=11力=8加-9,贝!J()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

二、多选题

32.（2024•海南海口•模拟预测）已知定义在R上的函数是奇函数，函数〃%+1）为偶函数，当

时，f(x)=ex+m,则()

A.m=-lB.f[2-x)=f^x)C./(x+8)=/(x)D./(2023)=e-l

33.（2024高三上•广东深圳•阶段练习）已知〃龙）是定义在R上的奇函数且满足了（x+1）为偶函数，当尤41,2]

时，/（%）=优+伙。＞0且QW1）.若/（—1）+/（4）=12,则（）

A.。=4,〃=一16B.a=-3,b=-9

C.7（2022）=0D./（等）=8

34.（2024高三・全国•专题练习）（多选）已知函数＞=标-6（°＞0且"1）的图象如图所示，则下列结论

C.ba>1D.2〜<1

35.（2024高三・全国•专题练习）对任意实数。＞1,函数＞=（。-1广+1的图象必过定点4。”,〃），〃尤）n

m

的定义域为[0,2],g（%）=f（2x）+/（x）,则下列结论正确的是（）

A.771=1,71=2B.g（x）的定义域为[0,1]

C.g（元）的值域为[2,6]D.g（尤）的值域为[2,20]

36.（2024高一上,山东泰安•期末）函数〃"=2工+=（。€尺）的图象可能为（）

37.（2024,浙江绍兴•模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，"直接推算法”使用的公式是

匕=6（1+幻”（左＞-1）,其中4为预测期人口数，玲为初期人口数，%为预测期内人口年增长率，”为预测

期间隔年数，则（）

A.当％则这期间人口数呈下降趋势

B.当左©（-I,。），则这期间人口数呈摆动变化

C.当左=g,匕22用时，〃的最小值为3

D.当无=《时，〃的最小值为3

38.（2024•山东聊城•二模）已知函数=则（）

A.函数/（x）是增函数

B.曲线y=〃x）关于（。,£|对称

C.函数/（£）的值域为

D.曲线y=/（x）有且仅有两条斜率为g的切线

39.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）点〃（刘丹）在函数y=e'的图象上，当石目0,1）,则造可能等于（）

A.-1B.-2C.-3D.0

三、填空题

40.（2024高三上•黑龙江七台河•期中）设函数〃x）=I,、F〉。，且〃-2）=3,/（-1）=/（1）,则了。）的

解析式为.

2Xr>0

41.（2024・上海•模拟预测）已知〃无）=,'八，则"可的值域是____;

l,x<0

42.（2024•全国•模拟预测）使函数/（尤）=--4的值域为。+8）的一个a的值为.

43.（2024•山东）已知函数/（尤）=优+伙。>0,"1）的定义域和值域都是［T,0］,则a+Z>=.

44.（2024•海南•模拟预测）已知函数〃无）=万工的定义域为［2,+oo）,则。=.

45.（2024高三・全国・对口高考）函数y="+J2（。>0,aw1）的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+l=0

12

上，其中祖、n>0,则—的最小值为.

mn

46.（2024高三・全国•专题练习）已知函数y=+3（。>0,a工1）过定点尸，如果点尸是函数/（%）=f+,+。

的顶点，那么久。的值分别为

47.（2024高二下•河北石家庄•期中）若曲线|y|=2*+1与直线y=b没有公共点，则b的取值范围为.

、.,,1（3a—1）X+2-2Q,x>1人一

48.（2024高三上•上海徐汇,开学考试）已知函数/（%）=21满足对于任意再W%，都有

［2侬，尤<1-

〃占）一/（%）>0成立,贝qa的取值范围为

百一%

49.（2024高三•全国•专题练习）函数〃x）=gy3+5的单调递减区间为

50.（2024•福建）若函数/（x）=2卜叫aeR）满足“l+x）=/（l-x）,且/⑴在［%用）单调递增,则实数加的

最小值等于.

51.（2024•江苏）若3"=0.618,ae及水+l）,%eZ,则％=.

52.（2024•山东）若函数/（尤）=优（°>0,。#1）在［—1,2］上的最大值为4,最小值为m,且函数

g（x）=（l-4M五在0+8）上是增函数，则a=.

53.⑵24高二下•江苏苏州•阶段练习）函数/户的定义域为

54.（2024•上海杨浦•模拟预测）若函数丁=/（尤）为偶函数，且当x<0时，/（x）=2，-l,贝U/（D=

55.（2024•上海金山・一模）若x>0时，指数函数y=（信一3）'的值总大于1,则实数m的取值范围是.

56.（2024高三上•山西运城,阶段练习）已知函数/吊）=7+；e-是奇函数，贝""•

57.（2024高一上•重庆渝中•期中）已知函数的定义域为[0,2],则函数g（无）=〃2尤）+（尤-1）°的定义域

为.（用区间或集合作答）

58.（2024•福建厦门•一模）若函数的值域为（0』，且满足〃x+l）=〃lr）,则〃x）的解析式可以

是/（%）=.

59.（2024高三下•河北•阶段练习）在4°2,0.142,25!13,10°」5这4个数中，最小的是,最大的是

60.（2024•河北邯郸•一模）不等式10'-6'-3珪1的解集为.

61.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（*=优（。>0,awl）在[1,2]内的最大值是最小值的两倍，且

/(x)+l,x>l,贝Ug\)+g(2)=

g(x)=

log3x-l,0<x<l

62.（2024•上海浦东新•模拟预测）设/（x）=x[J—+1].若函数y=〃x）的定义域为（F』）U（L"）,则

I2—dZJ

关于X的不等式/>/（«）的解集为.

63.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（x）=6+百金（。>0）的图象关于坐标原点对称，则

a+b=.

64.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知实数。，6满足4。+2a=3,log2^71+=-,则0+56=

四、解答题

65.（2024高一■全国■课后作业）已知函数/U）=（/+a—5）ar是指数函数.

（1）求/W的表达式；

（2）判断内x）=/（x）—八一尤）的奇偶性，并加以证明.

66.（2004•北京）当0<°<1时，解关于X的不等式：历<人,

67.（2024高一上•海南海口•阶段练习）已知函数=

(1)若/(x)=2,求x的值;

（2）若2"（2/）+对⑺20对于/目1,4恒成立，求实数小的取值范围.

2

z1xar-4x+3

68.（2024高一上•河北保定•期中）已知函数〃x）=；

⑴若a=T,求〃尤）的单调区间

（2）若外力有最大值3,求。的值

⑶若〃尤）的值域是（。，+助，求。的值

69.（2024•上海虹口•二模）已知函数“同二!^是定义域为R的奇函数.

⑴求实数6的值，并证明在R上单调递增；

（2）已知。＞0且awl,若对于任意的毛、^e[l,3],都有寸恒成立，求实数a的取值范围.

专题06指数与指数函数5题型分类

彩题如工总

题型1：指数运算及指数方程、指数不等式

题型5：指数函数中的恒成立问题

题型2：求指数函数的定义域、值域

专题06指数与指数函数5

题型分类

题型4：指数函数单调性及应用

题型3：指数函数图象及其应用

彩先祗宝库

1、指数及指数运算

（1）根式的定义：

一般地，如果无"="，那么尤叫做。的"次方根，其中（〃>1,〃wN*）,记为标，〃称为根指数，。称为根

底数.

（2）根式的性质：

当”为奇数时，正数的〃次方根是一个正数，负数的〃次方根是一个负数.

当”为偶数时，正数的〃次方根有两个，它们互为相反数.

（3）指数的概念：指数是嘉运算屋（a/0）中的一个参数，。为底数，〃为指数，指数位于底数的右上角，累

运算表示指数个底数相乘.

（4）有理数指数累的分类

〃个

①正整数指数幕a，，="K^…*）；②零指数累。。=1（。*°）；

③负整数指数哥或"=5（"片°，"eN*）；④0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数事没有意义.

（5）有理数指数幕的性质

①a"'a"=a"+"（a>0,m,〃e。）；②（。"'）"=>0,m,〃e。）；

③=a'"〃"（o>0,b>0,机eQ）；④9=/g>o，m,neQ）.

2、指数函数

y=ax

0<tz<la>l

图象

-^1~1%

~o\~1»x

①定义域R,值域（。，+8）

②0。=1,即时x=o,y=l,图象都经过（0，1）点

③罐="，即x=l时，y等于底数a

性质

④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数

⑤％<0时，ax>1;x>0时，0<优<1xvO时，0<优<1；%>0时，ax>1

⑥既不是奇函数，也不是偶函数

彩傩甄祕籍

（一）

指数运算及指数方程、指数不等式

利用指数的运算性质解题.对于形如〃3=6,afM>b,一。<6的形式常用"化同底"转化，再利用指数函

数单调性解决；或用“取对数"的方法求解.形如+3优+。=0或8优+C厘）（0）的形式，可借助换

元法转化二次方程或二次不等式求解.

题型1：指数运算及指数方程、指数不等式

（耳+3

1-1.（2024高三下•湖南•阶段练习）—=（）

A.9B.-C.3D.—

99

【答案】B

【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.

故选：B.

1-2.（2024高一•全国,单元测试）下列结论中，正确的是（）

43.—

A.设。＞°，贝1］层./=aB.若W=2,则加=±啦

C.若a+/=3,则D.也2一小2一万

【答案】B

【分析】根据分式指数幕及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误.

【详解】对于A,根据分式指数基的运算法则，可得/选项A错误；

对于B,m8=2,故机=±V5，选项B正确；

对于C，a+^-=3,储+〃—=Q+Q-I+2=3+2=5，因为。＞0，所以〃万+〃一e=0，选项C错误;

对于D,认2-7）=|2-同="一2,选项D错误.

故选：B.

3

13（2024高一上•山西晋城・期中）+J（2-7r）2+（23px^4

A.兀B.2+兀C.4—71D.6-71

【答案】B

【分析】直接利用指数幕的运算性质计算即可.

_0513

【详解】用+J（2f+（2户［I.仔）=髀一2+4亭:

2+兀•

故选：B

1-4.（2024•江西）已知函数（。回R）,若〃/（-1））=1,则。二()

［2一*,尤＜0

11

A.—B.-C.1D.2

42

【答案】A

【分析】先求出了(T)的值，再求八八-1))的值，然后列方程可求得答案

【详解】解：由题意得/(-1)=2«)=2,

所以/(/(-D)=/(2)=a-22=4«=l,解得a=；.

故选:A

【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题

1-5.(2024・陕西榆林•一模)己知函数〃尤)=若/(a)+/⑴=0,则实数。=()

|^x+l,x<0

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】先求出/⑴=2,从而/(〃)=-2,对a>0,々WO讨论，分别代入分段函数即可求出实数。的值.

【详解】回函数〃尤)=「2%二r>0C，

.•■/(1)=21=2,

■.•/(«)+/(1)=0,

/(a)=-2,

当a>0时，/(a)=20=-2,

方程2〃=-2无解，即满足条件的。不存在，

当aWO时，/(a)=a+l=-2,解得“=-3.

团a=—3.

故选：A.

彩健甄祕籍

指数函数的图像及性质

1.函数图象的辨识可从以下方面入手：

⑴从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

⑶从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

⑷从函数的特征点，排除不合要求的图象.

2.解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到

解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.

题型2:求指数函数的定义域、值域

2-1.（2024高一上•河南平顶山,阶段练习）函数〃尤）=在二1+"-2）°的定义域为.

【答案】［0,2）U（2,4W）

【分析】根据已知条件可得出关于x的不等式组，由此可解得函数/（尤）的定义域.

2X_1>Q

_~，解得xNO且元力2.

{x20

因此，函数〃力=亚口+（无-2）°的定义域为［0,2）U（2,y）.

故答案为：［0,2）U（2,+8）.

2-2.（2024高一上•河南平顶山•阶段练习）函数〃"=9'-4、3'+9的值域为.

【答案】［5,讨）.

【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.

【详解】设仁3，>0,则〃”=（342-43+9,

换兀得g（/）=I?—4/+9=（♦-2）+5,t>0,

显然当［=2时，函数g⑺取到最小值g（0=5,

所以函数〃"=9'-4><3*+9的值域为［5,E）.

故答案为：［5,+8）.

23（2024高一上•浙江杭州•期中）已知f（x）=j3x2+2"f_i的定义域为R,则实数a的取值范围是.

【答案】卜1,0］

【分析】把/（x）=-1的定义域为R转化为3,+2"-1-12。对任意酒区恒成立,即x?+2办-对

任意X0R恒成立，再由判别式小于等于0求解.

【详解】财(X)=也?+2以-。-1的定义域为R，

团3-2曲-1_i2。对任意A13R恒成立，

即3工2+25-“21=30恒成立，

即x^+lax-a>0对任意xER恒成立，

0E=4672+4f7<O,则-l<a<0.

故答案为[-1，0].

【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题.

2-4.(2024•宁夏银川•二模)已知函数/(力=4-2*+2-1,xe[0,3],则其值域为.

【答案】卜5,31]

【分析】令f=21将问题转化为求二次函数在区间[L8]上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.

【详解】令f=23Exe[0,3],01<z<8,

Sg(t)=t2-4t-1=(,t-2)2-5,re[1,8]

又y=g⑺关于/=2对称，开口向上，所以g⑺在[1,2)上单调递减，在(2,8]上单调递增，H|8-2|>|2-1|,

1=2时，函数取得最小值，即g(rL=-5,r=8时，函数取得最大值，即8(。1^=31,

."./(X)G[-5,31].

故答案为：[-5,31].

2X,x<m

25(2024高一上•上海闵行•期末)已知函数丁二228的值域为(-8,2"],则实数加的取值范

—x—，x>m—

I33

围是•

【答案】[1,2)

【分析】分别讨论当xW机时，〃x)=2*的值域和当x>加时，g⑺一#+]的值域，根据分段函数的值

域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.

【详解】当xV加时，y=/(x)=2，在(3,向上单调递增,

m

所以尤4根时，j=/(x)e(0,2];

2Q

当X>加时，y=g^x)=-=-Xi+-,

①若根<0,则g（x）在（m。）上单调递增，在（0,+8）上单调递减，

则时，g（x）<g（o）=-,即〃?<0时，y=g（尤）e[-co,§,

Q

又根<0时，2根<2°=1<—,

3

2X,x<mz-

此时，函数y=228的值域为-8,二,不满足题意，舍去;

—x—fx>mV3_

I33-

2",x<0

②当m=0时，函数y=<228此时值域为-8,1,不满足题意，舍去;

—x-\—,x>0

③当相>0时，g（x）在（肛内）上单调递减,

28

则尤,根时，g(x)vg(m)=_]疗+§,即机>0时，y=g(%)

I33

2",x<m

因为函数丁二228的值域为(F,2%],

——x+—,x>m

[33

又XV初时,y=〃x)e(