全国初中物理专项复习：杠杆及力矩平衡（解析版）

选择题（共12小题）

1.如图所示是单臂斜拉桥的示意图。均匀桥板aO所受重力为G,三根平行钢索与桥面均

成30°角，而系点间距ab=bc=ad=dO.若每根钢索受力相同，则钢索上受力大小为

【分析】以O为支点，分析除O点桥板的受力情况，确定出力臂，根据力矩平衡条件求

解拉力大小。可抓住对称性，采用等效的方法：除正中间外的钢索外，其余两根钢索拉

力的力矩之和等于正中间钢索的力矩的2倍。

【解答】解：设钢板的重心与O的距离为L,

以O为支点，除O点外桥板受到重力G和三根钢索的拉力，

由于每根钢索所受拉力大小相等，等距离分布，根据对称性可知，除正中间外的钢索外,

其余两根钢索拉力的力矩之和等于正中间钢索的力矩的2倍。

则由力矩条件得：GL=3FLsin30°,故每根钢索上受力大小：F=故D正确，ABC

错误。

故选：D。

【点评】本题关键要分析钢索分布特点，运用等效的方法分析两侧六根钢索力矩与正中

间钢索力矩的关系，即可求解。

2.粗细不均匀的电线杆，在O点支起正好平衡，如图所示。若在O点沿虚线将其锯断,

则（）

A.两段一样重B.细段重C.粗段重D.不能确定

【分析】由图可知，电线杆被支起，处于平衡状态，先确定两边力臂的大小关系，然后

根据杠杆的平衡条件得出两边的重力的大小关系。

【解答】解：电线杆处于平衡状态，由图可知，左侧部分重心A离支点O较近，

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故力臂0A较小，左侧部分重心B离支点O较远，故力臂OB较大，即OB>OA；

VG1XOA=G2XOB,OB>OA,

-

..G2<GI，

即：电线杆粗段重、细段轻。

故选：Co

【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，能画图得出两边的力臂大小关系是本题的关

键。

3.如图所示，A、B是两个完全相同的匀质长方形木块，长为1,叠放在一起，放在水平桌

面上，端面都与桌边平行。A放在B上，右端有与伸出B外，为保证两木块不翻倒，木块

B伸出桌边的长度不能超过（

151

A.—1B.----1C.—1D.—1

21648

【分析】应用整体法考虑，根据平衡条件得出若两长方形木块不翻到且B伸出最长时,

应满足整体的重心应恰好在桌子的边。

【解答】解：将两个长方形木块砖看做一个整体，则其总长度为L+^L=4L，

88

根据平衡条件看做，为了保持两长方形木块都不翻倒，整体的重心应恰好在桌子边缘,

所以整体重心与A右边缘距离为孝心*《=当，

8216

由图可知B边缘到桌子边缘的距离为X=2!L-女=枭。

16816

故选：Bo

【点评】遇到连接体问题，从整体角度分析较简单，物体不翻到的临界条件是物体的重

心应恰好在桌子的边缘。

4.如图所示的装置中，均匀木棒AB的A端固定在钱链上，悬线一端绕过某定滑轮，另一

端套在木棒上使木棒保持水平，现使线套逐渐向右移动，但始终保持木棒水平，则悬线上

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的拉力（棒和悬线均足够长）（

A.逐渐变小B.逐渐变大

C.先逐渐变大，后又变小D.先逐渐变小，后又变大

【分析】由图知，阻力乘以阻力臂是相等的，动力的大小变化要从动力臂的大小变化上

得出，所以要画出几条典型的情况下的力臂加以分析得出结论。

【解答】解：如图所示，G表示杆AB的自重，LOA表示杆的重心到A端的距离，T表

示悬线拉力的大小，L表示作用于杆AB上的悬线拉力对A点的力臂。

把AB视为一根可绕A端转动的杠杆，则由杠杆的平衡条件应有：GXLOA=TXL,

由此得：当线套在杆上逐渐向右移动时，拉力T的动力L（Li、L2、L3、L4）经历了先

逐渐变大后又逐渐变小的过程，故悬线的拉力T则是逐渐变小后逐渐变大。

故选：D。

【点评】当阻力和阻力臂的乘积一定时，分析省力情况就要看动力臂的大小变化，所以

本题画出图中动力臂是解决本题的关键

5.如图所示，均匀细杆AB质量为M,A端装有转轴，B端连接细线通过滑轮和质量为m

的重物C相连，若杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为。时恰能保持平衡，则下面表达

式中不正确的是（）

///////

A.M=2msin。

B.滑轮受到的压力为2mg

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C.杆对轴A的作用力大小为mg

D.杆对轴A的作用力大小」

2sin6

【分析】先对C物体进行受力分析，由二力平衡得出绳子的拉力，然后对杆进行受力分

析，由共点力的平衡即可求出杆的重力与绳子的拉力之间的关系.

【解答】解：A、由题可知，C物体受到重力和绳子的拉力处于平衡状态，所以绳子的拉

力与C物体的重力大小相等，为mg；

设AB杆的长度为L,由图可知，杆的重力产生的力矩是顺时针方向的力矩，力臂的大小

是泰；

绳子的拉力产生的力矩是逆时针方向的力矩，力臂的大小是Lsin3过转轴的力不产生力

矩，由力矩平衡得：

Mg,-^-L=mgLsin0

解得：M=2msin0,故A正确；

B、由题图可知，两根绳子的拉力的方向之间有夹角，所以两根绳子的拉力的合力大小要

小于2mg,即滑轮受到的压力小于2mg,故B错误；

C、由受力图可知，轴A对杆的作用力的方向的反向延长线一定过绳子的拉力的延长线

与重力的作用线的交点，由于重力的作用线过杆的中点，所以可知力F与绳子的拉力与

水平方向之间的夹角是相等的，并且力：Fcos0=mgcos0,所以F与绳子的拉力的大小也

相等，即F=mg,则杆对轴A的作用力大小为mg,故C正确；

D、由于M=2msin9^F=mg,得:F=—照河,所以杆对轴A的作用力大小为一踵五-,

2sin82sin8

故D正确。

本题选错误的，故选：Bo

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【点评】该题同时考查共点力作用下物体的平衡与力矩平衡，解题的关键是正确画出杆

的受力图，找出各个力的力臂，然后又力矩平衡条件即可解答.

6.有一“不倒翁”，形状可以简化成由半径为R的半球体与顶角为74°的圆锥体组成（如

图所示），它的重心在对称轴上。为使“不倒翁”在任意位置都能恢复竖直状态，则该“不

倒翁”的重心到半球体的球心的距离必须大于（）

【分析】可以把这个看成一个杠杆，B点就是支点，从图中可以看出当重心在BD右侧

的时候，杠杆才会旋转，而重心又在对称轴上，所以就是BD和AD交点D。

【解答】解：如图所示，连接BE,延长AC,并过B点做AB的垂线交于点D,按题意,

至少当其发生最大倾倒时，其重点仍在B点右侧位置，则“不倒翁”在任意位置都能恢

复竖直状态。那么此时在ABDC和AADB中，不难证明它们是相似三角形。即ABDC

sAADB,

74°

故NDBC=NBAD='^—=37°,

2

则DC=BC・tan37°七BCX0.75-迩。

4

故选：D。

【点评】此题考查重心，关键是确定重心的位置，要求学生具备一定的数学知识，难度

较大。

7.如图所示，直径为36cm的半球形碗固定在水平面上，碗的端口水平。一根密度分布均

匀、长度为47cm的光滑杆ABC搁置在半球碗上，碗的厚度不计，杆平衡时碗内部分AB

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段与碗外部分BC段的长度之比为（）

【分析】因为杆是光滑的，所以没有摩擦力，杆受三个力：重力、A点的支持力和B点

的支持力。以B支点列出杠杆平衡条件，再根据力的平衡（杆在AC方向合力为零，其

实在任意方向合力都是零）列一个方程。再加上球直径的条件可以求解。

【解答】解：如图：光滑杆ABC的重心在D点，0为半球形碗的球心，杆受三个力：重

力G、A点的支持力F2和B点的支持力Fi，以B为支点，则根据杠杆的平衡条件得：G

Eo“0

XBDcos0=F2XABsin0--------------------------①《五

沿杆AC的方向上受力的合力为零，

即GXsin6=F2Xcos9---------------------------------------②

由岩■得：BDcotB=ABtan0,

AR

BD=ABXtan20=ABX（—）2,

AB

即BDXAB=AE2,

VitAABE中，BE2=AB2+AE2,且BD=AB--AC,

2

（AB--AC）XAB=BE2-AB2,

2

代入数据得：（AB-LX47）XAB=362-AB2,

2

即：4XAB2-47XAB-2592=0,

解得：AB=32cm,AB=-20.25cm（舍去）

.'.AB：BC=32cm：（47cm-32cm）—32：15。

故选：Co

【点评】本题考查杠杆平衡条件的应用，知道物体处于静止平衡时合力为零，本题的关

键是各边长之间的关系，难点是A、B两点的支持力的方向判断。

8.如图所示，七块完全相同的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为L,为保

证砖块不倒下，6号砖块与7号砖块之间的距离S将不超过（）

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1524

【分析】因两部分对称，则可只研究一边即可；1砖受2和3支持力而处于平衡状态，则

可由力的合成求得1对2的压力；而2砖是以4的边缘为支点的杠杆平衡，则由杠杆的

平衡条件可得出2露出的长度，同理可求得4露出的长度，则可求得6、7相距的最大距

离。

【解答】解：由于1号砖处于平衡状态，则1号砖对2号质的压力应为当；

当1号砖放在2号豉的边缘上时，6号砖块与7号砖块之间的距离最大；

2号砖处于杠杆平衡状态，设2号砖露出的长度为x,则2号砖下方的支点距重心在(自

-X)处；

由杠杆的平衡条件可知：G(呆x)=.x,

解得：X=。；

设4号砖露出的部分为XI，则4号砖下方的支点距重心在(寺-XI)处；4号砖受到的压

力为G+等

则由杠杆的平衡条件可知：G(y-xi)=(G+5)XI，

解得Xl=5"；

5

则6号砖块与7号砖块之间的最大距离应为：

TT

L+2(x+xi)=L+2(X=*L。

3515

故选：Ao

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【点评】本题考查了杠杆的平衡条件在生活中的应用，在解题时应注意明确找出杠杆的

支点及受到的力，再利用杠杆的平衡条件列式求解。

9.如图所示，质量分布均匀的细杆水平放置，支座A在杆重心的右侧，杆的右端被位于其

上面的支座B顶住。现在杆的左端C处施加一个向下的作用力，则()

cI

Ov

A.A、B两处的弹力均增加，且AFA=AFB

B.A、B两处的弹力均增加，£.AFA>AFB

C.A处的弹力减小，B处的弹力增大，且|AFA|>AFB

D.A处的弹力增大，B处的弹力减小，且AFA>|AFB|

【分析】①在C点不施加力时，分别以B、O为支点，由杠杆平衡条件得出关于在A、

B处弹力的方程；

②在C点施加力F时，分别以B、O为支点，由杠杆平衡条件得出关于在A、B处弹力

的方程；

联立方程组求得弹力变化值进行比较得出答案。

【解答】解:

(1)在C点不施加力时，以B为支点，由杠杆平衡条件可知，GXBO=FAXBA；--

--------------------①

以A为支点，由杠杆平衡条件可知，GXAO=FBXAB；-------------------②

Z

(2)在C点施加力F时，以B为支点，由杠杆平衡条件可知，FXCB+GXBO=FAX

BA；-------------③

,

以A为支点，由杠杆平衡条件可知，FXCA+GXAO=FBXAB；-----------------④

③-①得：

FA'XBA-FAXBA=FXCB+GXBO-GXBO=FXCB,

...A人口F=F一口-F=F-XCB

AAABA

④-②得:

FB'XAB-FBXAB=FXCA+GXAO-GXAO=FXCB

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.AT_h!r_FXCA

••&FB-FB-FB---——，

BA

AFA>AFB,

故选：B»

【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的应用，知道选择不同的支点求弹力是本题的

关键。

10.将一根均匀的木棒AB,放在支点。上，由于OA<OB,木棒不能保持水平，现在木棒

右端截去与OA等长的一段并置于OA上，木棒恰好能平衡。则OA：013为()

A.1：V2+1B.1：2C.1：3D.1：4

【分析】设单位长度木棒重为mog,求出左边木棒重Gi、右边木棒重G2,根据杠杆平衡

条件可得关于mo、LOA、LOB的方程，约去mo可解得LOA与LOB的比值。

【解答】解：

如图，设单位长度木棒重为mog,

则左边木棒重：

Gi=2mogXLoA，

右边木棒重：

G2=mogX(LOB-LOA)

根据杠杆平衡条件可得：

GB3A=G2XLOB-LOA,

22

LbLa

即：2mogXLoAxi^=mogX(LOB-LOA)X°°.

22

解得：

LOA：LOB=1：(V^+1)。

故选：Ao

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【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的掌握和运用，设单位长度木棒重为mog,求

出左右两边木棒重是本题的关键。

II.如图所示，两根硬杆AB、BC用钱链连接于A、B、C,整个装置处于静止状态。关于

AB杆对BC杆作用力的方向正确的是（）

A.若计AB杆重力，而不计BC杆重力时，由A指向B

B.若计AB杆重力，而不计BC杆重力时，由C指向B

C.若不计AB杆重力，而计BC杆重力时，由B指向A

D.若不计AB杆重力，而计BC杆重力时，由B指向C

【分析】如图所示，杠杆AB、BC与墙壁组成一个三角形，A和C端固定在墙壁上，AB

拉着BCo

【解答】解：如图如果考虑AB重力，则AB的重力方向竖直向下，不计BC杆重力时，

AB在BC支持力的作用下被支起，力的方向由B到C.如果不考虑AB重力，而计BC

杆重力时，BC重力方向向下，AB在上面拉着BC,力的方向由B指向A。

故选：Co

【点评】此题考查了拉力，重力，支持力的作用，要会分析图。

12.如图所示，均匀木棒AC水平搁在一个圆柱体B上，二者的接触点为D,且AD：DC

=17：15,当圆柱体围绕其固定中心轴顺时针方向转动时，与棒的右端C紧靠着的木板

E恰能沿光滑竖直墙面匀速下滑，若木棒与圆柱体之间、木棒与木板之间动摩擦系数相

同，则该动摩擦系数为（）

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【分析】（1）木板E沿光滑竖直墙面匀速下滑，其重力与所受的木板的滑动摩擦力大小

相等。对木板而言，力矩平衡，由力矩平衡条件求解木板E对AC木棒的摩擦力。

（2）根据力平衡条件，研究竖直方向，可得到圆柱体B对木棒AC的支持力。

（3）对木棒水平方向力平衡，可求出木板对木棒的弹力，由f=pN求解动摩擦因数。

【解答】解：

（1）设木棒的重心位置在棒的0点，木棒与木板间的摩擦力大小为f2，则对木棒，根据

力矩平衡得

G・OD=0・DC

得f2=G-

木板E沿光滑竖直墙面匀速下滑，则有木板E的重力GE=O=《G;

（2）根据木棒受力衡得,

竖直方向：圆柱体B对木棒AC的支持力Ni=G+f2=1!G；

（3）设木棒与圆柱体间的摩擦力大小为fi，木棒与木板间的弹力大小为N2,

则fi=nNi=N2,

又GE=$=^*G，NI=-^1<3,代入解得，n=0.25o

故选：C=

【点评】本题中木板E受力平衡，木棒不仅力平衡，力矩也平衡，根据力平衡条件和力

矩平衡条件结合处理本题，分析受力情况是关键。

二.多选题（共1小题）

（多选）13.质量分别为ml和m2、长度分别为Ll、L2的两根均匀细棒的一端相互连在一

起，构成一个直角形细棒AOB,放在粗糙的水平桌面上，两棒与桌面间的动摩擦系数相

同，现在两棒的连接端O处施加一水平外力F使棒做匀速直线运动，F的方向如图所示,

则以下判断中正确的是（）

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A

wi

A.若L1>L2,则ml<m2B.若L1<L2,则ml>m2

C.若L1=L2,则ml<m2D.若L1=L2,则ml>m2

【分析】因为棒做匀速直线运动，因此棒一定受到与拉力F大小相等，方向相反的作用

力，即为摩擦力的合力，然后根据影响摩擦力的因素和二力合成即可判断出0A和0B

所受摩擦力的大小，从而确定出质量关系。

【解答】解：由题意可知，直角形细棒AOB沿着F的方向做匀速直线运动，把该运动分

解为沿图中虚线方向的两个匀速直线运动，则两根均匀细棒的摩擦力方向如下图所示，

两个摩擦力的合力与拉力F平衡；

从图中可知，fB>fk，由于接触面的粗糙程度相同，因此摩擦力的大小不同是由于L1、

L2的两根质量不同决定的，与长度无关，即质量越大，摩擦力越大，故

故选：AC。

【点评】本题考查二力平衡的条件的应用、不同直线上二力的合成以及决定滑动摩擦力

的因素；本题的难点是根据摩擦力的合力画出两个摩擦力；注意线段的长短代表力的大

小。

三.填空题（共10小题）

14.如图所示，质量分布均匀的圆柱体重G=500N,圆柱体高AD=40cm,底面直径AB=

30cm,若要使该圆柱体的A点离开地面，则需要在D点施加的最小的力是150N。

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DC

【分析】根据杠杆平衡原理，确定出使杠杆平衡的动力方向，然后利用几何关系求出力

臂，再利用平衡条件求出最小力的大小。

【解答】解：由杠杆平衡条件可知，在阻力与阻力臂一定的情况下，动力臂越大，动力

越小，

由图示可知，要使圆柱体的A点离开地面，力臂为DB时最大，力作用在D端，且与

DB垂直时力最小，

动力臂L1=DB=7AD2+AB2=V（40cm）2+（30cm）2=50cm-

阻力臂L2=-^-AB=-^-X30cm=15cm,

由杠杆平衡条件得：FLI=GL2，

最小作用力：F=«=5呷j15cmMON。

L]5。cm

故答案为：150。

【点评】根据杠杆的平衡条件F1L1=F2L2可知，在杠杆中的阻力、阻力臂一定的情况下,

要使所使用的动力最小，必须使动力臂最长；而在通常情况下，连接杠杆中支点和动力

作用点这两点所得到的线段是最长的。

15.如图所示，一块均匀的厚木板长16米，重400牛，对称的搁在相距8米的A、B两个

支架上。

（1）若小金的体重为500牛，站在A点静止时，支架上受到木板的压力为牛；

从A点出发向左走到离A点3.2米处时,木板将开始翘动。

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(2)若一个人从A点出发要安全移动到最左端，则他的体重G的取值范围为」

400牛。

【分析】(1)把人和木板看做整体受力分析可知，受到支架竖直向上的支持力、竖直向

下的总重力作用处于平衡状态，根据力的平衡条件求出木板受到的支持力，支架上受到

木板的压力和木板受到的支持力是一道相互作用力，二力大小相等，据此求出支架上受

到木板的压力；小金从A点出发向左走到离A点LA时木板恰好没有翘动，此时木板的

支点为A,且此时木板水平方向处于平衡状态，根据杠杆的平衡条件得出等式即可求出

答案；

(2)当人到达最左端且木板恰好不翘动时，人的重力最大，根据杠杆的平衡条件得出等

式即可求出人的最大重力，然后得出答案。

【解答】解：

(1)把人和木板看做整体受力分析可知，受到支架竖直向上的支持力、竖直向下的总重

力作用处于平衡状态，

所以，木板受到的支持力F支持=G木板+G人=400N+500N=900N,

因支架上受到木板的压力和木板受到的支持力是一道相互作用力，

所以，支架上受到木板的压力F^=F支持=900N；

设木板的长度L=16m,小金从A点出发向左走到离A点LA时木板恰好没有翘动，

此时木板的支点为A,且此时木板水平方向处于平衡状态，

由杠杆的平衡条件可得：G木板•维=GA・LA，即400NX粤=500NXLA，

22

解得：LA=3.2m,即从A点出发向左走到离A点3.2米处时，木板将开始翘动；

(2)当人到达最左端且木板恰好不翘动时，人的重力最大，

由杠杆的平衡条件可得：G木板•上坦=GJ•(4-维)，即400NX3^=G人'乂(卒

22222

8m>.

丁

解得：G人'=400N,即他的体重G的取值范围为不大于400N。

故答案为：(1)900；3.2；(2)不大于400。

【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用和物体平衡时合力为零条件的应用，分清杠杆

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的力臂和支点是关键。

16.如图所示，质量为m的运动员站在质量为M的均匀长板AB的中点，板位于水平地面

上，可绕通过A点的水平轴无摩擦转动。板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定

滑轮后，握在运动员的手中。当运动员用力拉绳子时，滑轮两侧的绳子都保持在竖直方

向，则要使板的B端离开地面，运动员作用于绳的最小拉力是―(mg+Mg)

O

【分析】利用重力公式和杠杆平衡条件表示出作用在绳子上最小的拉力，化简即可求出

运动员作用于绳的最小拉力。

【解答】解：设运动员作用于绳的最小拉力为F,杠杆AB的长度为L,则由杠杆平衡的

条件可得：

FL=(mg+Mg-F)X-j-L

化简可得：F=5(mg+Mg)o

3

故答案为:-y(mg+Mg)o

o

【点评】本题考查杠杆的平衡条件的应用，涉及到重力公式、定滑轮的特点，关键是求

出作用在杠杆中点的力。

17.半径为R的匀质半球体置于水平面上，其重心C离球心0点的距离0C=弯，半球质

量为m。在半球的平面上放一质量为手的物体，它与半球平面间的静摩擦因数为0.2。则

在保持平衡状态的条件下，物体离球心的最大距离为0.6R。

【分析】对系统应用力矩平衡条件列方程，求出P的位置离开半球体球心O的距离表达

式，然后应用数学知识分析答题，求出最大距离。

【解答】解：物体离O点放得越远，由力矩平衡条件可知，半球体转过的角度。越大，

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但物体在球体斜面上保持相对静止时，。有限度。

设物体距球心为X时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴:

由力矩平衡条件得：G,-^-sin9=^y-xcos0,解得：x=3Rtan0,

可见，x随。增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，贝IJ：

f

tan0=—5L=|i=0.2,所以：x=3uR=0.6R。

mN

故答案为：0.6R。

【点评】本题考查了求P的位置离开半球体球心0的最大距离，正确选择研究对象、应

用力矩平衡条件即可正确解题。

18.如图所示，重力不计的轻杆01B和02A,长度均为L,O1和02为光滑的转动轴，A

处有一突起物搁在01B的中点，B处用细绳系在02A的中点，此时两短杆便组合成一根

长杆。今在01B杆上的C点（C点为AB的中点）悬挂一个重为G的物体，则A处受

到的支承力为；B处绳的拉力为G0

【分析】（1）对杠杆02A应用杠杆平衡条件，列出平衡方程;

（2）对杠杆01B应用杠杆平衡条件，列出平衡方程；

然后解方程，求出作用力。

【解答】解：（1）如图甲所示，对于杠杆02A来说，

由杠杆平衡条件得：

FAXL=FBX与，则FB=2FA；

（2）如图乙所示，对于杠杆OiB来说，

由题意可知：AB=±>

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L—3L

。…鸡T

由杠杆平衡条件可得:

FA'XLGX9=FB，XL①,

24

FA与FA'、FB与FB'是物体间的相互作用力,

,

它们大小相等，FA=FA'，FB=FB，

所以FB'=2FA'，把FB'=2FA'代入①，

解得：FA'FB'=G,

则A处受到的支承力为守，B处绳的拉力为G。

故答案为：-1G；GO

图甲

Q3G

图乙

【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，分别对两个杠杆应用杠杆平衡条件，即可正

确解题。

19.如图所示，重力为G的物体挂在水平横杆的右端C点。水平横杆左端有一可转动的固

定轴A,轻杆AC长为L,轻绳的B端可固定在AC杆上的任一点，绳的D端可固定在

竖直墙面上的任一点，绳BD长为L,轻杆AC始终保持水平。则当NABD为45°时,

绳BD的拉力最小，其值为2G,此时，AD间的距离为迎L。

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【分析】由题意可知，阻力与阻力臂一定，现在要求最小动力，由杠杆平衡条件可知，

动力臂最大时，动力最小，根据题意与图示求出最大动力臂，然后由杠杆平衡条件求出

绳子的最小拉力。

【解答】解：如图所示：

AP=LXcosZABDXsinZABD=-isin2ZABD,故当AP最大时2NABD=90°,ZABD

2

=45°；

故当NABD=45°,动力臂AP最大，因为AABD为等腰直角三角形，AP±BD,BD=

L,

所以PB=AP=/L，AB={AP2+PB2=J吟产+*）2=¥~L=AD；

由杠杆平衡条件可得：FXAP=GXAC,

即FxL=GXL,故F=2G；

2

故答案为：45°；2G；誓L。

【点评】此题考查了杠杆平衡条件的实际应用，需用数学中的勾股定理知识才能解答，

题目难度较大。

20.图（a）所示的是一把杆秤的示意图，O是秤杆的悬点，使用该秤最多能称量5千克的

重物。小王用一个相同的秤蛇系在原来的秤坨下面，采用“双秤坨法”去称量7千克的

重物时，秤上的示数为3千克，如图（b）所示。那么当只挂一个秤坨时，该秤零刻度线

的位置应该在O点右侧（选填“O点”、“0点的右侧”或“0点的左侧”）。若

采用“双秤蛇法”，则利用该秤最多能称量11千克的重物。

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【分析】（1）杆秤的工作原理是：杠杆的平衡条件，根据杆秤自重重心位置及杠杆平衡

条件判断，杆秤零刻度线的位置。

（2）根据杠杆的平衡条件：动力X动力臂=阻力又阻力臂，以0点为支点，分别找到力

与力臂，根据杠杆平衡条件列方程解题，从而得出结论。

【解答】解：

（1）杆秤是根据杠杆平衡条件工作的；秤杆是一个杠杆，悬点0是杠杆的支点；

结合图示由生活经验可知，当秤钩上不挂重物，手提起提纽时，杆秤的左端下降，说明

杆秤自重重心在悬点0的左侧，由杠杆平衡条件知：要想使杆秤平衡秤坨应在悬点右侧,

则杆秤的零刻度线位置在O点右侧。

（2）设杆秤的自重为Go,杆秤重心到支点。的距离是Lo,设秤坨的重力为G曲，

重物G=mg到支点的距离是L物，当重物质量为mi=3kg时，秤蛇到支点的距离为Li，

根据杠杆平衡条件得：GoLo+migXL物=6施14，即G（）Lo+3kgX9.8N/kgXL物=6曲口-

----①；

（3）用双坨称rti2=7kg物体质量时，由杠杆平衡条件得：

GoLo+m2gXL物=2G袍Li，即GoLo+7kgX9.8N/kgXL物=2G袍Li---------②；

设测最大质量时，秤坨到支点的距离为L,单坨能测最大m最大=5kg,

由杠杆平衡条件得：GoLo+m最大g乂1物=6由L,即：GoLo+5kgX9.8N/kg><L物=6碓L-

----③

设双坨能测的最大质量为m,由杠杆平衡条件得：GoLo+mgXL物=2G1sL,

即：GoLo+mX9.8N/kgXL物=2G曲L④；

由①②③④解得：m=llkg。

故答案为：。点右侧；11。

【点评】本题考查了学生对杠杆平衡条件的掌握和运用，根据题意，由杠杆平衡条件列

出不同情况下的平衡方程，然后解方程组是解本题的关键。

21.如图所示，是一个简易的吊钩装置，它是由4根长度不一的刚性轻杆AD、DF、BC、

CE较接而成，A端通过固定转动轴连接在墙上，C端可以在光滑水平地面上左右自由移

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动。L1表示AD的长度，L2表示AB的长度，L3表不DF的长度，L4表示BC的长度，

忽略吊钩到F点的长度，BCED构成一个平行四边形。若吊钩上不管挂上多重质量的物

体，吊钩装置在水平面上的不同位置时都能处于平衡状态，则LI、L2、L3、L4必须满

足的关系是丁L=d。吊钩装置处于平衡状态时，C端受到地面的作用力方向为竖

L2L4

直向上

【分析】(1)找出吊钩上重力和光滑水平地面C点处对整个吊钩装置的支持力N的力

臂，利用杠杆平衡条件得出力臂之间的关系。

(2)知道压力是垂直作用在支持面上的，然后根据相互作用力判断C点的受到地面的作

用力方向。

【解答】解：(1)以整个吊钩装置为杠杆，则整个吊钩装置以A点为固定转轴，即A

为支点，则整个吊钩装置作用的两个力为：

吊钩上挂的物体的重力G和光滑水平地面C点处对整个吊钩装置的支持力N；

如图根据几何知识可知：

重力G的力臂为：AK=HF=HJ+JF=LisinP+L3sina,

支持力N的力臂为；AP=IC=IK+KC=L2sinp+L4sina,

这个吊钩装置平衡，根据平衡条件得：

G・AK=N・AP,

即：G,(Lisinp+Ljsina)=N*(L2sinB+L4sina),

整理可得：

sina(GL3-NL4)=sin0(NL2-GLi)------------------------------------①，

由于吊钩装置在水平面上的不同位置时都能处于平衡状态，则要求a和0取不同值上式①

都成立，

所以，应满足：GL3-NL4=0,NL2-GLi=O,

即：GL3=NL4,GLI=NL2，

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所以，产=产，

L3L4

即:廿Ll=廿L3。

L2L4

（2）由于压力是垂直作用在受力面上的，所以C对对面的压力是竖直向下的，根据力的

作用是相互的，则C端受到地面的作用力方向是竖直向上的。

L<L

故答案为：#3竖直向上。

L2L4

【点评】本题考查杠杆平衡条件的应用，难点是对整个装置的受力分析及各力之间的关

系，关键是以整个吊钩装置为杠杆，则整个吊钩装置以A点为固定转轴，即A为支点。

22.如图所示，在一根长为2m,质量为2kg的细金属杆AB（质量分布不均匀）的A端施

加一个与杆垂直的拉力F.使杆静止在图示位置。已知杆与地面成37°角，地面对杆作

用的静摩擦力大小为3.6N,地面对杆的支持力大小为15.2N.则杆的重心距B端的距离

为0.75m.F的大小为6N.（已知：sin37°=0.6.cos37°=0.8）

【分析】先画出图中杠杆受力情况，并且将作用在杠杆上的F分解为水平方向和竖直方

向的分力，然后根据力的合成以及处于平衡状态的物体所受合力为零求出杠杆水平方向

受到的力和竖直方向受到的力，最后根据杠杆平衡的条件列出关系式即可求出。

【解答】解：如图所示

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杠杆处于静止状态，因此杠杆水平方向合力为0,F的水平分量的大小Fx=f=3.6N,F

F竖直分量为Fy=FXcos37°=6NX0.8=4.8N,杠杆在竖直方向合力也为0,杠杆重力

为G=Fy+F支持=4.8N+15.2N=20N；

设杠杆重心距B端距离为L力矩平衡，各力对B点力矩代数和为0,

GXLXcos37°=FX2m

FX2m6NX2m

LT=---------7-=----------=0n.75m。

GXCOS3720NX0.8

故答案为0.75,6o

f

【点评】本题考查杠杆平衡的条件以及互成角度力的合成，难度较大，建议知识面较宽

的学生做这类题型。

23.课题研究小组提供了一把家中的旧杆秤（秤坨遗失），杆秤的刻度大多数模糊不清，只

有5kg和6kg的刻度清晰可辨。小组成员对杆秤的外形进行了测量，测量结果如图所示。

已知秤杆和挂钩的总质量为1kg,则秤泥质量是2kg,杆秤重心（含挂钩）在杆秤提

纽的左（选填“左”或“右”）侧，距提纽2emo

4cm

11cm一即

。一提纽

5kg6kg

【分析】（1）从图可知，5kg到6kg质量增加了1kg,而杠杆的长增加了2cm,再由杆

秤上的刻度是均匀的，并由此来判断杆秤的0刻度线，进而判断杆秤的重心.

（2）设杆秤的重心到提纽的距离为S,秤坨的质量为m,杆秤的质量为m杆，知道5kg

和6kg时，秤坨所在的位置，根据杠杆的平衡条件F左L左nF左L右，列出两个等式解答

即可。

【解答】解：（1）我们用杆秤称物体时，物体在提纽的左侧，秤坨在提纽的右侧，从图

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可知，5kg至116kg质量增力口了1kg,而杠杆的长增加了2cm,杆秤上的刻度是均匀的，所

以，从0刻度线到5kg的位置，杠杆的长应该为10cm,即零刻度线在提纽的右侧，所以

该杆秤的重心应该在提纽的左侧。(因为0刻度线处要挂称花才能使杠杆在水平位置平

衡)

该杆秤的重心在提纽的左侧，设杆秤的重心到提纽的距离为S,秤坨的质量为m,杆秤

的质量为m杆，

由杠杆的平衡条件G左L左=G右1右可知，

5kgXgX4cm+m杆XgXS=mXgX11cm,

6kgXgX4cm+m杆XgXS=mXgX(1lcm+2cm),

化简得：5kgX4cm+m杆XS=mX11cm,①

6kgX4cm+m杆XS=mX(llcm+2cm),②

解①②可得：m=2kg；

(2)从图可知，5kg到6kg质量增加了1kg,而杠杆的长增加了2cm,杆秤上的刻度是

均匀的，所以，从。刻度线到5kg的位置，杠杆的长应该为10cm,即零刻度线在提纽的

右侧，所以该杆秤的重心应该在提纽的左侧。(因为0刻度线处要挂称坨才能使杠杆在

水平位置平衡)

所以5kgXgX4cm+lkgXgXS=2kgXgXUcm,解得，S=2cm,即该杆秤的重心距提纽

2cmo

故答案为：2；左；2。

【点评】本题考查学生对力臂概念的理解情况，需要熟练掌握杠杆平衡条件公式和重力

计算公式G=mgo

四.计算题(共6小题)

24.如图所示。均匀杆AB每米重为30N.将A端支起。在离A端0.2m的C处挂一重300N

的物体，在B端施一竖直向上的拉力F,使杆保持水平方向平衡，问杆长为多少时，所

需的拉力F最小？最小值为多大？

【分析】设杠杆的长度为L,根据杠杆的平衡条件列出杠杆的平衡方程求解。

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【解答】解：设杠杆的长度为L,则杠杆的重力为：G=30N・L,由杠杆的平衡条件得：

GCXLAC+GX.1-=FXL；代入数据得：300NX0.02m+30NXLX?FL；

整理得：15(L2-FL+4)=0；必须满足A=b2-4ac20,即F?-4X15X60N0,

所以，F260N,即拉力的最小值为60N,

将F=60N代入方程可得15L2-60L+60=0解方程②可得L=2m,

答：杆长为2m时，所需的拉力F最小，最小值为60N。

【点评】本题考查了杠杆平衡条件的应用，明确杠杆在水平位置平衡时，各个力臂的长

度是解题的关键，属于比较典型的题目。

25.如图，质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端，导轨及支架ABCD总质量

M=4.0kg,形状及尺寸已在图中注明，该支架只可以绕着过D点的转动轴在图示竖直平

面内转动。为简便起见，可将导轨及支架ABCD所受的重力看作集中作用于图中的O点。

现用一沿导轨的拉力F通过细线拉铁块，假定铁块启动后立即以0.1m/s的速度匀速运动,

此时拉力F=10No

(1)铁块运动时所受摩擦力多大？

(2)从铁块运动时起，导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少？(g=10N/kg)

【分析】(1)由题意知：铁块启动后立即以O.lm/s的速度匀速运动，此时拉力就等于铁

块运动时所受摩擦力；

(2)设当铁块运动到E点时，支架刚好开始转动，此时过E点的竖直线在D点右侧，

距D点为x,根据杠杆平衡条件及已知条即可求得的。

【解答】解：(1)铁块启动后匀速运动，此时拉力就等于铁块运动时所受摩擦力，

用f表示铁块所受摩擦力，f=F=10N。

(2)铁块对导轨的摩擦力作用线沿着导轨AB,所求力臂即为D到AB的距离。用L表

示该力臂，L=0.8m。

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设当铁块运动到E点时，支架刚好开始转动，此时过E点的竖直线在D点右侧，距D点

为x,根据杠杆平衡条件及已知条件:4.0X10X0.1=2.0XlOx+lOXO.8；

z„,,0.6m+0.lm-0.