空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）（解析版）-2024-2025学年高二数学复习（人教版选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）

课标要求

1.能够理解空间向量的概念，运算、背景和作用；

2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力；

3.能够掌握空间向量基本定理，体会其作用，并能简单应用；

4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路.

基础知识归纳

一、空间向量的有关概念

1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模;

如空间中的位移速度、力等.

2、几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量［长度相等而方向相反的向量，称为7的相反向量，记为-£

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

二、空间向量的有关定理

1、共线向量定理：

对空间任意两个向量点石3片。），出的充要条件是存在实数X,使£=4次

（1）共线向量定理推论：如果/为经过点A平行于已知非零向量£的直线，那么对于空间任一点。，点P在

直线/上的充要条件是存在实数£,使而=砺+后①,若在I上取AB=a＞则①可以化作：而=函+tAB

P

B

A

O

（2）拓展（高频考点）：对于直线外任意点。，空间中三点尸,A3共线的充要条件是丽=兄丽+〃通,

其中2+〃=1

2、共面向量定理

如果两个向量2万不共线，那么向量方与向量2万共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（尤,y）,使

p=xa+yb

（1）空间共面向量的表示

如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对（尤,y）,使Q=天通+yAC.

或者等价于：对空间任意一点。，空间一点P位于平面ABC内（P,A,5c四点共面）的充要条件是存在

有序实数对（尤,y）,使丽=C5+X通+＞正，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

（2）拓展

对于空间任意一点。，四点P,C,A3共面（其中C,A,3不共线）的充要条件是存=+yC5+Z萌（其

中x+y+z=l）.

3、空间向量基本定理

如果向量三个向量a,反c,不共面，那么对空间任意向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.

三、空间向量的数量积

1、空间两个向量的夹角

（1）定义：已知两个非零向量£,九在空间任取一点。，作诙=£,OB=b^则么NAO3叫做向量

的夹角，记

（2）范围：＜。,匕＞£[0,句.

特别地，⑴如果＜痴那么向量痴互相垂直，记作/人

（2）由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为万，故＜Z,B〉=0（或

＜afb＞=»）0£//后（。,行为非零向量）.

⑶零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定o与任何向量Z都是共线的，即两非零向量的夹角是

唯一确定的.

（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）

若两个向量[1所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为。,

__»TT

⑴向量夹角的范围是0«凡办><乃，异面直线的夹角。的范围是

—»—»TT

（2）当两向量的夹角为锐角时，0=<a,b>-,当两向量的夹角为3时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为

钝角时，O=TT-<a,b>.

2、空间向量的数量积

定义：已知两个非零向量Z，b-贝U|Z||B|cos<£,B>叫做Z,B的数量积，记作7B；即

a-b=\a\\b\cos<a,b>.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

3、向量日的投影

3.1.如图（1）,在空间，向量£向向量B投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面。

内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量石共线的向量入c=|a|cos<a,>>=向量2称为向量£在

1。1

向量B上的投影向量.类似地，可以将向量Z向直线/投影（如图（2））.

3.2.如图（3）,向量a向平面B投影,就是分别由向量Z的起点A和终点B作平面P的垂线，垂足分别为4,

B',得到向量称为向量Z在平面夕上的投影向量.这时，向量z，H@的夹角就是向量£所

在直线与平面夕所成的角.

4,空间向量数量积的几何意义：向量z，B的数量积等于Z的长度与B在Z方向上的投影

Ib|cos<a,b>的乘积或等于B的长度|B|与£在B方向上的投影|a|cos<a,b>的乘积.

5、数量积的运算：

（1）=AGT?.

（2）a.]=石.a（交换律）.

（3）a-（B+c）=a%+a-c（分配律）.

四、空间向量的坐标表示及其应用

设0=(6,4,%)，b=(bl,b2,bi)，空间向量的坐标运算法则如下表所示:

数量积a-b=〃也+a2b2+“3%

共线(平行)

%=Xbx

Z||灰石wC）=%=丸石=<a2=Ab2（2GR）

%=2Z?3

垂直

a-Lb<^>a-b=0<^afy+a2b2+a3b3=0均非零向量）

模1。1=aF=Jj=,a：+a2+，即1a1=J+

夹角

-_a-b01bl+a2b2+a3b3

cos<a,B"向⑹州+城+色信+届+£

五、直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量

如图①,a是直线/的方向向量,在直线/上取通=£,设P是直线I上的任意一点，则点P在直线/上的充要条

件是存在实数乙使得»=扇，即Q=f通

四①

2、平面法向量的概念

如图，若直线l1a,取直线I的方向向量Z,我们称Z为平面e的法向量；过点A且以Z为法向量

的平面完全确定，可以表示为集合{P|〉ZA=0}.

3、平面的法向量的求法

求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:

设向量：设平面a的法向量为百=(羽y,z)

选向量：选取两不共线向量AB,衣

7怎=0

列方程组：由__.列出方程组

n-AC=0

n-AB=0

解方程组：解方程组—一.

n-AC=0

赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1）

得结论：得到平面的一个法向量.

六、空间位置关系的向量表示

设耳石分别是直线44的方向向量，晨晨分别是平面%力的法向量.

4〃，2O%//〃2o三几£R,使得％=彳〃2

线线平行

注：此处不考虑线线重合的情况.但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合

线面平行4//a±=0注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；

_»__11UU

二///7〜々//%32eR,使得Y\=几巧

面面平行

注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合.

线线垂直/1_L，2o4_L沆2O4•%=0

线面垂直4_L。=4//“<^>32eR,使得％=力

面面垂直1力O"_L〃20勺,%=0

七、向量法求空间角

1、异面直线所成角

设异面直线4和所成角为。，其方向向量分别为1，V；则异面直线所成角向量求法：

—一U,V一一

①cos<u,v>=———;②COS0=1COS<M,V>1

\u\\v\

2、直线和平面所成角

设直线/的方向向量为Z，平面a的一个法向量为7，直线/与平面a所成的角为夕，则①

——.n一一

cos<«,«>=—~—；②sin。=|cos<.

\a\\n\

3、平面与平面所成角（二面角）

（1）如图①，AB，CD是二面角a-l-/3的两个面内与棱I垂直的直线,则二面角的大小0=<AB,CD>.

（2）如图②③，%,后分别是二面角。的两个半平面名，的法向量，则二面角的大小。满足:

一—n.-n

①cos<n、，n,>=」二7；

卬1%1

若二面角为锐二面角（取正），贝氏05夕=|<:05<4，巧〉|；

若二面角为顿二面角（取负），则cose=—|cos<4，“2〉1；

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是

钝二面角.）

八、向量法求距离

（1）点到直线的距离

已知直线/的单位方向向量为〉A是直线/上的定点，尸是直线/外一点，点尸到直线/的距离为

（2）两条平行直线之间的距离

求两条平行直线/,，"之间的距离，可在其中一条直线/上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于P到

直线加的距离.

（3）求点面距

①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

即：点A到平面a的距离,其中QGa,万是平面a的一个法向量.

\n\\n\\n\

(4)线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解

\AB-n\

直线。与平面a之间的距离：d=―ra—，其中五是平面a的一个法向量.

\n\

两平行平面a,月之间的距离:其中Aea,BeB力是平面a的一个法向量.

重要题型

题型一空间关系的证明

【例1】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，2AB=2AD=CD=4,ADLCD,AB!/CD,

M为CE的中点.

E

(1)求证：3Af//平面AD£F；

(2)求证：BC/平面BDE.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行;

(2)利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量

平行可证.

【详解】(1)解法一：证明：取DE中点N,连结AN,MN,

由三角形中位线性质可得MN"CDHMN=：CD,

又因为AB//CD且=所以且町V=AB,

所以ABMN是平行四边形，所以BMUAN,

又⑷Vu平面AD砂，平面AD£F,所以3"//平面ADEF.

解法二：证明：因为平面AD£F_L平面ABCD,平面ADEbn平面ABCD=AD,DEJ.AD,

所以DE人平面ABCD,又OCu平面A8CD,所以DE_L£>C.

如图，以。为原点，以函，DC>DE的方向分别为x轴、，轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则

5（2,2,0）,C（0,4,0）,£）（0,0,0）,E（0,0,2）,M（0,2,1）.

因为加=(-2,0,1),易知牙=(0,1,0)为平面ADEF的一个法向量.

因此丽•彳=0，所以的_L7.

又创la平面AD£F,所以3"//平面ADEF.

(2)解法一：证明：因为80=2应，BC=2A/2,8=4,

所以加P+BC?=C£>2,所以

因为平面ADEF_L平面ABC。，平面4)跖口平面ABCD=AD,DEJ.AD,

所以DE上平面ABC。，又3Cu平面ABC。，所以DE_LBC.

又BDcDE=D，3。,。£匚平面庞＞£,所以3c/平面3DE.

解法二：由(1)可得丽=(2,2,0),瓦=(0,0,2),BC=(-2,2,0).

设平面的一个法向量3=(x,y,z),则

n-DB=2x+2y=Q

取x=l,得y=-Lz=o,

n-l)E=2z=0

所以为=(1,-1,0)是平面瓦)E的一个法向量.

因此阮=-2兀所以3c人平面

反思总结

证明平行、垂直关系的方法可以运用传统方法也可以运用空间向量。

利用空间向量证明平行、垂直关系的方法：

(1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量即可。

(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内存在一个向量与直线的

方向向量是共线向量;③利用共面向量定理，即证明平面内存在两个不共线向量来线性表示直线的方向向量。

(3)证明面面平行的方法:①证明两个平面的法向量平行;②转化为线面平行、线线平行的问题。

(4)证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直。

(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②转化为线线垂直问题。

(6)证明面面垂直的方法:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题。

巩固训练:

1.如图，四棱锥尸-ABCD中，侧面抬。为等边三角形，线段的中点为。且P。1底面A8C。,

171

AB=BC=-AD=1,ZBAD=ZABC=-,E是的中点.证明：CE//平面

22

【答案】证明见解析

【分析】建立空间直角坐标系，求出CE的方向向量和平面的的法向量即可证明.

TV

【详解】因为在底面ABCD内，ZBAD=ZABC=-,所以8C〃AD,

连接0C,因为。为AO的中点，BC=\AD,所以3c=AO,

所以四边形A3CO是平行四边形，所以OCV/AB,

7T

又因为NBAO=—,所以OCLAD,

2

因为「01底面ABCD,OCADu底面ABCD,所以尸O,OC,POLAD,

所以以。为原点，分别以OC,OD,OP为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,

因为侧面以。为等边三角形，A8=3C=：AO=1,

所以A（O,-1,O）,8（1,-1,0）,C（l,0,0）,尸（0,0,有），£＞（0,1,0）,

因为E是尸。的中点,

,AP=（0,l,>/3）

设平面P4B的法向量为〃=a，y,z）,则

ABh=x=0

令Z=l,得E=（o,-国）,

APn=y+A/3Z=0

因为CE”z=0—+=0,所以CE_Lw,

22

又因为CEO平面R4B,所以CE//平面B4B.

2.如图所示,正四棱ABCD-AgGR的底面边长1,侧棱长4,A4中点为E,CG中点为尸.求证:平面3/）E//

平面BRF.

【答案】证明见解析

【分析】以A为原点，AB,AD,AA所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证OE/AF司,

同理8。〃耳。，再结合面面平行判定定理即可证明结论.

【详解】以A为原点，AB,AD,AA所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图

则8(1,0,0),川(0,1,0),£(0,0,2),(1,0,4).2(0,1,4),用1,1,2),

DE=FB^=(0,-l,2),.-.DE//FB,,同理4A,

•.•neo平面4。尸，尸为＜=平面4口厂，，。石〃平面与£)£,

平面4RF,与Ru平面4RP,.L〃平面4。1尸，

又DEcBD=D,DE,3。u平面BDE

■­•平面BDE与平面B]RF平行.

3.如图，在正方体A8CD-AB|C]A中，M,N分别为AB,4c的中点.证明:

（1）平面ABO〃平面2cA;

（2）〃'_1平面48。.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】⑴建立空间直角坐标系，利用平面AB。和平面与CR的法向量来证明平面4加〃平面片CQ.

（2）通过直线MN的方向向量和平面48。的法向量来证明“N_L平面43。.

【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2,则。（0,0,0）,A（2,0,2）,5（2,2,0）,4（2,2,2）,C（0,2,0）,以0,0,2）.

设平面A3。的法向量为机=（x,y,z）,

VDAy=（2,0,2）,DB=（2,2,0）,DXBX=（2,2,0）,Z^C=（0,2,—2）,

m•D\=2x+2z=0

:・令1=-1,则%

m-DB=2x+2y=0

设平面与CQ的法向量为n=（a,b,c）,

n-。禺=2a+2b=0

・,・令a=—l,贝ij〃=（—1,1,1）,

n-DXC=2Z?-2c=0

mlIn，

・・・平面ABO〃平面31cA.

(2)-：M,N分别为AB,8c的中点，：/(2,1,0),N(l,2,l),

W=(-1,1,1),：.MN//m,

，ACVJ_平面ABD.

题型二利用空间向量求线面角

【例2】如图，已知正三棱柱ABC-A4G中，点瓦尸分别为棱的中点.

CP

(1)若过AE、F三点的平面，交棱于点p,求羡的值;

(2)若三棱柱所有棱长均为2,求4E与平面的所成角的正弦值.

【答案】(1)2

⑵*

【分析】(1)延长AF交CQ延长线于点Q,连接QE交用G于点尸，然后结合三角形的中位线定理可求得结

果;

(2)解法一：取AC中点。连接02,0尸，以。为原点，OAO&O尸为％y，z轴正方向建立空间直角坐标系,

利用空间向量求解，解法二：设点A到平面尸的距离为心连接87，易证与尸，平面ACGA，然后利

.h

用等体积法求出口设AE与平面但所成角为6,贝USin。=三可得答案.

AE

【详解】(1)延长针交CG延长线于点Q,连接。石交4G于点p,连接尸尸，则过AE、尸三点的截面就是

平面四边形AEPF,

因为尸是AG中点，G/〃AC且GF=gac,

所以G尸是△QAC的一条中位线，

所以。G〃BE且BE=goG，

(2)解法一：取AC中点。连接08,。/，因为正三棱柱ABC-44G，/为AG的中点，OF与三棱柱的侧

棱平行，所以。4,03,0厂两两垂直，以。为原点，0402,0尸为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图

砺=(-1,0,2),

h-AE=Q

设平面AE尸的法向量A=(x,y,z),贝卜

n-AF=0

Bn与+z=0

即5八，

[—x+2z—0

令尤=2,则y=3^,z=l,所以〃=

3I3J

设AE与平面所成角为。，则

\E与平面AEF所成角的正弦值为巫；

10

解法二：设点A到平面但的距离为"连接耳尸，

因为A耳=BiG，尸是4cl中点，所以

因为44,_L平面AB©,B/u平面4月£,所以AA_L3/,

因为AGnAA=A，AG，招U平面ACGA，所以用尸，平面ACGA，

因为等边三角形44G的边长为2,所以耳尸=6，

所以EF=J5，i=2,AE=AF=。22+仔=亚，

所以等腰三角形收的底边所上的高为后万=2,

7

所以△AEF的面积为gx2x2=2,又AA41T的面积为gx2x1=1,

因为卜”/1=3心•取"所以2〃=B得卜=与，又AE=6

设4E与平面AEF所成角为。，

故\E平面AEF所成角的正弦值为巫.

10

反思总结

根据图形与已知条件，建立适当的空间直角坐

标系

设直线48与平面a所称的角为仇需求出平面

a的法向量n和直线46的方向向量比方

cos<时,〃〉1更:

\AE\'\n

利用sinj=|cos<彳才,|,直线和平面所成角的

范围是［0,千］,即可得出直线和平面所成的角

巩固训练

1.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A3C。为矩形，24_1平面48。2丛=4£>=何8,点河是尸。的中

点.

(1)证明：AM±PC；

(2)设AC的中点为。，点N在棱PC上(异于点P,C),且ON=Q4,求直线AN与平面ACS所成角的正

弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵等

【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AM_LPD,由面面垂直的性质可得CDJ■平面PAD,则CD_LAM,

所以由线面垂直的判定可得AM1平面尸。，从而可得结论；

(2)以所在直线分别为羽XZ轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】(1)证明：因为％=&£>,点加是包>的中点，所以4V/JLPD.

因为PA_L平面ABCD,PAu平面PAD，所以平面R4D_L平面ABCD,

因为四边形ABCD为矩形，所以COLA。，

因为平面F4£)c平面ABCD=AD,COu平面ABC。，

所以CD,平面PAD,所以CC,

因为PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以AM2平面PCD,

因为PCu平面PCD,所以AM_LPC.

(2)解:由题意可得AB,AD,AP两两垂直，

设AB=1,如图，以AB,AP.AP所在直线分别为羽％z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,后,0),D(0,s/2,0),P(0,0,北)，

V|叵

因为点M是尸。的中点，所以“0,~2'~2'

7

、

所以加；o,字,,AC=(1,^,0),

7

AM-n=^-y+^-z=0

设平面ACM的法向量为7=(x,y,z),贝卜22

ACh=x+-Jly=0

令y=-1可得x=&,z=l,所以平面ACM的一个法向量〃

PC=（1,A/2,-V2）,设N（XN，%,ZN）,丽=彳定=（4@,-&）（0＜彳＜1）,

即6,%,ZN-及）=（4&,-履）,所以N（4仞，及-仞）.

又。J，冬°]加=。4=¥'

（1丫（内o

所以2—+V2A-—+（A/2-V2A）2=-,

I2）（2）4

2

化简得5%-72+2=0,解得4二二或％=1（舍去）.

所以前的平¥],

设直线AN与平面ACM所成的角为0,则

n-ANy/15

14818~W

72+1+1x------1-------1------

252525

所以直线4V与平面ACM所成角的正弦值为姮.

10

2.如图四棱锥P-ABCD，点A尻C,。在圆。上，AB=AD=2,ZBAD=120。，顶点尸在底面的射影为圆心。,

点E在线段尸D上.

⑴若AB//CD,PE=2PD,当AE〃平面P3C时，求力的值；

(2)若A3与8不平行，四棱锥尸-ABCD的体积为6,PO=0,求直线PC与平面E4B所成角的正弦值.

【答案】(l)2=g

⑵平.

【分析】(1)做辅助线构建平面和平面P3C平行，然后结合面面平行的性质定理来解决；

(2)通过棱锥的体积得到底面积，根据底面的数据可推出BC是直径，然后建立空间直角坐标系处理.

【详解】(1)过E作所〃PC交线段DC于尸，连接AF.

■■EFHPC,"0平面「3。，「。(=平面尸3(7,;.所〃平面「3(7,

又AE7/平面P3C,EFC\AE=E,£F,AEu平面钻/，

•••平面AEV//平面PBC,

・•,平面AEFc平面ABCD=AF,

平面PBCc平面ABCDuBC,根据面面平行的性质定理，.•.AF//BC

又,：ABIICD,四边形ABCF是平行四边形，

;.CF=AB=2,而ZADC=ZAFD=NBCD=180°=60°

：.DF=AF=2,CD=4,

tiCF=-CD,^PE=-PD,#2=-.

222

VP-ABCD=^-PO,(S为四边形ABCD的面积)，得S=3g-

由S=SABD+SBCD=—x2x2xsin1200+SBCD,得SBCD=2^3,

由余弦定理，BZ)2=22+22-2X2X2XCOS1200=12,则8。=26，

根据正弦定理，设该四边形的外接圆半径为R,则2尺=<之=4,

sin120

作直径5C,由圆内接四边形对角互补，则N5CZ>=60。，

故C'£>=2Rcos60°=2,5flC,D=gxDBxDC=26,

根据圆的对称性，作直径DC"，也满足S-BCD=2A/3，但此时DC"HAB,

故CC'重合，

此时BC为直径，直径为4,以。为原点，射线08,。尸为轴，

过0垂直于8C的方向为x轴，如图建立空间直角坐标系.

则4（"1,0）,8（0,2,0）,。（0,-2,0）,尸（0,0,0），

所以西=（&,1,_0）,丽=（0,2,,无=（0,-2,-72）,

r/、\n-PA=Q,[氐+/-任=0.

设平面的法向量为〃=（x,y,z）,贝IJ_即,「

n-PB=0,[2y-y/2z=0,

t—（A、

令y=i,贝Uz="x=也，所以万=当」,后，

3I3J

“阿•九42君

设直线PC与平面RW所成角为6,则sin"一同用历一丁.

*亍

直线PC与平面RW所成角的正弦值为半.

3.如图，在四棱柱ABCD-AAGP中，平面ABC。，AB//CD,ABLAD,AD=CD=1,AAt=AB=2,

£为AAj的中点.

D

(1)求四棱锥的体积;

(2)设点M在线段CE上，且直线AM与平面BCG百所成角的正弦值为:，求线段A"的长度;

【答案】(1)1

(2)|W|=V2

【分析】⑴证明出AZU平面A网A，CD〃平面A网A，可知点C到平面A网A的距离等于AD=1,

再利用锥体的体积公式可求得四棱锥C-AEB出的体积；

(2)以点A为坐标原点，分别以AD、A4、所在直线为x轴、，轴、z轴建立空间直角坐标系，设

EM=AEQ,其中0W/W1,求出向量㈤厉的坐标，利用空间向量法可得出关于2的等式，结合0W2W1求

出4的值，可得出向量寂的坐标，进而可求得线段AM的长.

【详解】(1)解：因为A4tL平面ABC。，ADu平面ABC。，所以，ADIA^,

又因为AAl^\AB=A,44]、口匚平面48月4，所以40，平面45月4.因为AB〃CD,CD<X

平面ABgA],ABu平面所以，CD〃平面ABgA，

故点C到平面ABB,A的距离等于AD=1,

所以，^C-AEB,B=]-S四边形AEB[B'=§'—x(l+2)x2xl=l.

(2)解：由A4t，平面ABC。，AD±AB,以点A为坐标原点，

分别以A£>、AA]、A3所在直线为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),5(0,0,2),C(l,0,l),矶0,1,0),Q(1,2,1).

所以荏=(0,1,0),鬲=(1,1,1),BC=(l,0,-l),西=(0,2,0).

设平面BCQBI的一个法向量为m=(x,y,z),

m-BC=x-z=0

则一，取X=L可得771=(1,0,1),

m-CCl=2y=0

设两■=%居其中0W4W1,则病=荏+两=(44+1,4),

记直线AM与平面BCQBI所成角为0,

221

V322+22+1-A/23

11___.£4£

整理可得15%—22-1=0,解得2=(舍)或彳=§.所以3=

3'3'3

故线段AM的长度为加V2.

题型三利用空间向量求二面角

［例3］如图，在四棱锥P-ABCD中，尸3,平面ABC。，底面ABCD为直角梯形，ZBAD=ZABC=90°,

PB=AB=BC=2AD=6,尸为PA的中点.

(1)证明：BF1PD.

(2)求二面角P-CD-尸的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵国

42

【分析】(1)由PB_L平面ABCD,得PB_LA£>,结合可得AD_L平面R4B,则A£>_!_3产，再由等

腰三角形三线合一可得再由线面垂直的判定可得3尸，平面上4D,从而可得MLP。，

(2)由题意可证得2A,BC,8尸两两垂直，所以以B为坐标原点，分别以BA8c,8尸所在的直线为x,y,z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.

【详解】(1)证明：因为P3_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以PB_L4).

又/B4D=90°,所以

由PAp|AB=A,PAABu平面PAB,得AD_L平面B4B.

因为3户u平面Q4B,所以

因为尸为R4的中点，PB=AB,所以上4_LB/L

由上4cA£>=A,PAAOu平面上4D,得BF_L平面R4T).

因为尸£>u平面PAD,所以

(2)解：因为P3_L平面ABCD,AB,2Cu平面ABCO,所以尸3_LAB,P3_L8C,

因为AB13C,所以氏4,BC,BP两两垂直，

所以以8为坐标原点，分别以2A,8C,8尸所在的直线为x,%z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,6）,网3,0,3）,C（0,6,0）,0（6,3,0）,

#=（3,-6,3）,丽=（6,—3,0）,齐=（0,-6,6）,

设平面CDF的法向量为加=(为,%,

m-CF=3占一6%+3Z]=0,

则令占=1，得诟=（1,2,3）.

m-CD=6%-3%=0,

设平面CDP的法向量为〃=（%,%，z?），

nCD=6x?-3y?=0,.

则一■令Xz=l,得"=1,2,2.

n-CP=一6%+6Z2=0,

/一一\m-n1111A/14

cos（m,n）=i—n"—r=—<='=------

'/仿同3疝42

由图可知，二面角P-CD-尸为锐角,

所以二面角尸-co-尸的余弘值为丑叵.

42

反思总结

利用向量法确定二面角平面角大小的常用方法。

(1)找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，结合实际图形通过两个平面的法向量的夹

角得到二面角的大小。

(2)找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这

两个向量的夹角等于二面角的平面角。

确定二面角的平面角的大小，方法有:①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角;②依据“同进

同出互补,一进一出相等”求解;③在二面角的一个半平面内取一点P,过点P做另一个半平面所在平面的垂线,

若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角

为钝二面角。

巩固训练

1.如图，在三棱锥A—BCD中，2C=CD=2e,AB=AC=AD=BO=4,O为8。的中点.

(1)证明：04,平面3CD；

(2)点E在棱CD上，若平面ABD与平面ABE的夹角为30。，求次的值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)在△ABD中，根据等腰三角形的性质可得OB=OD=2,OA=2y/3,在△BCD中,

结合勾股定理可得BC，CD，进而得到OC=2,在AAOC中，根据勾股定理得到从

而求证即可；

(2)以。为原点，以OC,0D,所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,设

DE=2DC(O</<1),进而求出平面曲与平面ABE的一个法向量，进而列出方程求解即可.

【详解】（1）证明：在AABD中，AB^AD=4,

因为。是3D的中点，

所以Q4_LBD,且OB=OD=2,OA=2A/L

在△BCD中，因为BC2+a>2=3O2,所以3CLCD.

因为3c=CD=20,。为的中点，连接CO,

所以COL3D,且OC=2.

在AAOC中，因为。42+OC2=AC2,所以

因为3£＞cOC=O,82OCu平面BCD,

所以OA，平面BCD

（2）以。为原点，以OC,OD,。4所在直线为无，,，z轴，建立如图所示空间直角坐标系。-孙z,

则A（0,0,2道），B（0,-2,。）,C（2,0,0）,。（0,2,0）,

所以或=（2,-2,0）,荏=（0,-2,-2⑹，而=（0,2,-2灼，

设诙=2成（0＜力＜1）,则朝=（22,-24,0）,AE=AD+DE=（22,2-22,-273）,

设平面ABE的一个法向量为m=（x,y,z）,

m-AB=0”—2y—2\/3z=0

m-AE=02A%+（2—22）y-2\/3z=0

令z=拒,得y=-3,^=——3,

A

所以〃Z=［：-3,-3,

取平面ABD的一个法向量。=（1,0,0）,

又平面ABD与平面ABE的夹角为30°,

整理得=36,即2=-2或

2

因为Ov/ivl,所以4=

2.如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P,Q,A41GC是圆柱的轴截面，正方形ABC。内接于下底面

B

(1)当。为何值时，点。在平面P2C内的射影恰好是APBC的重心；

(2)在(1)条件下，求平面PAO与平面P3C所成二面角的余弦值.

【答案】(1)当a=60时，。点在平面P3C内的射影恰好是APBC的重心.

迟

【分析】(1)取BC的中点E,连接证得3cl平面尸QE,过点。作,得到8CLQ/，

进而证得QF±平面PBC,得到尸是。在平面PBC内的射影，结合尸恰好是APBC的重心，得到PE=3EF,

在直角APa中，即可求解；

(2)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面R4D和平面P3C的一个法向量为沅=(0,-3,1)

和1(0,711),结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】(1)解：取3c的中点E,连接QE,尸瓦加，

可得QE，3C,PE，8C,且QEcPE=E,QE,PEu平面尸。E,所以BC人平面尸。E,

过点。作。尸，尸石，交PE于点F,

因为。尸U平面PQE,所以BCLQF,

又BCcPE=E,BC,尸Eu平面PBC,所以。尸_L平面PBC,

即F是Q在平面PBC内的射影，

因为尸恰好是APBC的重心，所以PE=3EF,

在直角△PQ/中，QE=：A8=ga,QE2=EF-PE=3EF2,

所以EF=@a,PE=@~a,所以尸Q=变“=9=6,解得a=6应，

622

所以Q=60时，。点在平面PBC内的射影恰好是^PBC的重心.

(2)解：以。为坐标原点，D4所在的直线为％轴，。。所在的直线为丁轴,

作DM//M，以DM所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则£>(0,0,0),P(3A/2,30,6),A(6五,0,0),B(6直,672,0),C(0,60,0),

所以历=(672,0,0),DP=(30,30,6),PB=(30,3A/2,-6),CB=(6^,0,0),

m-DA=6^2x=0

设平面PAD的法向量为m=(x,y,z),

m•DP=3^2%+3也y+6z=0

取z=l,可得x=0,y=—\/2,所以m=(0,—1),

为•丽=3缶+3缶-6。=0

设平面PBC的法向量为百=(〃,b,c),贝!J<

n-CB=6y/2a=0

取C=l,可得Q=0,/?=&，所以〃=(0,&,l),

由图象可得平面R4。与平面尸5C所成二面角的平面角为锐角,

I/一一\|布•五1-111

所以〃六丽=总加=十

即平面PAD与平面P3C所成二面角的余弦值为g.

3.如图①所示，在RtaABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,£分别是线段AC,AB上的点，DEIIBC

且DE=2,将VADE沿DE折起到△A。'的位置，使4CLCD,如图②.

E

图①图②

(1)若点N在线段上，豆2BN=N%,求证：硒〃平面AC。；

(2)若M是4。的中点，求平面MEB与平面DEBC夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

4

【分析】(1)证明四边形。硒F为平行四边形，得出DF//NE,结合线面平行的判定证明即可；

(2)解法一：建立如图所示直角坐标系，利用向量法证明即可；解法二：由几何法得出/MHG为平面AffiE

与平面8CDE夹角，再结合直角三角形的边角关系求解即可.

【详解】(1)证明：在AAC8中，过N作NF//CB交AC于点孔

AN22

因为芸=耳，所以FN=qBC,

2

在三角形ABC中，DE=-BC,DEIIBC,

所以FN//DE,FN=DE,

所以四边形DENF为平行四边形，

所以DF//NE.又DFu平面4。。，ENU平面A。。，

所以硒〃平面48

小

因为DE〃2C,NC=90。，