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文档简介

一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日中值定理

微分中值定理

费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:

设则罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]

上连续(2)在区间(a,b)

内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点若M>

m

,则M

和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得使2)

定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.例如,例1证明方程至少有一个小于1的正实根.证:作辅助函数显然在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且由罗尔定理知，在(0,1)内至少存在一点ξ，使即求证存在使例2设可导,且在连续,证:因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,推广:设辅助函数使得存在使例3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.(2)提示:欲证:使只要证亦即的零点.的零点.二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]

上连续满足:(2)在区间(a,b)

内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.令则例1.证明等式证:

设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上例2.证明不等式证:

设中值定理条件,即因为

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