第17讲 三角函数中ω的范围与最值问题（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第17讲三角函数中ω的范围与最值问题【人教A版2019】模块一模块一有关ω的范围与最值问题1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几个类型：(1)三角函数的单调性与ω的关系；(2)三角函数的对称性与ω的关系；(3)三角函数的最值与ω的关系；(4)三角函数的周期性与ω的关系；(5)三角函数的零点与ω的关系.2．利用三角函数的单调性求ω的解题策略对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.3．利用三角函数的对称性求ω的解题策略三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.4．利用三角函数的最值求ω的解题策略若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.5．利用三角函数的周期性求ω的解题策略若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.【题型1与单调性有关的ω的范围与最值问题】【例1.1】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数y=sin3x+φ0<φ<π在区间−2A．0,π6 B．π6,π4【例1.2】（2024·贵州·模拟预测）若函数f(x)=2cosωx+π3(ω>0)在0,A．13 B．23 C．1 【变式1.1】（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,π4上单调递增，则A．0,12 B．(0,2) C．0,1【变式1.2】（23-24高一下·广东佛山·期中）已知函数fx=sinωx−π3(ω>0)，若函数fA．1,2 B．1,116 C．53【题型2与对称性有关的ω的范围与最值问题】【例2.1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数fx=sinωx+π6（ω>0）在区间A．1315,16C．715,23 D．715,23【例2.2】（24-25高三上·浙江·开学考试）函数A．(π6,C．(π3,【变式2.1】（23-24高一下·安徽·期末）函数fx=sinωx+π3(ω>0)A．23π,C．23π,【变式2.2】（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数f(x)=2sin(ωx−π3)(ω>12，x∈R)，若A．(12,C．[59,【题型3与最值有关的ω的范围与最值问题】【例3.1】（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在(0,A．0,43 B．43,163【例3.2】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间0,A．23,+∞ B．23,4【变式3.1】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[−2π3,5A．(0,35] B．[12,【变式3.2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数fx=4cosωx−π12(ω>0),fx在区间0,π3上的最小值恰为−ω，则所有满足条件的ω的积属于区间（

）A．【题型4与周期有关的ω的范围与最值问题】【例4.1】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3(ω>0)的周期为T，且满足T>2π，若函数A．34,1 C．23,1 【例4.2】（2024·内蒙古赤峰·二模）记函数fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期为T.若fT=A．2 B．3 C．4 D．6【变式4.1】（23-24高一上·广东深圳·期末）记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若fT=12，π9,0为f(【变式4.2】（2024·广东佛山·一模）已知函数fx=sinωx+φ（其中ω>0，φ<π2）.T为fx的最小正周期，且满足f13T【题型5与零点有关的ω的范围与最值问题】【例5.1】（2024·安徽·模拟预测）已知函数fx=cosωx−π6(ω>0)A．0,23 B．0,53 C．【例5.2】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数fx=2cos2ωx+π3ω>0A．56,4C．712,13【变式5.1】（2024·福建龙岩·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,x=−π4为f(x)的零点，x=π4为A．11 B．9 C．7 D．5【变式5.2】（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数fx=cosωx−π3ω>0A．176,23C．173,23【题型6ω的范围与最值问题：性质综合问题】【例6.1】（2024·湖南邵阳·三模）将函数fx=sinωxω>0的图象向右平移π3ω个单位长度后得到函数gx的图象，若gx在区间A．13,1∪43,73 【例6.2】（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数fx=2cosωx+π6ω>0在0,A．52,176 B．52,4【变式6.1】（2024·四川·模拟预测）已知函数fx=sinωx+π3（ω>0）在区间0,5π6A．45,2 B．45,54【变式6.2】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期为T,fA．7π2,4π B．4π,一、单选题1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数fx=x−43cosωxω>0，存在常数a∈A．π12 B．π8 C．π42．（24-25高三上·山西吕梁·期中）当x∈0,2π时，曲线y=2sinωx−π3ω>0A．53,136 B．53,3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,A．0,23 B．114,1734．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知函数fx=sinωx+1ω>0在区间0,A．72,112 B．72,5．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，x=−π4A．18 B．17 C．14 D．136．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）设函数fx=0,x=34π+kπωA．23,2 B．0,23 C．7．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数f(x)=cos(2ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象过点A(0,12)，且对任意xA．[23,C．[23,8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知fx=sinωx+πA．φ=B．若gx的最小正周期为3πC．若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为(73,二、多选题9．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数f(x)=cosωx−π12(ω>0)在πA．116 B．18 C．3810．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)，其部分图象如图所示，且直线y=A与曲线y=f(x)−π24A．A=2B．y=f(x+πC．fD．若f(x)在区间a,a+π6（其中a>0）上单调递增，则a11．（2024·浙江·模拟预测）已知函数fx=cosA．当ω=2时，fx−π6B．当ω=2时，fx在0,πC．当x=π6为fxD．当fx在−π3三、填空题12．（24-25高三上·上海·期中）函数fx=2sinωx−π6（ω>0）在0,π3上存在最小值−2，则实数ω的最小值是.13．（24-25高三上·广东·阶段练习）若函数fx=sin14．（2024·江苏南京·二模）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ∈R在区间π4,π2上单调，且满足fπ3四、解答题15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数f(x)=cosωx−π4（ω为正整数）在16．（24-25高一上·上海·课后作业）设函数f(x)=sinωx+π6（ω>0），若f(x)⩾f−17．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知函数fx(1)求fx(2)设常数ω>0，若函数fωx在区间−π218．（24-25高一上·全国·课后