第16讲 三角恒等变换及其拓展（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第16讲三角恒等变换及其拓展【人教A版2019】模块一模块一两角和与差的三角函数公式1．两角差的余弦公式对于任意角，有.

此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.【题型1利用和（差）角公式化简、求值】【例1.1】（24-25高三上·湖北·期中）已知cosα+β=12，cosαA．−2 B．2 C．−12 D．12【例1.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设θ是锐角，cosθ+πA．2+1 B．2+12 C．2【变式1.1】（2024·北京·模拟预测）已知sin(α+β)=13，tanαtanA．−13 B．−19 C．【变式1.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知α为第一象限角，β为第四象限角，tanα−tanβ=3，tanαtanA．1010 B．−1010 C．3【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用】【例2.1】（23-24高一下·北京东城·期末）cos30°cos15°−A．12 B．22 C．3【例2.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知sinα+cosβ=12A．6772 B．−6772 C．59【变式2.1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）tan3π4A．3 B．−3 C．−33【变式2.2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知3tanα+β−A．33 B．3 C．−33模块模块二二倍角公式1．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函数公式β=α简记符号正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αC(α+β)C2α正切T(α+β)T2α2．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

.

(4)升幂公式

；.【题型3二倍角公式】【例3.1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知tanα=2，则1+cos2αA．3 B．13 C．2 D．【例3.2】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知sinα+cosα=13A．−23 B．19 C．8【变式3.1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值：(1)sin5(2)cos2(3)tan15°【变式3.2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知tanα=17，tanβ=1(1)求sin2α(2)求α+2β的值.模块模块三三角恒等变换思想1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.【题型4辅助角公式】【例4.1】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）若锐角α满足sinα−cosα=55A．45 B．C．−35或35 D．【例4.2】（23-24高三上·河南·期中）已知函数f(x)=asinx+cosx+π6的图象关于直线A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【变式4.1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知f(x)=2cos(1)求函数y=fx(2)若x∈[0,π2]【变式4.2】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知函数f(x)=3(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈−π6,π【题型5给值求值型问题】【例5.1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角α,β满足cosβ=13,cosA．13 B．14 C．16【例5.2】（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知sin4θ2−cosA．−2635 B．−325 C．−314 D．−1728(1)求sinα−(2)已知β∈0,π2，cos【变式5.2】（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知0<α<π2，(1)求tanα(2)求cos2α+(3)若0<β<π2且cosα+β【题型6给值求角型问题】【例6.1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知α,β∈0,π4，cos2α−sin2A．π12 B．π6 C．π4【例6.2】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知α，β∈(0,π)，且cosα=55，sinA．−π4 B．3π4 C．−π4或【变式6.1】（23-24高一上·天津南开·期末）已知sinα=4(1)求tan2α的值；(2)求β【变式6.2】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知tanα+π4=−3，cosβ=−(1)sin2α(2)2α−β的值．【题型7三角恒等式的证明】【例7.1】（23-24高一下·全国·课后作业）求证：(1)sinα+1(2)tan3x【例7.2】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：(1)sinα+(2)cos4(3)sin3α=3【变式7.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式：(1)sinx(2)1+sin【变式7.2】（23-24高一·全国·随堂练习）求证：(1)tanα+β(2)sinθ(3)sin4(4)tanπ【题型8三角综合问题】【例8.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,【例8.2】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=sin(1)求m的值；(2)求fx在0,(3)若fx02=11【变式8.1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知函数fx=3(1)求fx的解析式，并求f(2)将fx图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数gx的图象，若π6【变式8.2】（24-25高三上·重庆·期中）已知f(x)=(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若函数y=|f(x)|−m在区间−5π24,①求m的取值范围；②求x1一、单选题1．（2024·浙江杭州·一模）已知1sin10∘−λA．1 B．2 C．3 D．22．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知cosα+β=13，A．23 B．19 C．−13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知sin(α−β)=2cos(α+β),tan(α−β)=A．47 B．74 C．764．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若3cosα+10cosβ=85A．−54 B．54 C．−5．（2024·四川绵阳·一模）已知θ为第一象限角，且tanθ+π3+tanA．9 B．3 C．13 D．6．（23-24高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形7．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）在△ABC中，下列等式错误的是（

）A．sinB．sinC．tanD．sin8．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=sinωx+cosωxω>0的图象的一条对称轴是x=2π，且A．458 B．418 C．378二、多选题9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知cosαcosβ=25,sinαC．cosα−β=310．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知tanα=2tanβA．若tanα=tanB．若sinαcosC．若α，β∈0,π2，则D．∃α，β∈0,π11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设函数fx=cosA．fx的一个周期为B．y=fx的图象关于x=C．fx在0,D．fx在区间0,2024三、填空题12．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知α为锐角且sinα+π4=2cos2α13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知0<α<β<π2，且sinα+β+cosα+β14．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数fx=23sinxcosx−2sin2x，若四、解答题15．（2025高三上·全国