第15讲 三角函数及其图象变换（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第15讲三角函数及其图象变换【人教A版2019】模块一模块一三角函数的图象变换1．φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)对的图象的影响函数（其中）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平移||个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).(2)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.(3)对的图象的影响

函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.(4)由函数的图象得到函数的图象以上两种方法的图示如下：2．函数的图象类似于正弦型函数，余弦型函数的图象的画法有以下两种.

(1)“五点法”，令，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得的图象.

(2)“变换作图法”的途径有两种.

一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由的图象通过变换作图法得到(>0,A>0)的图象，即：二是由诱导公式将余弦型函数转化为正弦型函数，即，再由的图象通过变换作图法得到的图象即可.3．由部分图象确定函数解析式的方法由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.【题型1“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象】【例1.1】（23-24高一下·上海·阶段练习）某同学用“五点法”面函数fx=Asinxπ5ωx+φ0ππ32A05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数y=fx(2)当x∈0,π时，求【例1.2】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知函数f(x)=sin(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期[π(2)请说明由g(x)=sinx到【变式1.1】（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数fx=2sin(1)在用“五点法”作函数y=fx在区间0,2x−−7πx0πf将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；

(2)求函数fx在区间−π4【变式1.2】（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知函数f(1)试用“五点法”画出函数fx在区间−π(2)若x∈−π6，π3时，函数gx=fx+m【题型2三角函数间图象的变换问题】【例2.1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）为得到函数g(x)=sin(2x−π6)的图象，只需将函数f(x)=sinB．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π2C．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移πD．横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移7【例2.2】（23-24高二下·福建南平·期末）将函数f(x)=sinx−cosx图象上所有的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π2个单位长度得到g(x)A．2sin(x2+π4) 【变式2.1】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2满足fπ3A．π12 B．π6 C．5π【变式2.2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数fx=32sinx+cos2xA．gx=sinC．gx=sin【题型3由部分图象求函数的解析式】【例3.1】（23-24高二下·湖南·期末）函数fx=2A．φ=π4C．fx在区间−2024D．fx的图象向左平移3π8【例3.2】（24-25高二上·北京海淀·开学考试）函数y=Asinωx−φA>0,ω>0,0<φ<A．y=2sin2x−πC．y=2sinx−π【变式3.1】（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知函数fx=AsinA．fx最小正周期为B．函数fx的图象关于直线x=−C．函数fx在区间πD．函数fx在π【变式3.2】（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数fx=cosωx−①函数fx的图象关于点7②函数fx的单调增区间为③函数fx的图象可由y=2sinωx④函数gx=ftωx在0,πA．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型4结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】【例4.1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）将函数fx=2sin4x−π3的图象向右平移π3A．图象关于直线x=πB．曲线gx与直线y=3C．gx的一个单调递增区间为D．图象关于点π6【例4.2】（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的极大值与极小值之差为2，且fx≤fπ6对∀x∈R恒成立，f(2π3)=0，A．函数gx的最小正周期为B．函数gx在0C．函数gx的图象关于直线x=0对称D．函数gx【变式4.1】（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且图象关于点π4,0对称，把函数(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若方程f(x)+kg(x)=0在x∈π6,【变式4.2】（23-24高一下·四川南充·期中）已知函数fx(1)求函数fx(2)若x∈0,π2时，m<f(3)将函数fx的图像的横坐标缩小为原来的12，再将其横坐标向右平移π6个单位，得到函数gx的图像．若x∈0,t模块模块二匀速圆周运动的数学模型1．匀速圆周运动的数学模型筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.【题型5四种基本图象变换】【例5.1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数fx=2sinA．π4，2，π4 B．4π，C．π4，2，π4 D．4【例5.2】（2024·云南昆明·三模）智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y=Asinωx+π6(A>0,ω>0)A．y=2sinπx+πC．y=233【变式5.1】（24-25高一·全国·课后作业）已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;(2)分别求t=0,1【变式5.2】（23-24高一·全国·随堂练习）做简谐振动的小球上下运动，它在时刻ts时相对于平衡位置O的位移yy=2sin(1)以t为横坐标，y为纵坐标，作出这个函数的简图；(2)求该简谐振动的振幅、周期、频率和初相．【题型6三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】【例6.1】（23-24高二上·湖北恩施·期末）如图，这是一半径为4.8m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时（图中点PA．点P距离水面的高度ℎm与tsB．点P第一次到达最高点需要10C．在水轮转动的一圈内，有10s的时间，点P距离水面的高度不低于D．当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面【例6.2】（23-24高三·江西赣州·阶段练习）如图，摩天轮的半径为50m，其中心O点距离地面的高度为60m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且20min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（

）

A．转动10min后点P距离地面B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的1C．第17min和第42min点D．摩天轮转动一圈，点P距离地面的高度不低于85m的时间长为20【变式6.1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xoy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为ℎ（单位：m(1)求ℎ与时间t之间的关系．(2)求点P第一次到达最高点需要的时间为多少?在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少?(3)若ℎt在0,a上的值域为0,3.6，求a【变式6.2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求Ht(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为ℎ米，求ℎ的最大值及此时的时间t.一、单选题1．（23-24高一下·四川绵阳·期中）函数y=2sin16A．−2、12π、16x C．2、12π、16x 2．（2024·北京·模拟预测）将y=sinx的图象变换为y=sinA．将图象上点的横坐标变为原来的13倍，再将图象向右平移πB．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移π18C．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的1D．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍3．（23-24高一下·山东聊城·期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（

A．y=2sin(C．y=2sin(4．（24-25高三上·天津和平·开学考试）已知函数fx=sin

A．y=f2x−12 B．y=fx2−5．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）将函数fx=sin2x+π3的图象向右平移φ（A．π12 B．5π12 C．π6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<πA．ω=2B．φ=C．f(x)的图象关于点−5D．f(x)在−27．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数fx=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的1A．0,π8 B．π8,π48．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<①函数fx的最小正周期是π②函数fx的图象关于直线x=③把函数y=2sinx−π3图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的④当x∈π,A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．（2024高二上·福建·学业考试）某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（

）

A．该简谐运动的振幅是3B．该简谐运动的初相是2C．该简谐运动往复运动一次需要2D．该简谐运动100s10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数fx=2cosωx+φ（其中A．fx的最小正周期为B．fx在−C．fx的图象可由gx=2D．函数Fx=f11．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数fx=cosωx−2π3ω>0在A．fx的最小正周期为B．fC．将fx的图象向右平移4π3个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数y=5fx三、填空题12．（23-24高一下·上海长宁·期中）函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的振幅是2，最小正周期是π2，初始相位是13．（24-25高二上·安徽·开学考试）将函数fx=cos2x+φ的图象向右平移2π3后得到的图象关于原点对称，则14．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B①f(x)关于点(π6②f(x)关于直线x=π③f(x)在区间[π④f(x)在区间(−5π12正确结论的序号为.四、解答题15．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数y=216．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，f(x)=Acos(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象；若g(α)=13，α∈(0,17．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数f(x)=−sin(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的14（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间0,π2上的最大值，并求出18．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四